第五章 一元一次方程单元基础知识归纳总结 　2024—2025学年人教版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2. 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。 3. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 单元知识点思维导图与题型方法总结 一、解一元一次方程ax+b=0(a≠0)的一般步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意事项：（1）系数化为1时，不能颠倒除数和被除数的位置; （2）系数化为1时，注意除数和被除数的性质符号; （3）同类项的系数为负数时，不要出现符号错误; （4）若括号前有数字因数，去括号时数字因数不要漏乘括号内的项; （5）若括号前有负号，则去括号后原括号内各项都要变号; （6）去分母时，若分子是多项式，去掉分母时分子要加小括号; （7）去分母的依据是等式的性质2，而不是分数的基本性质，二者不能混淆; （8）去分母时，不含分母的项也应同乘各分母的最小公分母. 二、列方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． 三、常见的几种方程类型及等量关系 (1) 行程问题中基本量之间关系：路程＝速度×时间． ① 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1. (3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ④ 商品售价=商品进价+商品利润=商品进价+商品进价×利润率=商品进价×(1+利润率). 单元考点例题讲析 考点1. 方程的有关概念 方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值. 注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0. 【例题1】如果 x = 2是方程x/2+a=-1的解，那么 a 的值是( ) A. 0 B. 2 C. －2 D. －6 考点2. 等式的基本性质 方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0. 【例题2】运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a=b，则a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3 C．如果a=b，则= D．如果=，则a=b 考点3. 一元一次方程的解法 【例题3】解方程： 考点4. 实际问题与一元一次方程 【例题4】小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？ 【例题5】春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量． 【例题6】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（　　）元． A．240 B．180 C．160 D．144 【例题7】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下： 根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗? 【例题8】某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 情感态度与价值观教育--数学家事迹 公元前100年左右，中国的《九章算术》中出现了对代数方程的论述。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现。其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族。 十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为"aequatio"，英文为"equation"。 韦达 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式。由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生比较深的影响，因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究。十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国。1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力，将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出。李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多名词至今沿用。其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词。这样，"方程"一词首次意为"含有未知数的等式。 李善兰 1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数术》,他们则把"equation"译为"方程式",他们的意思是,"方程"与"方程式"应该区别开来,方程仍指未知数的意思，而方程式是指"今有未知数的等式"。华、傅的主张在很长时间里被广泛采纳。直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定"方程"与"方程式"两者意义相通。在广义上,它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组。狭义则专指一元n次方程。既然"方程"与"方程式"同义,那么"方程"就显得更为简洁明了了。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2. 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。 3. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 单元知识点思维导图与题型方法总结 一、解一元一次方程ax+b=0(a≠0)的一般步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意事项：（1）系数化为1时，不能颠倒除数和被除数的位置; （2）系数化为1时，注意除数和被除数的性质符号; （3）同类项的系数为负数时，不要出现符号错误; （4）若括号前有数字因数，去括号时数字因数不要漏乘括号内的项; （5）若括号前有负号，则去括号后原括号内各项都要变号; （6）去分母时，若分子是多项式，去掉分母时分子要加小括号; （7）去分母的依据是等式的性质2，而不是分数的基本性质，二者不能混淆; （8）去分母时，不含分母的项也应同乘各分母的最小公分母. 二、列方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． 三、常见的几种方程类型及等量关系 (1) 行程问题中基本量之间关系：路程＝速度×时间． ① 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1. (3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ④ 商品售价=商品进价+商品利润=商品进价+商品进价×利润率=商品进价×(1+利润率). 单元考点例题讲析 考点1. 方程的有关概念 方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值. 注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0. 【例题1】如果 x = 2是方程x/2+a=-1的解，那么 a 的值是( ) A. 0 B. 2 C. －2 D. －6 【答案】C 【解析】将 x＝2 代入方程得1＋a＝－1，解得a＝－2 考点2. 等式的基本性质 方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0. 【例题2】运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a=b，则a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3 C．如果a=b，则= D．如果=，则a=b 【答案】D 【解析】A．根据等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，故A不正确； B．因为根据等式性质2，a≠0，所以不正确； C．因为c必需不为0，所以不正确； D．根据等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以D成立。 考点3. 一元一次方程的解法 【例题3】解方程： 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解 左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1）， 化简可得：3x+3=8x﹣8， 移项可得：5x=11， 解可得x=． 故原方程的解为x= 考点4. 实际问题与一元一次方程 【例题4】小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？ 【答案】15 【解析】设他家到学校的路程是 x 千米， 依题意得 解得x =15. 答：他家到学校的路程是15 千米. 【例题5】春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量． 【答案】甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件. 【解析】设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有该品牌服装（450-x）件， 根据题意,得x+50=2[（450-x）-50]， 解得x=250，则450-x=200． 答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件. 【例题6】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（　　）元． A．240 B．180 C．160 D．144 【答案】D 【解析】打八折是指优惠后的价格是原价的80%，再打六折是指实际花的钱是八折后价格的60%，根据这些条件列出方程即可． 设小明持会员卡购买这个电动汽车需要花x元，根据题意得： 300×80%×60%＝x， 解得x＝144 【例题7】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下： 根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗? 【答案】胜一场积2分，则负一场积1分. 【解析】关键信息是由C队的积分得出等量关系：胜场积分+负场积分=3. 由C队的得分可知，胜场积分+负场积分=27÷9=3.设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分. 根据A队得分，可列方程为 14x+4(3-x)=32， 解得x=2，则3-x=1. 答：胜一场积2分，则负一场积1分. 【例题8】某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 情感态度与价值观教育--数学家事迹 公元前100年左右，中国的《九章算术》中出现了对代数方程的论述。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现。其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族。 十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为"aequatio"，英文为"equation"。 韦达 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式。由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生比较深的影响，因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究。十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国。1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力，将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出。李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多名词至今沿用。其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词。这样，"方程"一词首次意为"含有未知数的等式。 李善兰 1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数术》,他们则把"equation"译为"方程式",他们的意思是,"方程"与"方程式"应该区别开来,方程仍指未知数的意思，而方程式是指"今有未知数的等式"。华、傅的主张在很长时间里被广泛采纳。直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定"方程"与"方程式"两者意义相通。在广义上,它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组。狭义则专指一元n次方程。既然"方程"与"方程式"同义,那么"方程"就显得更为简洁明了了。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$