7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 引例探究 引例:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理? 分析:按比例,在1kg的混合糖果中,这3种糖果的质量分别是 故1kg混合糖果的合理价格是 加权平均数 加权平均数指将各数值乘以相应的权数,然后加总求和得到总体值,再除以总的单位数。加权平均数的大小不仅取决于总体中各单位的数值(变量值)的大小,而且取决于各数值出现的次数(频数),由于各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用,因此叫做权数。 引例探究 引例2:某射手射击所得环数 的分布列如下: 你能估计该射手进行n次射击,平均每次能打的环数吗? 分析:在n次射击中, 中4环的大约有0.02n次 中5环的大约有0.04n次 …… 中10环的大约有0.22n次 故平均每次能打的环数为 =4 0.02+5 0.04+…+10 0.22=8.32 新知讲解 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称 为X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 是离散型随机变量取值概率的加权平均数. 例题解析 例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次的得分X的期望. 解:依题意,P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3, ∴ E(X)=1 P(X=1)+0 P(X=0) =1 0.7+0 0.3 =0.7 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么 E(X)=1 p+0 (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布,则E(X)=p 例题解析 变式:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球两次的得分X的期望. 解:依题意可知,X的可能取值为0,1,2 ∴该运动员得分的期望为 求数学期望的一般步骤: ①明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果; ②求出随机变量取各个值的概率; ③列出分布列; ④利用期望公式进行计算. 针对训练 练习1、有一个街头游戏,交5元钱可以参加一次摸奖,袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和,求抽奖人获利的数学期望. 解:设抽奖人可获利X元,则X=-3,1,5 ∴抽奖人获利的期望为 ∴抽奖人获利的分布列为 X -3 1 5 P 例题解析 例2、甲乙两人需各自完成两道选择题,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,甲每道题做对的概率是0.9,乙每次做题都会从四个选项中随便选一个,甲乙两人互不影响,则甲答对问题的数量的均值为_;乙答对问题的数量的均值为_. 1.8 0.5 追问:若每道题目的分值为5分,那么此时甲的得分期望为_;乙的得分期望为_ 9 2.5 若已知随机变量X的数学期望为E(X) 设Y=aX+b,其中a,b为常数,则 E(Y)=? 思考 新知探究 设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.X与Y的分布列为 ∵E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn ∴E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn) =aE(X)+b. 即 E(aX+b)=aE(X)+b X x1 x2 … xn Y ax1+b ax2+b … axn+b P p1 p2 … pn 针对训练 练习2、已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m (1)若Y=-2X+3,则E(Y)=_. 解:由随机变量分布列的性质,得+m+=1,解得m=, 故E(X )=-2 +(-1) +0 +1 +2 =-. 由Y=-2X+3, 得E(Y )=-2E(X )+3=-2 +3=. 针对训练 练习2、已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m (2)若 =aX+3,且E( )=-,则a的值为_. 解:由(1)得E(X )=-. ∴E( )=E(aX+3)=aE(X )+3=-, 解得a=15. 例题解析 例3(利用均值解决实际问题)、根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取措施,希望不发生洪水. 解:用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失,则对应的分布列如下表所示: 天气状况 正常 小洪水 大洪水 X1 3800 3800 3800 X2 2000 2000 62000 X3 0 10000 60000 P 0.74 0.25 0.01 例题解析 例3(利用均值解决实际问题)、根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取措施,希望不发生洪水. ∴由表可知: E(X1)=3800 E(X2) =62000 0.01+2000 (1-0.01)=2600 E(X3 ) =60000 0.01+10000 0.025=3100 结合三种方案的期望值,方案2的损失最小,建议采取方案2; 但由于洪水发生的随机性,对于个别情况下的具体决策,方案2也未必最好 针对训练 练习3、据统计,一年中一个家庭有万元以上的财产被盗的概率为0.02,若保险公司准备开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者只需一次过交100元保险费,若在 一年内有万元以上的财产被盗,则保险公司赔偿a元,(a>100),那应该如何确定a的值,才能使得保险公司期望获利? 解:设保险公司在每位保险人身上可获利X元 则X的取值有两种情况:X=100或X=100-a ∵依题意可得P(X=100)=0.98,P(X=100-a)=0.02 ∴E(X)=0.98 100+0.02 (100-a)=100-0.02a 令100-0.02a >0,解得a<5000 又∵a>100 故只有当100<a<5000时,保险公司才能获利 课堂小结 1.离散型随机变量X的均值(数学期望) 2.均值的求解 ①明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果; ②求出随机变量取各个值的概率; ③列出分布列; ④利用期望公式进行计算. 3.均值的性质 E(aX+b)=aE(X )+b. $$