6.3 角 讲义 2024-2025学年 人教版七年级上册数学

6.3 角 讲义 课节学习目标 1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法. 2.会正确使用量角器测量角的大小. 3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算. 4.掌握角的大小的比较方法. 5.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题. 6.会进行涉及度、分、秒的角度的计算. 7.了解余角、补角的概念.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 8.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 课节知识点解读 知识点1. 角 1. 角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.角的表示方法 (1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点. (2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O. (3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1. (4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α. 注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角 3. 角的单位及换算关系 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″， 如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=48°56′37″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等. 4.角的分类及余角补角的定义 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等. 注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解 名称 概念 性质 互为余角 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等. 互为补角 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。 （1）180°-α是α的补角； （2）同角或等角的补角相等. 知识点2. 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. OB是∠AOC的平分线 ∵OB是∠AOC的角平分线， ∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC 知识点3．方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. 课节知识点例题讲析 考点1. 角的概念 【例题1】下列关于角的说法正确的是( ) A.由两条射线组成的图形叫做角 B.角的边画得越长，角越大 C.在角一边延长线上取一点 D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 【答案】D 【解析】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 考点2.角的度量及换算 【例题2】填空: (1)5400″=______°； (2)25.72°=_____°______′______″； (3)45°12′36″=________°. 【答案】见解析 【解析】(1)5400″=(5400/60)′=90′，90′=(90/60)°=1.5°； 5400″=1.5°； (2)0.72°=0.72×60′=43.2′，0.2′=0.2×60″= 12″ 25.72°=25°43′12″； (3)36″=(36/60)′=0.6′，12.6′=(12.6/60)°=0.21°. 45°12′36″=45°+12′+36″=45°+12′+0.6′=45°+12.6′=45°+0.21°=45.21° 考点3. 余角补角 【例题3】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( ) A.45° B.60° C.90° D.180° 【答案】C 【解析】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180° ∠β=180°-∠α ∠α与∠γ互余，则∠α+∠γ=90° ∠γ=90°-∠α 则∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90° 考点4. 角的平分线 【例题4】如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　） A．35° B．70° C．110° D．145° 【答案】C 【解析】∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC， ∵∠COB=35°， ∴∠DOB=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°=110° 【点拨】本题考查角的平分线性质和平角的特点。 考点5. 方位角 【例题5】如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ． 【答案】78° 【解析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解． ∵AE，DB是正南和正北方向， ∴BD∥AE， ∵B处在A处的南偏西42°方向， ∴∠BAE＝∠DBA＝42°， ∵C处在A处的南偏东30°方向， ∴∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°， 又∵C处在B处的北偏东72°方向， ∴∠DBC＝72°， ∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°． 故答案为：78°． 【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于　 　°． 【答案】55． 【解析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解． 解：∵∠α＝35°， ∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55° 【点拨】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单． 2. 把18°30′化成度的形式，则18°30′= 度． 【答案】18.5． 【解析】∵30′=0.5度， ∴18°30′=18.5度。 【点拨】本题考查的角度之间换算，记住角度单位之间基本关系． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE= ． 【答案】40° 【解析】∠BOD和∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=40°， OA平分∠COE，则∠AOE=∠BOD 所以∠AOE=∠BOD=40° 4. 如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF， ∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵射线EB平分∠CEF， ∴， ∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20° 5.观察图形并回答下列问题: (1)∠AOC是哪两个角的和?∠DOB是哪两个角的和? (2)∠AOB是哪两个角的差? 【答案】见解析 【解析】(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，∠DOB是∠COD与∠BOC的和. 即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC. (2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差， 或∠AOB是∠AOD与∠DOB的差. 即∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD-∠DOB. 6.如图，∠BOD=1/3∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数. 7.计算: (1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″; (3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3. 【答案】见解析 【解析】(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′; (2)131°28′-51°32′15″ =130°87′60″-51°32′15″ =79°55′45″; (3)12°30′20″×2 = 24°60′40″ = 25°40″; (4)12°31′21″÷3 =4°+31′21″÷3 =4°10′+81″÷3 =4°10′27″. 8.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度数. 【答案】见解析 【解析】因为OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°， 所以∠BOD=2∠BOE=30°， 所以∠AOD=∠AOB+∠BOD= 90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°. 9.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC. (1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数; (2)探究∠MON与∠AOB的数量关系. 【答案】见解析 【解析】(1)因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC, 所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC. 因为∠AOC=50°，∠BOC= 30°， 所以∠COM=25°，∠CON=15° 所以∠MON=∠COM+∠CON=40°. (2)因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC. 所以∠MON=∠COM+∠CON=1/2∠AOC+1/2∠BOC =1/2 (∠AOC+∠BOC)=1/2∠AOB. 10. 如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数. 【答案】见解析 【解析】因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4， 所以设∠AOC=(2x)°，∠COD=(3x)°，∠DOB=(4:x)°, 则∠AOB=∠.AOC+∠COD+∠DOB= (2x)°+(3x)°+(4x)° =(9x)°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB， 所以∠MOC=1/2∠AOC=x°，∠NOD=1/2∠DOB=(2x)°， 11. 已知∠AOB=108°，∠BOC=22°，射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数. 【答案】见解析 【解析】分两种情况讨论: (1)当OC在∠AOB内部时，如图①， ∠DOE=∠BOD-∠BOE=54°-11°=43°; (2)当OC在∠AOB外部时，如图②, ∠DOE=∠BOD+∠BOE=54°+11°=65°. 综上所述，∠DOE的度数为43°或65°. 12．一个角的余角比这个角的补角的还小，求这个角的余角及这个角的补角． 【答案】余角为，补角为° 【解析】设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 设这个角为，则这个角的余角为， 由题意得，， 解得：， ∴这个角是， ∴这个角的余角为，补角为． 【点睛】本题考查了求一个角的余角与补角，一元一次方程的应用，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 角 讲义 课节学习目标 1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法. 2.会正确使用量角器测量角的大小. 3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算. 4.掌握角的大小的比较方法. 5.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题. 6.会进行涉及度、分、秒的角度的计算. 7.了解余角、补角的概念.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 8.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 课节知识点解读 知识点1. 角 1. 角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.角的表示方法 (1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点. (2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O. (3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1. (4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α. 注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角 3. 角的单位及换算关系 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″， 如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=48°56′37″. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等. 4.角的分类及余角补角的定义 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等. 注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解 名称 概念 性质 互为余角 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等. 互为补角 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。 （1）180°-α是α的补角； （2）同角或等角的补角相等. 知识点2. 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. OB是∠AOC的平分线 ∵OB是∠AOC的角平分线， ∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC 知识点3．方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. 课节知识点例题讲析 考点1. 角的概念 【例题1】下列关于角的说法正确的是( ) A.由两条射线组成的图形叫做角 B.角的边画得越长，角越大 C.在角一边延长线上取一点 D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 考点2.角的度量及换算 【例题2】填空: (1)5400″=______°； (2)25.72°=_____°______′______″； (3)45°12′36″=________°. 考点3. 余角补角 【例题3】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( ) A.45° B.60° C.90° D.180° 考点4. 角的平分线 【例题4】如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　） A．35° B．70° C．110° D．145° 考点5. 方位角 【例题5】如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于　 　°． 2. 把18°30′化成度的形式，则18°30′= 度． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE= ． 4. 如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° .观察图形并回答下列问题: (1)∠AOC是哪两个角的和?∠DOB是哪两个角的和? (2)∠AOB是哪两个角的差? 6.如图，∠BOD=1/3∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数. 7.计算: (1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″; (3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3. 8.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度数. 9.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC. (1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数; (2)探究∠MON与∠AOB的数量关系. 10. 如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数. 11. 已知∠AOB=108°，∠BOC=22°，射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数. . 12．一个角的余角比这个角的补角的还小，求这个角的余角及这个角的补角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$