5.1 方程 讲义 　2024—2025学年人教版数学七年级上册

5.1 方程 讲义 课节学习目标 1.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解. 2.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. 课节知识点解读 知识点1. 方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 重点提醒：在理解方程的概念时，注意以下三点 （1）方程一定是等式，但等式不一定是方程； （2）方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示； （3）方程中可含有多个未知数。 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 3.一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 重点提醒：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 4. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． 5. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 6.方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。 重点提醒：在理解方程解的概念时，注意以下几点： （1）方程中的未知数不一定只有一个； （2）方程的解可能不止一个，也可能无解； （3）检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分别计算。 重点提醒：判断一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算， （2）将数值代入方程右边进行计算， （3）若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是． 知识点2. 等式的性质 1. 等式的定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。 2．等式的性质 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c . 3.运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式 x = a 课节知识点例题讲析 【例题1】下列各方程中，属于一元一次方程的是（　　） A．x+2y＝0 B．x2+3x+2＝0 C．2x﹣3＝+2 D．x+1＝0 ．【例题2】已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1 ⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【例题3】下列说法正确的是（　　） A．若x=y，则 B．若|a|=﹣a，则a＜0 C．若a，b互为相反数，那么a，b的商必定等于﹣1 D．若关于x的方程2x﹣1=3与3x﹣2a=0的解相同，则a=3 【例题4】已知x＝4是关于x的方程的解，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【例题5】《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　） A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝ 【例题6】x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x =80的解？ 【例题7】若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为________. 【例题8】下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若x=y，则= D．若=（c≠0），则a=b 【例题9】利用等式的性质解下列方程： (1) x + 7 = 26 (2) －5x = 20 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 下列各式不是方程的是（　　） A．x2+x=0 B．x+y=0 C． D．x=0 2. 若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=0是一元一次方程，则m值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2 4．若不论k取什么实数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是x=1，则a+b的值是( ) A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5 5．已知x＝1是方程的解，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1 6．若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 7．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 8．某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，可列方程为（　　） A．2×600x＝1000（22﹣x） B．2×1000x＝600（22﹣x） C．600x＝2×1000（22﹣x） D．1000x＝2×600（22﹣x） 9．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10. 下列移项正确的是 ( ) A. 由2＋x＝8，得到x＝8＋2 B. 由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8 C. 由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1 D. 由5x－3＝0，得到5x＝－3 11．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为　3　． 12. 已知方程 是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． 13．已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程． （1）求k的值； （2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 方程 讲义 课节学习目标 1.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解. 2.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. 课节知识点解读 知识点1. 方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 重点提醒：在理解方程的概念时，注意以下三点 （1）方程一定是等式，但等式不一定是方程； （2）方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示； （3）方程中可含有多个未知数。 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 3.一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 重点提醒：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 4. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． 5. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 6.方程的解与解方程间的关系：方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果。 重点提醒：在理解方程解的概念时，注意以下几点： （1）方程中的未知数不一定只有一个； （2）方程的解可能不止一个，也可能无解； （3）检验方程的解，切不可将数值直接代入原方程，要将数值分别代入原方程的左右两边，分别计算。 重点提醒：判断一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算， （2）将数值代入方程右边进行计算， （3）若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是． 知识点2. 等式的性质 1. 等式的定义：用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式。 2．等式的性质 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c . 3.运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式 x = a 课节知识点例题讲析 【例题1】下列各方程中，属于一元一次方程的是（　　） A．x+2y＝0 B．x2+3x+2＝0 C．2x﹣3＝+2 D．x+1＝0 【答案】D 【解析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． A．是二元一次方程，故A错误； B．是元二次方程，故B错误； C．是分式方程，故C错误； D．是一元一次方程，故D正确． 【例题2】已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1 ⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有②③⑤。 【例题3】下列说法正确的是（　　） A．若x=y，则 B．若|a|=﹣a，则a＜0 C．若a，b互为相反数，那么a，b的商必定等于﹣1 D．若关于x的方程2x﹣1=3与3x﹣2a=0的解相同，则a=3 【答案】D 【解析】利用相反数、绝对值以及等式的性质方程的解的定义分别作出正确的判断即可． A. 若x=y,则，其中a，b不为0，a，b不一定相等，故本选项错误； B. 若|a|=−a，则，故本选项错误； C. 若a，b互为相反数，那么a，b的商必定等于−1，其中a，b不为0，故本选项错误； D. 解方程2x−1=3得：x=2， 由题意两方程解相同，将x=2代入3x−2a=0得：6−2a=0， 解得：a=3.故本选项正确. 【例题4】已知x＝4是关于x的方程的解，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【解析】根据方程的解的概念将x＝4代入方程中，得到一个关于k的方程，解方程即可．∵x＝4是关于x的方程的解， ∴， 解得． 【例题5】《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　） A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝ 【答案】B 【解析】设合伙人数为x人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 【例题6】x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x =80的解？ 【答案】x=2000 【解析】当x=1000时， 方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当x=2000时， 方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解. 【例题7】若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为________. 【答案】4 【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；正确把已知数据代入是解题关键. 【例题8】下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若x=y，则= D．若=（c≠0），则a=b 【答案】C 【解析】A．两边都加5，故A正确； B．左边乘c，右边除以c，故B正确； C．根据等式的性质2，当a=0，变形不正确，故C错误； D．两边都除以c（c≠0），故D正确。 【例题9】利用等式的性质解下列方程： (1) x + 7 = 26 (2) －5x = 20 【答案】（1）x =19（2）x=－4 【解析】(1)方程两边同时减去7， x + 7 -7= 26-7 于是 x =19 为使 (2) 中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质 ？ 两边同时除以－5， -5x÷(－5)= 20 ÷(－5) 化简，得 x=－4 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 下列各式不是方程的是（　　） A．x2+x=0 B．x+y=0 C． D．x=0 【答案】C 【解析】含有未知数的等式叫做方程。 A．x2+x=0是方程，x是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意； B．x+y=0是方程，x、y是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意； C．+x是分式，不是等式，故本选项符合题意； D．x=0是方程，x是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意。 2. 若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=0是一元一次方程，则m值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解析】一元一次方程须满足下列三个条件： 1）只含有一个未知数； 2）未知数的次数是1次； 3）整式方程． 方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 根据一元一次方程的定义，即可得到关于m的方程，求解即可． ∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=0是一元一次方程， ∴m﹣2≠0且|m|﹣1=1， ∴m≠2且|m|=2， 解得：m=﹣2． 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　） A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2 【答案】A 【解答】A、若＝，则a＝b，故A符合题意； B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意； C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意； D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；故选：A． 4．若不论k取什么实数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是x=1，则a+b的值是( ) A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5 【答案】A 【解析】把x＝1代入原方程并整理得出（b+4）k＝7﹣2a，然后根据方程总有根推出b+4＝0，7﹣2a＝0，进一步即可求出结果．解：把x＝1代入，得：， 去分母，得：4k+2a﹣1+kb＝6，即（b+4）k＝7﹣2a， ∵不论k取什么实数，关于x的方程的根总是x＝1， ∴，， 解得：a＝，b＝﹣4，∴a+b＝﹣0.5． 【点睛】考查了一元一次方程的相关知识，正确理解题意、得出b+4＝0，7﹣2a＝0是解本题的关键． 5．已知x＝1是方程的解，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1 【答】B 【解析】把x＝1代入方程，即可得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可． 把x＝1代入方程得：＝﹣×1， 解得：k＝2． 6．若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【答案】B 【解答】解2x＝8，得 x＝4． 由同解方程，得 4a+2×4＝4． 解得a＝﹣1，故选：B． 7．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【解析】因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1， 可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C． 【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答． 8．某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，可列方程为（　　） A．2×600x＝1000（22﹣x） B．2×1000x＝600（22﹣x） C．600x＝2×1000（22﹣x） D．1000x＝2×600（22﹣x） 【答案】A 【解答】设安排x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母， 由题意得：2×600x＝1000（22﹣x），故选：A． 9．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟， ∴甲的速度是，乙的速度是， 由题意得．故选：A． 10. 下列移项正确的是 ( ) A. 由2＋x＝8，得到x＝8＋2 B. 由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8 C. 由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1 D. 由5x－3＝0，得到5x＝－3 【答案】C 【解析】移项一定要变号。只有C选项移向过程中注意了变号。 11．若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为　3　． 【答案】3． 【解答】把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4， 解得：a＝3，故答案为：3． 12. 已知方程 是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． 【答案】见解析。 【解析】因为方程 是关于x的一元一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2. 所以原方程为－4x+3 = －7. 13．已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程． （1）求k的值； （2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0， ∴k＝﹣3； （2）3x＝4﹣5x， 3x+5x＝4， x＝， 原方程为：6x+2m+1＝0， 把x＝代入：3+2m+1＝0， m＝﹣2． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$