7.3.2离散型随机变量的方差 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 引例探究 问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 类似于两组数据的比较，首先比较平均值，如果平均值相等，再看稳定性. 通过计算可得， 两个均值相等，无法根据均值区分两个同学的射击水平. 引例探究 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：除了通过图像，还可以通过什么手段判断两位同学射击成绩的稳定性 新知探究 在前面的学习中，我们了解到了随机变量的数学期望可以反映随机变量的平均水平，于是我们可以联想到可以利用每个随机变量的可能取值与数学期望的“偏差平方的平均值”来研究随机变量的离散程度. 设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 考虑所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2……(xn－E(X))2.因为X取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均值来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，即 概念讲解 随机变量的方差 一般的，离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 与统计数据的方差类似，若随机变量X的方差越大，则说明随机变量的取值越分散;方差越小，则说明随机变量的取值越集中. 引例探究 问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 利用方差公式求解得， ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 新知探究 离散型随机变量方差的计算性质 即 并由此可得： 即 例题讲解 例1 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望和方差． 解：由题可知，随机变量X可能的取值有0，1，2， 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 例题讲解 例1 一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望和方差． 解：（2）由(1)的分布列得E(X)＝0×， D(X)＝. 法二：（2）由(1)的分布列得E(X)＝0×， E(X 2)＝02×12×22×1 D(X)＝E(X 2). 例题讲解 例2 有甲乙两个单位聘用暑假工，其不同岗位薪资信息如下图所示 请根据图表，比较两个单位的工资待遇情况. 甲单位不同职位月工资X1 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X1 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 解：设Y1=0.01X1，Y2=0.01X2， 根据月工资的分布列，可得 例题讲解 所以两家的工资期望相同，但家单位不同职位工资相对集中，乙单位不同职位工资相对分散. 在计算随机变量的数字特征过程中，可以利用数字特征的性质化简运算 针对训练 1、已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是(　　) A.E(X)＝，D(X)＝ B.E(X)＝2, D(X)＝4 C.E(X)＝2, D(X)＝8 D.E(X)＝，D(X)＝8 2、（多选）设随机变量X的分布列为 若随机变量Y=aX+b(a>0)，E(Y)=10，D(Y)=19，则下列选项正确的是(　　) A.m=0.5 B.a=6 C.b=11 D.P(Y=16)＝ X －1 0 1 P m 0.2 0.3 B ACD 针对训练 3、某投资公司计划在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 针对训练 解：若按“项目一”投资，设获利X1万元， 依题意，E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)， D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000. 若按“项目二”投资，设获利X2万元， 此时E(X2)＝500×＋(－300)×＝200(万元)， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. 可知E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥，所以建议该投资公司选择项目一投资． 课堂小结 1. 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 3. 方差的性质： 则称 为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2. 方差的计算公式： $$