精品解析：广东省广州市第二中学教育集团2024-2025学年高二下学期期中三元联考数学试题

广州二中教育集团2024学年第二学期期中三元联考 高二数学 命题老师：刘晓 审题老师：陈爱珍 2025.4.23 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 2. 是等比数列，是方程的两根，则（ ） A B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 4. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 6. 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　) A. B. C. D. 2 7. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，，则（ ） A. 121是数列中的项 B. C. 是等比数列 D. 存在， 10. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 极小值为0 B. 过点的切线方程为 C 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____________． 13. 等差数列中，，前n项和为，若，则______. 14. 已知不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知曲线，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为. （1）求证：； （2）求数列的前n项和. 18. 已知数列满足，且，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若，求数列的前n项和. 19. 已知函数（其中a参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意都有成立，求实数a的取值集合； （3）证明：（其中，e为自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2024学年第二学期期中三元联考 高二数学 命题老师：刘晓 审题老师：陈爱珍 2025.4.23 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 2. 是等比数列，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及等比数列的性质即可求解. 【详解】设等比数列公比为， 因为，是方程的两根， 所以，所以， 由等比数列的性质可知 所以. 故选：C. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数一个极大值点 D. 是函数的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 4. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，通过导数求得，即可得出． 【详解】因为存在实数，使得成立， 所以， ， 令得或或， 列表 极小值 当时，有极小值也是的最小值， 所以． 故． 故选：B． 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差，得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差数列性质可判断C正确，由等差数列前项和公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时，； 所以可得时，取得最大值，B正确； 对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； 对于D，易知，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：D． 6. 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　) A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】设底面边长为x，侧棱长为l， 则V＝x2·sin 60°·l， 所以l＝， 所以S表＝2S底＋S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l ＝ x2＋. 令S表′＝ x－＝0， 即x3＝4V， 解得x＝. 当0＜x＜时，S表′＜0； x＞时，S表′＞0. 所以当x＝时，表面积最小．选C 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 7. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 8. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据奇数数列的通项，明确为个奇数，根据宝塔数表的排列性质，通过计算，求得所在的位置，可得答案. 【详解】由题意，令，解得，则是第个奇数， ∵宝塔形数表第行有个数，前行共有个数， ，在宝塔形数表的第行中， 为第行从左往右数第个数，即， . 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题通过观察宝塔形数表，归纳出一般规律来考查归纳推理及等差数列求和公式，属于难题题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，，则（ ） A. 121是数列中的项 B. C. 是等比数列 D. 存在， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，，可得D错误. 【详解】由可得，，又， 所以是首项为，公比为3的等比数列，即C正确； 所以，由等比数列通项公式可得，即； 当时，，所以121是数列中的第五项，即A正确； 由可得，；即B正确； 易知，当时，， 所以，当时，； 当时，， 即对于任意的，，所以不存在，， 即D错误. 故选：ABC 10. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全排列即可求解A，根据甲的位置，即可结合分步乘法计数原理求解B，根据相邻问题捆绑法即可求解C，根据第一位是男生还是女生两种情况，即可结合排列求解D. 【详解】对于A，所有的排法共有种，故A错误， 对于B，甲可以排在头或者尾，有2种选择，剩下5个人全排列，故共有种，故B正确， 对于C，将甲乙看作一个整体，与剩下4个人全排列，故共有种，C正确， 对于D，女生第一位，有种方法，男生第一位，有种方法，故共有种方法，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的极小值为0 B. 过点的切线方程为 C. 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知A正误；应用切线斜率及点斜式计算求解判断B，作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确. 【详解】由题意知：定义域为R，； ∴当时，；当时，； ∴的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，设过点的切线的切点为，则， 切线方程为，将点代入切线方程，解得或， 当时，切点为，切线斜率为0，切线为， 当时，切点为，切线斜率为，切线为， 在点处的切线方程为或，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点，即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， ∴在上恒成立，∴在上恒成立； ∵在上的最大值为，∴，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据排列数公式化简方程，求其解即可. 【详解】因为， 所以，且，，， 所以， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 13. 等差数列中，，前n项和为，若，则______. 【答案】2025 【解析】 【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义与求和公式推出数列为等差数列，根据题设条件求得，写出其通项公式，代值计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由， 可得数列为等差数列，首项为，公差为， 因，解得， 故， 则，故. 故答案为：2025. 14. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】解法一：设，利用导数可得，令，则可得，然后证明不等式恒成立即可；解法二：将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性可求出实数的取值范围. 【详解】解法一：设，当，， 当，，所以在上递减，在上递增， 所以，故. ①一方面，在条件中，令，即得. 假设，则，从而，矛盾. 所以一定有. ②另一方面，若， 首先有， 以及. 将两个不等式相加，就得到， 从而. 由于，故， 所以对任意，有 而对任意的，显然也有， 所以，从而时条件一定满足. 综合①②两个方面，可知的取值范围是. 解法二：不等式在区间上恒成立，等价于 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则，， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故答案： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用指对同构将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），； （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知得到，，进而得到方程组，解之即可； （2）由（1）可知，然后对，利用导数得出函数单调性，结合端点值比较大小即可得解. 【小问1详解】 由，知. 而在处取得极值，故，. 故有方程组，即. 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，故，. ， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 而直接计算知，，， 故在上的最大值为，最小值为. 17. 已知曲线，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为. （1）求证：； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用导数的几何意义求出切线方程，即可求出的坐标，从而得证； （2）首先求出处的切线的方程，即可求出，从而求出，则，最后利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，所以 因为的横坐标为，所以的坐标为. 由，可得曲线在处的切线的斜率为， 所以处的切线的方程为. 令，得，即的坐标为，所以. 【小问2详解】 由（1）得处的切线的方程为， 令，得，即坐标为，故， 所以首项为，公比为的等比数列，所以，则， 记数列前n项和为， 则，① 所以，② ①②得 ， 所以数列的前n项和为. 18. 已知数列满足，且，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用累加法结合条件即可求得，验证首项即得通项公式； （2）由已知数列递推式，利用等差数列定义即可证明； （3）先求出的解析式，按照和分类裂项相消求和即可. 【小问1详解】 由，可得，，且， 则当时， . 又时也满足上式，故. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴是公差为1，首项为1的等差数列. 【小问3详解】 由（2）得，即. 当时， 数列的前n项和 . 当时， 数列的前n项和 . 所以，. 19. 已知函数（其中a为参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意都有成立，求实数a的取值集合； （3）证明：（其中，e为自然对数的底数）． 【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是； （2） （3）详见解析； 【解析】 【分析】（1）求导，分，，讨论求解； （2）由（1）得，根据对任意都有成立，由求解； （3）设设，结合，证明数列是递增数列， 是递减数列即可. 【小问1详解】 解：因为函数，定义域为， 所以， 当时，，函数在上递增； 当时，令，得， 当时，，函数在上递减； 当时，，函数在上递增； 所以当时，函数的单调增区间是，无减区间； 当时，函数的单调增区间是，减区间是； 【小问2详解】 当时，在上递增，又，当时，，所以不成立； 当时，由（1）得， 因为对任意都有成立， 所以， 令， 则，令，得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 所以实数a的取值集合是； 【小问3详解】 由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以， 由（2）知：， 令，则， 即，则， 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由，分别令， 而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $