导数及其应用讲义-2025届高三数学二轮复习

导数及其应用

一：考情分析

 

 

二、知识梳理

1、几种常见函数的导数

①； ②；③； ④；⑤；⑥； ⑦；  ⑧：  ⑨

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

4、切线问题

（1）在点的切线方程

函数在点处的切线方程为，抓住关键．

（2）过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

5、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

6、已知函数的单调性问题

①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

7、函数的极值

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

③极值点导数一定为零，导数为零的点不一定是极值点。

8、逆用导数的四则运算法则构造函数

【方法点拨】

1.已知中同时出现关于、，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.

2. 常见的构造函数:

①对于，构造；

一般的，对于，构造．

②对于，构造；

一般的，对于，构造．

③对于，构造；

一般的，对于，构造．

④对于，构造；

一般的，对于，构造．

⑤对于，即，

构造．

⑥对于，构造．

⑦对于，构造.

⑧对于，构造.

⑨对于，构造.

9、恒成立和有解问题

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．