第四章 整式的加减 单元基础知识归纳总结 2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学 上册

第四章 整式的加减 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项，其结果仍然是整式； 2. 掌握学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤； 3. 能够正确地进行整式的加减运算.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感； 4. 培养用代数的方法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力. 单元知识点思维导图与题型方法总结 一、整式的有关概念 1.单项式：都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式：几个单项式的和叫做多项式． 5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 6.整式：单项式和多项式统称整式． 二、同类项、合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变． 注意： (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项； (2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并． 三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 四、判断单项式的方法 1.单独一个数或一个字母也是单项式. 2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. 3.单项式数字因数与字母可能一个或多个. 4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 五、对多项式的深刻把握 (1)多项式的各项应包括它前面的符号 (2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号 (3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的 (4)一个多项式的最高次项可以不唯一 单元考点例题讲析 考点1. 整式的有关概念 【例题1】把代数式2a2c3和a3x2的共同点填写在下列横线上. 例如：都是整式. （1）都是____________________； （2）都是____________________. 【例题2】下列说法错误的是（ ） A.有数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 B.几个单项式的和叫做多项式。 C.单项式与多项式统称整式。 D.一个数字不是一个单项式，它的次数是0。 考点2. 同类项 【例题3】已知与是同类项，则的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例题4】多项式 与m2+m-2的和是m2-2m. 考点3. 去括号 【例题5】下列去括号错误的是(　　) A.a－(b＋c)＝a－b－c B.a＋(b－c)＝a＋b－c C.2(a－b)＝2a－b D.－(a－2b)＝－a＋2b 【例题6】下列去括号正确吗？如有错误，请改正． (1)＋(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy； (3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y； (4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b. 考点4. 整式的加减运算与求值 【例题7】化简：8n2﹣[4m2﹣2m﹣（2m2﹣5m）]． 【例题8】如果x=1时，多项式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，多项式2ax3+3bx+4的值。 情感态度与价值观教育--数学家事迹 ‌整式加减的地位和作用‌ 承上启下：‌整式加减是在学生学习了用字母表示数、‌单项式、‌多项式以及有理数运算的基础上，‌进一步探究的一个课题。‌它不仅是初中阶段数学学习的重点，‌也是后续学习解方程、‌解不等式等数学内容的基础。‌合并同类项是有理数加减运算的延伸与拓广，‌体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性。‌ 简化整式：‌整式加减的一个重要应用是简化整式，‌即将一个复杂的整式表达式化简为简单的整式表达式。‌通过合并同类项和进行加减运算，‌可以得到简化后的整式，‌这在解决实际问题时也起到了重要作用。‌ 解决实际问题：‌整式加减在解决实际问题时也起到了重要作用。‌例如，‌利用整式加减的知识来解决代数问题，‌或者计算累计跑步距离等实际问题。‌这表明整式加减不仅是一种数学技巧，‌也是一种实用的工具，‌有助于学生理解和应用数学知识。‌ 培养学生的数学思维和能力：‌通过整式加减的学习，‌学生可以培养观察、‌比较、‌探究、‌交流等能力，‌体验化繁为简的数学思想，‌同时激发求知欲，‌培养独立思考和合作交流的能力。‌ 综上所述，‌整式加减在数学教育中占据着重要的地位，‌它不仅是数学知识的衔接点，‌也是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 整式的加减 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项，其结果仍然是整式； 2. 掌握学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤； 3. 能够正确地进行整式的加减运算.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感； 4. 培养用代数的方法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力. 单元知识点思维导图与题型方法总结 一、整式的有关概念 1.单项式：都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 4.多项式：几个单项式的和叫做多项式． 5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 6.整式：单项式和多项式统称整式． 二、同类项、合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变． 注意： (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如－7xy与yx是同类项； (2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并． 三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 四、判断单项式的方法 1.单独一个数或一个字母也是单项式. 2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. 3.单项式数字因数与字母可能一个或多个. 4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 五、对多项式的深刻把握 (1)多项式的各项应包括它前面的符号 (2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号 (3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的 (4)一个多项式的最高次项可以不唯一 单元考点例题讲析 考点1. 整式的有关概念 【例题1】把代数式2a2c3和a3x2的共同点填写在下列横线上. 例如：都是整式. （1）都是____________________； （2）都是____________________. 【答案】（1）五次式；（2）都含有字母a. 【解析】观察两式，共同点有：（1）都是五次式；（2）都含有字母a. 【例题2】下列说法错误的是（ ） A.有数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 B.几个单项式的和叫做多项式。 C.单项式与多项式统称整式。 D.一个数字不是一个单项式，它的次数是0。 【答案】D 【解析】A.有数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。符合单项式定义； B.几个单项式的和叫做多项式。符合多项式定义； C.单项式与多项式统称整式。符合整式定义； D.一个数字页是一个单项式，它的次数是0。 考点2. 同类项 【例题3】已知与是同类项，则的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值. ∵与是同类项， ∴n+1=4， 解得，n=3 【例题4】多项式 与m2+m-2的和是m2-2m. 【答案】-3m+2 【解析】设多项式为M，则M+（m2+m-2）= m2-2m. M=m2-2m-（m2+m-2） =m2-2m-m2-m+2=-3m+2 考点3. 去括号 【例题5】下列去括号错误的是(　　) A.a－(b＋c)＝a－b－c B.a＋(b－c)＝a＋b－c C.2(a－b)＝2a－b D.－(a－2b)＝－a＋2b 【答案】C 【解析】去括号法则 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． A.a－(b＋c)＝a－b－c，正确； B.a＋(b－c)＝a＋b－c，正确； C.2(a－b)＝2a－2b，错误； D.－(a－2b)＝－a＋2b；正确。 【例题6】下列去括号正确吗？如有错误，请改正． (1)＋(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy； (3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y； (4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b. 【答案】见解析。 【解析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号． (1)错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：＋(－a－b)＝－a－b； (2)错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy； (3)错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y； (4)错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b. 考点4. 整式的加减运算与求值 【例题7】化简：8n2﹣[4m2﹣2m﹣（2m2﹣5m）]． 【答案】见解析。 【解析】运用整式的加减的法则求解即可 8n2﹣[4m2﹣2m﹣（2m2﹣5m）] =8n2﹣（4m2﹣2m﹣2m2+5m） =8n2﹣4m2+2m+2m2﹣5m =8n2﹣2m2﹣3m． 【例题8】如果x=1时，多项式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，多项式2ax3+3bx+4的值。 【答案】3 【解析】将x=1代入代数式2ax3+3bx+4，令其值是5求出2a+3b的值，再将x=-1代入代数式2ax3+3bx+4，变形后代入计算即可求出值． ∵x=1时，代数式2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即2a+3b=1， ∴x=-1时，代数式2ax3+3bx+4=-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=-1+4=3． 情感态度与价值观教育--数学家事迹 ‌整式加减的地位和作用‌ 承上启下：‌整式加减是在学生学习了用字母表示数、‌单项式、‌多项式以及有理数运算的基础上，‌进一步探究的一个课题。‌它不仅是初中阶段数学学习的重点，‌也是后续学习解方程、‌解不等式等数学内容的基础。‌合并同类项是有理数加减运算的延伸与拓广，‌体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性。‌ 简化整式：‌整式加减的一个重要应用是简化整式，‌即将一个复杂的整式表达式化简为简单的整式表达式。‌通过合并同类项和进行加减运算，‌可以得到简化后的整式，‌这在解决实际问题时也起到了重要作用。‌ 解决实际问题：‌整式加减在解决实际问题时也起到了重要作用。‌例如，‌利用整式加减的知识来解决代数问题，‌或者计算累计跑步距离等实际问题。‌这表明整式加减不仅是一种数学技巧，‌也是一种实用的工具，‌有助于学生理解和应用数学知识。‌ 培养学生的数学思维和能力：‌通过整式加减的学习，‌学生可以培养观察、‌比较、‌探究、‌交流等能力，‌体验化繁为简的数学思想，‌同时激发求知欲，‌培养独立思考和合作交流的能力。‌ 综上所述，‌整式加减在数学教育中占据着重要的地位，‌它不仅是数学知识的衔接点，‌也是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$