5.2 解一元一次方程 讲义 　2024—2025学年人教版数学七年级上册

5.2 解一元一次方程 讲义 课节学习目标 1. 理解移项的意义，掌握移项的方法； 2. 学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程； 3. 学会运用合并同类项解形如ax+bx=c类型的一元一次方程，进一步体会方程中的“化归”思想； 4. 了解“去括号”是解方程的重要步骤.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. 5. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法. 课节知识点解读 1. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 2.解一元一次方程的方法 (1)解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax = b的形式，其中a,b是常数,“合并”的依据是逆用分配律. (2)一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 移项的依据及注意事项 依据：移项实际上是利用等式的性质1. 即等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 注意：移项一定要变号 3.解含有分母的一元一次方程的一般步骤是 （1）去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数； （2）去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项； （3）去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号. 课节知识点例题讲析 【例题1】关于x的方程的解为________． 【答案】4 【解析】方程，移项,得3x-x=8，合并同类项，得2x=8.解得x=4．故答案为：x=4． 【点睛】方程移项，把x系数化为1，即可求出解． 【例题2】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 【答案】 【解析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 【例题3】将方程去分母，正确的结果是（　　） A．6x﹣1=6﹣（4﹣x） B．2（3x﹣1）=1﹣（4﹣x） C．2（3x﹣1）=6﹣（4﹣x） D．2（3x﹣1）=6﹣4﹣x 【答案】C 【解析】根据等式的性质，可得答案． 方程两边都乘以6，得：2（3x﹣1）=6﹣（4﹣x）． 【例题4】解下列方程 （1）2x＝﹣3（x+5） （2） 【答案】见解析。 【解析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解答】（1）2x＝﹣3（x+5）， 去括号，得：2x＝﹣3x﹣15， 移项，得：2x+3x＝﹣15， 合并同类项，得：5x＝﹣15， 系数化为1，得：x＝﹣3； （2）， 去分母，得：3（5y﹣1）﹣18＝2（4y﹣7）， 去括号，得：15y﹣3﹣18＝8y﹣14， 移项，得：15y﹣8y＝3+18﹣14， 合并同类项，得：7y＝7， 系数化为1，得：y＝1． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．下列解方程变形正确的是（ ） ①变形为， ②变形为， ③变形为， ④变形为． A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【解析】各项中方程变形得到结果，即可做出判断．①变形为，错误； ②变形为，正确； ③变形为，正确； ④变形为，错误． 综上，②③正确． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．解本题的关键是熟练运用移项法则． 2. 关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】A 【解答】∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解， ∴2×1+m＝5， ∴m＝3，故选：A． 3. 解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 【答案】D 【解答】根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x， 去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D． 4.在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1） C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1） 【答案】B． 【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解。方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断． 方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1） 5．把方程去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先确定方程分母的最小公倍数6，然后方程的两边各项同时乘以6，故选A. 6．解方程，去分母正确的是（　　） A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3 C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1） 【答案】C 【解答】，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C． 7．方程的解是_________； 【答案】. 【解析】利用解一元一次方程的步骤求解即可.解：去分母得： 合并同类项得： 系数化1得： 8．如果x=﹣2是方程：2x2﹣ax﹣b=3﹣2x的根，那么3﹣4a+2b=　　． 【答案】5 【解析】将x=﹣2代入方程得：8+2a﹣b=3+4，即2a﹣b=﹣1， 则3﹣4a+2b=3﹣2（2a﹣b）=3+2=5． 9.已知x=2是关于x的方程a(x+1)=a/2+x的解，则a的值是　　 ． 【答案】4/5． 【解析】把x=2代入方程得：3a=a/2+2， 解得：a=4/5． 10.某同学解方程5x﹣1=□x+3时，把□处数字看错得x=﹣，他把□处看成了______. 【答案】8 【解析】把x=代入5x﹣1=□x+3， 得：﹣﹣1=﹣□+3， 解得：□=8． 11. 我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为：__________． 【答案】 【解析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元， 则可列方程为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 12. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。求这个数。 【答案】926 【解析】设十位上的数为x，则个位上的数为3x，百位上的数为x+7.这个三位数为100（x+7）+10x+3x。 根据题意:x+7+x+3x=17 解得x=2 这个三位数是100（x+7）+10x+3x=100×（2+7）+10×2+3×2=926 13. 解方程： 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解 左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1）， 化简可得：3x+3=8x﹣8， 移项可得：5x=11， 解可得x=． 故原方程的解为x= 14．解下列方程： （1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）， 去括号得： 2x﹣3x+3＝5﹣5x， 移项得： 2x﹣3x+5x＝5﹣3， 合并同类项得： 4x＝2， 把系数化为1得： x＝． （2）1﹣＝， 去分母得： 15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x）， 去括号得： 15﹣3x+9＝20﹣5x， 移项得： ﹣3x+5x＝20﹣15﹣9， 合并同类项得： 2x＝﹣4， 把系数化为1得： x＝﹣2． 15. 解方程：3(x+1)－(5+x)=18－2(x－1). 【答案】x=. 【解析】去括号时，注意括号前是负号的运算. 去括号，得3x+3-5-x=18-2x+2.移项，得3x-x+2x=18+2-3+5. 合并同类项，得4x=22.系数化为1，得x=. 16．解方程 x﹣=2﹣． 【答案】见解析。 【解析】去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2） 去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4 移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3 合并得：5x=5 系数化为1得：x=1． 17.解方程：． 【答案】见解析 【解析】去分母得：3（3x﹣1）﹣12=2（5x﹣7） 去括号得：9x﹣3﹣12=10x﹣14 移项得：9x﹣10x=﹣14+15 合并得：﹣x=1 系数化为1得：x=﹣1． 18．解方程 （1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）； （2）x﹣=2﹣． 【答案】见解析。 【解析】（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10 移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10 合并得：2x=54 系数化为1得：x=27； （2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2） 去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4 移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3 合并得：5x=5 系数化为1得：x=1． 19．方程x﹣7=0与方程5x﹣2（x+k）=2x﹣1的解相同，求代数式k2﹣5k﹣3的值． 【答案】-7 【解析】求出第一个方程的解，代入第二个方程计算求出k的值，再代入原式计算即可求出值． ∵x－7＝0，∴x＝7. 又∵5x－2(x＋k)＝2x－1， ∴5×7－2(7＋k)＝2×7－1， ∴35－14－2k＝13， ∴－2k＝－8， ∴k＝4， ∴k2－5k－3＝42－5×4－3＝16－20－3＝－7. 20．若方程与关于x的方程3n－＝3(x＋n)－2n的解相同，求(n－3)2的值. 【答案】25 【解析】先解方程，然后把解代入后一个方程即可． 解方程，解得x＝．．把x＝代入3n－＝3（x＋n）－2n， 解得n＝8．所以（n－3）2＝25． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 解一元一次方程 讲义 课节学习目标 1. 理解移项的意义，掌握移项的方法； 2. 学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程； 3. 学会运用合并同类项解形如ax+bx=c类型的一元一次方程，进一步体会方程中的“化归”思想； 4. 了解“去括号”是解方程的重要步骤.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. 5. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法. 课节知识点解读 1. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 2.解一元一次方程的方法 (1)解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax = b的形式，其中a,b是常数,“合并”的依据是逆用分配律. (2)一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 移项的依据及注意事项 依据：移项实际上是利用等式的性质1. 即等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 注意：移项一定要变号 3.解含有分母的一元一次方程的一般步骤是 （1）去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数； （2）去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项； （3）去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号. 课节知识点例题讲析 【例题1】关于x的方程的解为________． 【例题2】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 【例题3】将方程去分母，正确的结果是（　　） A．6x﹣1=6﹣（4﹣x） B．2（3x﹣1）=1﹣（4﹣x） C．2（3x﹣1）=6﹣（4﹣x） D．2（3x﹣1）=6﹣4﹣x 【例题4】解下列方程 （1）2x＝﹣3（x+5） （2） 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．下列解方程变形正确的是（ ） ①变形为， ②变形为， ③变形为， ④变形为． A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 2. 关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 3. 解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4.在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1） C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1） 5．把方程去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 6．解方程，去分母正确的是（　　） A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3 C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1） 7．方程的解是_________； 8．如果x=﹣2是方程：2x2﹣ax﹣b=3﹣2x的根，那么3﹣4a+2b=　　． 9.已知x=2是关于x的方程a(x+1)=a/2+x的解，则a的值是　　 ． 10.某同学解方程5x﹣1=□x+3时，把□处数字看错得x=﹣，他把□处看成了______. 11. 我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为：__________． 12. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。求这个数。 13. 解方程： 14．解下列方程： （1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）； （2）． 15. 解方程：3(x+1)－(5+x)=18－2(x－1). 16．解方程 x﹣=2﹣． 17.解方程：． 18．解方程 （1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）； （2）x﹣=2﹣． 19．方程x﹣7=0与方程5x﹣2（x+k）=2x﹣1的解相同，求代数式k2﹣5k﹣3的值． 20．若方程与关于x的方程3n－＝3(x＋n)－2n的解相同，求(n－3)2的值. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$