6.2 直线、射线、线段 讲义 2024-2025学年 人教版七年级上册数学

6.2 直线、射线、线段 讲义 课节学习目标 1.掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和直线的位置关系. 2.进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法表示直线、射线、线段. 3.理解直线、射线、线段的区别与联系. 4. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 理解线段等分点的意义. 5. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. 6. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 7. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用. 课节知识点解读 知识点1. 直线 1.概念： 是由无数个点构成的，没有端点，可以向两个方向无限延伸的线。直线是面的组成成分，并继而组成体。直线没有固定的长度，是直的，并且两端都能无限延伸。 2. 直线有两种表示方法 (1)可以用一个小写字母表示直线； (2)因为“两点确定一条直线”，所以也可以用直线上的两点表示直线. 直线l或直线AB(BA) 3. 一个基本事实（直线公理） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线. 4．点和直线的位置关系有线面两种 ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做他们的交点. 知识点2. 线段 1. 概念：是指直线上两点间的有限部分，包括两个端点。线段有固定的长度，是直的，并且两端都不能延伸。线段可以看作是直线的一部分，由无数个点组成，但这些点都是有限的。 2. 线段公理: 两点之间，线段最短． 3. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离. 4.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点3. 射线 1.概念： 是由线段的一端无限延长所形成的直的线。射线有一个端点，另一端可以无限延伸，因此没有固定的长度。射线也是直的，但与线段不同的是，它只有一个端点。 2.用一个小写字母表示射线时，图上也要体现射线的端点. 这三种几何对象都是直的，但它们的区别在于端点的数量和线的可延伸性。线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；直线没有端点，可以向两端无限延伸。这些概念在数学中非常重要，因为它们构成了几何学的基础，并且在解决几何问题时经常用到。 注意：直线，射线与线段的区别与联系 课节知识点例题讲析 考点1. 直线 【例题1】同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线. 考点2. 线段 【例题2】如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（    ）    A． B． C． D． 考点3. 射线 【例题3】根据下列语句画出图形． (1)点A在直线l上，点B在直线l外； (2)过点N画射线MN； (3)画一条与线段AB相交的直线CA． 考点4. 直线、线段射线数量的规律探究 【例题4】平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 考点5. 作图与求解线段长 【例题5】如图,已知线段a,b,c,其中a＞b＞c. (1)尺规作图:在射线AP上求作线段AB,使AB=a+c-b; (2)若a=4,b=3,c=2,求AB的长. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（　　） A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条 2．如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长 等于（　　） A． 3cm B． 6cm C． 11cm D． 14cm 3．下面说法与几何图形相符的是（ ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 4. 如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（　　） A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 5．如图，点P在直线AB ；点Q在直线AB ，也在射线AB ，但在线段AB的 上． 6. 如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=1/4AD=1/6BC，E，F分别为线段AC，BD的中点.如果EF=5cm，求线段AB的长度. 7．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm． 8.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长. 9. 如图，已知线段AB，延长AB到点C，使BC=1/2AB，D为AC的中点，,DC=3cm,求DB的长. 10. 如图，已知C，D两点将线段AB分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M为AB的中点，N为BD的中点，且MN=5，求AB的长. 11. 在直线l上有四点A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中点，求线段AD的长. 12. 如图,点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点. (1)若AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长; (2)若C为线段AB上任意一点,AC+CB=acm,其他条件不变，求线段MN的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 直线、射线、线段 讲义 课节学习目标 1.掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和直线的位置关系. 2.进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法表示直线、射线、线段. 3.理解直线、射线、线段的区别与联系. 4. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 理解线段等分点的意义. 5. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. 6. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 7. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用. 课节知识点解读 知识点1. 直线 1.概念： 是由无数个点构成的，没有端点，可以向两个方向无限延伸的线。直线是面的组成成分，并继而组成体。直线没有固定的长度，是直的，并且两端都能无限延伸。 2. 直线有两种表示方法 (1)可以用一个小写字母表示直线； (2)因为“两点确定一条直线”，所以也可以用直线上的两点表示直线. 直线l或直线AB(BA) 3. 一个基本事实（直线公理） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线. 4．点和直线的位置关系有线面两种 ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做他们的交点. 知识点2. 线段 1. 概念：是指直线上两点间的有限部分，包括两个端点。线段有固定的长度，是直的，并且两端都不能延伸。线段可以看作是直线的一部分，由无数个点组成，但这些点都是有限的。 2. 线段公理: 两点之间，线段最短． 3. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离. 4.线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点3. 射线 1.概念： 是由线段的一端无限延长所形成的直的线。射线有一个端点，另一端可以无限延伸，因此没有固定的长度。射线也是直的，但与线段不同的是，它只有一个端点。 2.用一个小写字母表示射线时，图上也要体现射线的端点. 这三种几何对象都是直的，但它们的区别在于端点的数量和线的可延伸性。线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；直线没有端点，可以向两端无限延伸。这些概念在数学中非常重要，因为它们构成了几何学的基础，并且在解决几何问题时经常用到。 注意：直线，射线与线段的区别与联系 课节知识点例题讲析 考点1. 直线 【例题1】同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线. 【答案】1或4或6 【解析】分四点共线,三点共线和没有三点共线的情况讨论即可解题. 当四点共线时, 可以作1条直线, 当三点共线时,可以作4条直线, 当没有三点共线时,可以作6条直线, 故答案是1或4或6. 【点睛】本题考查了直线的基础知识,属于简单题,熟悉两点确定一条直线的性质是解题关键. 考点2. 线段 【例题2】如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题． 由题意可得， 图中以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是： ∴以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2， ∴以、、、为端点的所有线段长度和可能为20． 故选B． 【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 考点3. 射线 【例题3】根据下列语句画出图形． (1)点A在直线l上，点B在直线l外； (2)过点N画射线MN； (3)画一条与线段AB相交的直线CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）先画直线 再在直线上描点A，再在直线外描点B，可得答案； （2）任取两点M，N，再画射线MN即可； （3）先连接AB，再过A画直线AC即可． 【详解】（1）如图，点A，点B，直线即为所画的图形， （2）如图，射线MN为所作； （3）如图，直线CA为所作． 【点睛】本题考查的是根据作图语句画直线，画射线，以及点与直线的位置关系，掌握“根据基本的作图语言画图”是解本题的关键． 考点4. 直线、线段射线数量的规律探究 【例题4】平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 【答案】(1)n条直线，共有个交点 (2)n条直线，将平面分成个区域 【分析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，个交点，故n条直线，个交点； （2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成个区域，3条直线，将平面分成个区域，4条直线，将平面分成个区域，故n条直线，将平面分成个区域． 【详解】（1）解：1条直线，0个交点 2条直线，1个交点 3条直线，个交点 4条直线，个交点 5条直线，个交点 故n条直线，个交点 ∴n条直线，共有个交点； （2）解：1条直线，将平面分成2个区域 2条直线，将平面分成个区域 3条直线，将平面分成个区域 4条直线，将平面分成个区域 5条直线，将平面分成个区域 故n条直线，将平面分成个区域 ∴n条直线，将平面分成个区域． 【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是找出规律． 考点5. 作图与求解线段长 【例题5】如图,已知线段a,b,c,其中a＞b＞c. (1)尺规作图:在射线AP上求作线段AB,使AB=a+c-b; (2)若a=4,b=3,c=2,求AB的长. 【答案】见解析 【解析】(1)如图,在射线AP上作线段AC=a,在AC的延长线上作线段CD=c,在线段AD上作BD=b,则AB=a+c-b. (2)因为a=4,b=3,c=2,所以AB=a+c-b=4+2-3=3. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（　　） A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条 【答案】C 【解析】记住线段是直线上两点及其之间的部分是解题的关键．图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC，共三条．故选C． 2．如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长 等于（　　） A． 3cm B． 6cm C． 11cm D． 14cm 【答案】B． 【解析】由已知条件可知，DC=DB﹣CB，又因为D是AC的中点，则DC=AD，故AC=2DC． ∵D是AC的中点， ∴AC=2DC， ∵CB=4cm，DB=7cm ∴CD=BD﹣CB=3cm ∴AC=6cm 3．下面说法与几何图形相符的是（ ）    A．点在直线上 B．直线与都经过点 C．可以表示成 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】B 【解析】利用点和直线的关系，结合图形，对选项一一分析，选出正确答案． A、点不在直线上，故错误，不合题意； B、直线与都经过点，故正确，符合题意； C、不能表示成，故原说法错误，不合题意； D、直线和直线表示同一条直线，故原说法错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了点和直线的关系，直线的性质，注意仔细观察图形． 4. 如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（　　） A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 【答案】B 【解析】由垂线段最短可解． 由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B． 【点拨】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题． 5．如图，点P在直线AB ；点Q在直线AB ，也在射线AB ，但在线段AB的 上． 【答案】 外 上 上 延长线 【解析】根据点与直线，线段，射线的位置关系作答即可． 由图可得：点P在直线AB外；点Q在直线AB上，也在射线AB上，但在线段AB的延长线上． 故答案为：外；上；上；延长线． 【点睛】本题主要考查了点与线的位置关系，认真辨别图形是解题的关键． 6. 如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=1/4AD=1/6BC，E，F分别为线段AC，BD的中点.如果EF=5cm，求线段AB的长度. 解:设CD=xcm. 因为 CD=1/4AD=1/6BC, 所以AD=4xcm,BC=6xcm. 因为E，F分别为线段AC，BD的中点，所以EC=1/2AC=1/2(AD-CD)=1.5xcm, DF=1/2BD=1/2(BC-CD)=2.5xcm. 因为EF=EC+CD+DF=5cm, 所以1.5x+x+2.5x=5, 所以x=1. 所以AB=AD+BC-CD=4x+6x-x=9x=9(cm). 7．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm． 【答案】7或17． 【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论． 【解析】分两种情况： ①当EF在AB，CD之间时，如图： ∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm， ∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）． ②当EF在AB，CD同侧时，如图： ∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm， ∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）． 综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm． 8.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长. 【答案】见解析 【解析】因为AB=2cm， 所以BC=2AB=4cm. 所以AC=AB+BC=6cm. 因为D是AC的中点， 所以AD=1/2AC=3cm. 所以BD=AD-AB=lcm. 9. 如图，已知线段AB，延长AB到点C，使BC=1/2AB，D为AC的中点，,DC=3cm,求DB的长. 【答案】见解析 【解析】因为D为AC的中点，DC=3cm， 所以AC=2DC=2×3=6(cm). 因为BC=1/2AB， 所以BC=1/3AC=1/3×6=2(cm) 所以DB=DC-BC=3-2=1(cm). 10. 如图，已知C，D两点将线段AB分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M为AB的中点，N为BD的中点，且MN=5，求AB的长. 【答案】见解析 【解析】因为AC:CD:DB=2∶3∶4， 所以设AC=2x，CD=3x，DB=4x. 所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x. 因为M为AB的中点,N为BD的中点， 所以BM=1/2AB=9/2x,BN=1/2BD=2x. 因为MN=BM-BN=5, 所以9/2x-2x=5， 解得x=2. 所以AB=9×2=18. 11. 在直线l上有四点A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中点，求线段AD的长. 【答案】见解析 【解析】分两种情况讨论: ①如图①，当点C在线段AB的反向延长线上时，得 BC=AB+AC=24+6=30. 由D是BC的中点，得CD=1/2BC=15. 以AD=CD-AC=9.②如图②,当点C在线段AB上时，得 BC=AB-AC=24-6=18. 由D是BC的中点,得CD=1/2BC=9. 所以AD=CD+AC=15. 综上所述,线段AD的长为9或15. 12. 如图,点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点. (1)若AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长; (2)若C为线段AB上任意一点,AC+CB=acm,其他条件不变，求线段MN的长. 【答案】见解析 【解析】(1)因为M,N分别是AC,BC的中点, 所以MC=1/2AC,CN=1/2BC. 因为AC=9cm,CB=6cm, 所以MN=MC+CN=1/2AC+1/2BC=1/2(AC+BC)=1/2×(9+6)=7.5(cm). (2)因为M,N分别是AC,BC的中点, 所以MC=1/2AC,CN=1/2BC. 因为AC+CB=a cm, 所以MN=MC+CN=1/2(AC+CB)=1/2a cm. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$