精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

哈三十二中2024～2025学年度高一下学期期中考试 数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：. 3. 已知，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标化的减法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 4. 若复数满足 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意，得， 故， 故选：A 5. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再写出其共轭复数. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故. 故选：B 6. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】在中由余弦定理. 故选：C 7. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算直观图的面积为，再根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案. 【详解】直观图的面积，原图面积， 由直观图的面积与原图面积的关系为，得. 故选：B. 8. 如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 下列能使成立的充分条件是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义，以及与任意向量共线，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以A符合题意； 对于B中，由时，向量与的方向不一定相同或相反，所以与不一定共线，所以B不符合题意； 对于C中，由与方向相反，则向量与共线，所以，所以C符合题意； 对于D中，由或，得到或，即向量与至少有一个为， 根据与任意向量共线，可得，所以D符合题意. 故选：ACD. 10. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件线面位置关系即可判断即可. 【详解】A选项，由于，，所以，故A正确； B选项，若，，则，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项，若，，则或，故D错误. 故选：AB. 11. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第_______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可利用复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以在复平面内与复数对应的点Z为， 故复数对应的点Z位于第四象限． 故答案为：四 13. 中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形三个角的和为得出的值，利用正弦定理解出边. 【详解】， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 14. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为． 【解析】 【分析】由圆柱与圆锥的侧面积公式、体积公式计算． 【详解】由题意，，， 该旋转体是共底面的圆锥与圆柱组合体， 表面积为， 体积为． 所以旋转体表面积为，体积为． 16. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标关系列式求参，再应用数量积公式计算求解； （2）先根据向量垂直数量积坐标关系列式求参，再应用模长公式计算. 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以，解得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，则，解得， 即， 所以. 17. 已知的内角的对边分别为．已知． （1）求角： （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案； （2）利用余弦定理求出，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得 在中，，则，即， 故． 【小问2详解】 由余弦定值知：， 即，则， 所以． 18. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明：在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体的棱长为 ，则，解得， 所以，， 所以， 设点 到平面的距离为 ，则，即， 即，解得， 即点 到平面的距离为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三十二中2024～2025学年度高一下学期期中考试 数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若复数满足 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 下列能使成立的充分条件是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 或 10. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第_______象限． 13. 中，，，，则__________． 14. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 16. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； 17. 已知的内角的对边分别为．已知． （1）求角： （2）若，求的面积． 18. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点 到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $