4.2 整式的加法与减法 讲义 　2024—2025学年人教版数学七年级上册

4.2 整式的加减 讲义 课节学习目标 1．理解多项式中同类项的概念，会识别同类项； 2．掌握合并同类项法则，能进行同类项的合并，能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算； 3. 能运用运算律探究去括号法则，会利用去括号法则将整式化简； 4．知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算；能用整式加减运算解决实际问题； 课节知识点解读 知识点1. 同类项 1.同类项概念 含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 2. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3. 合并同类项的法则 系数相加减，字母及其字母的指数不变. 知识点2. 去括号法则 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据. （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项. （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。 注意：①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 知识点3. 整式的加减 1. 整式的加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减的一般步骤： （1）如果有括号，那么先去括号； （2）观察有无同类项； （3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 3. 整式加减解决实际问题的一般步骤 ⑴ 根据题意列代数式； ⑵ 去括号、合并同类项.； ⑶ 得出最后结果。 课节知识点例题讲析 考点1. 同类项 【例题1】若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】若am+2b3与（n-2）a2b3是同类项，而且它们的和为0，则（　　） A. m=0，n=2 B. m=0，n=1 C. m=2，n=0 D. m=0，n=-1 【例题3】计算3a2﹣a2的结果是（　　） A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．3 考点2. 去括号及化简 【例题4】化简： （1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)； （2）3(x2－5xy)－4(x2＋2xy－y2)－5(y2－3xy)； （3）abc-[2ab-(3abc-ab)+4abc] 【例题5】已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值 知识点3. 整式的化简求值 【例题6】化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝. 【例题7】下面计算正确的是( ) A．3x2﹣x2=3 B．3a2+2a3=5a5 C．3+x=3x D．﹣0.25ab+ba=0 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由． (1)－x2y与x2y； (2)23与－34； (3)2a3b2与3a2b3； (4)xyz与3xy. 2. 已知2x3y2和﹣x3my2是同类项，则式子4m﹣24的值是( ) A．20 B．﹣20 C．28 D．﹣28 3. 若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为(　　) A．1　　 　B．2　　 　C．3　　 　D．4 4. 下列运算中，正确的是( ) A．3a+5b=8ab B．3y2﹣y2=3 C．6a3+4a3=10a6 D．5m2n﹣3nm2=2m2n 5. 将下列各式合并同类项． (1)－x－x－x； (2)2x2y－3x2y＋5x2y； (3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2； (4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b. 6．化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（　　） A．0 B．2m C．﹣2n D．2m﹣2n 7. 有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完． 8．多项式3x+2y与多项式4x﹣2y的差是________． 9. 化简：（1）a2+（2a2﹣b2）+b2 （2）6a2b+（2a+1）﹣2（3a2b﹣a） 10. 先去括号，后合并同类项： (1)x＋[－x－2(x－2y)]； (2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}． 11. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|. 12. 先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2. 13. 已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值． 14. 某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件． (1)销售100件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售100件这种商品共盈利多少元？ 15. 计算﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）的结果是（　　） A. x﹣2y B．x+2y C．﹣x﹣2y D．﹣x+2y 16. 化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 17. 若x﹣y=2，x﹣z=3，则（y﹣z）2﹣3（z﹣y）+9的值为（　　） A．13 B．11 C．5 D．7 18. 化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－. 19. 如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是 20. 有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 整式的加减 讲义 课节学习目标 1．理解多项式中同类项的概念，会识别同类项； 2．掌握合并同类项法则，能进行同类项的合并，能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算； 3. 能运用运算律探究去括号法则，会利用去括号法则将整式化简； 4．知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算；能用整式加减运算解决实际问题； 课节知识点解读 知识点1. 同类项 1.同类项概念 含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 2. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3. 合并同类项的法则 系数相加减，字母及其字母的指数不变. 知识点2. 去括号法则 1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据. （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项. （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。 注意：①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 知识点3. 整式的加减 1. 整式的加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 2. 整式加减的一般步骤： （1）如果有括号，那么先去括号； （2）观察有无同类项； （3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 3. 整式加减解决实际问题的一般步骤 ⑴ 根据题意列代数式； ⑵ 去括号、合并同类项.； ⑶ 得出最后结果。 课节知识点例题讲析 考点1. 同类项 【例题1】若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 【解析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解． ∵﹣x3ya与xby是同类项， ∴a=1，b=3， 则a+b=1+3=4 【例题2】若am+2b3与（n-2）a2b3是同类项，而且它们的和为0，则（　　） A. m=0，n=2 B. m=0，n=1 C. m=2，n=0 D. m=0，n=-1 【答案】B． 【解析】本题考查同类项和相反数的定义，由同类项和相反数的定义可先求得m和n的值．由am+2b3与（n-2）a2b3是同类项， 可得m+2=2，m=0． 又因为它们的和为0，则am+2b3+（n-2）a2b3=0， 即n-2=-1，n=1．则m=0，n=1． 【例题3】计算3a2﹣a2的结果是（　　） A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．3 【答案】C． 【解析】合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变. 3a2﹣a2=2a2 考点2. 去括号及化简 【例题4】化简： （1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)； （2）3(x2－5xy)－4(x2＋2xy－y2)－5(y2－3xy)； （3）abc-[2ab-(3abc-ab)+4abc] 【答案】见解析。 【解析】（1）原式=3a2－12a＋9－25a2＋5a－10=－22a2－7a－1； （2）原式=3x2－15xy－4x2－8xy＋4y2－5y2+15xy =－x2－8xy－y2； （3）原式=abc-(2ab-3abc+ab+4abc) =abc-3ab-abc=-3ab. 【例题5】已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值 【答案】24 【解析】|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1， |y|=3，y=±3， 且x与y互为相反数， 所以x=3，y=-3， 所以 知识点3. 整式的化简求值 【例题6】化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝. 【答案】见解析。 【解析】对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号． 原式合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3. 将a＝－2，b＝代入得 原式＝－(－2)2×＋2×(－2)×＋3＝－1. 【例题7】下面计算正确的是( ) A．3x2﹣x2=3 B．3a2+2a3=5a5 C．3+x=3x D．﹣0.25ab+ba=0 【答案】D 【解析】 先判断是否为同类项，若是同类项则按合并同类项的法则合并． A.3x2﹣x2≠=2x2=3，故A错误； B.3a2与2a3不可相加，故B错误； C.3与x不可相加，故C错误； D.﹣0.25ab+ba=0，故D正确． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由． (1)－x2y与x2y； (2)23与－34； (3)2a3b2与3a2b3； (4)xyz与3xy. 【答案】见解析。 【解析】判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可． (1)是同类项，因为－x2y与x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1； (2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项； (3)不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项； (4)不是同类项，因为xyz与3xy中所含字母不同，xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所以不是同类项． 2. 已知2x3y2和﹣x3my2是同类项，则式子4m﹣24的值是( ) A．20 B．﹣20 C．28 D．﹣28 【答案】B 【解析】根据同类项相同字母的指数相同可得出m的值，继而可得出答案． 由题意得：3m=3， 解得m=1， ∴4m﹣24=﹣20． 3. 若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为(　　) A．1　　 　B．2　　 　C．3　　 　D．4 【答案】C 【解析】注意掌握同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同，解题时易混淆，因此成了中考的常考点． ∵－5x2ym和xny是同类项， ∴n＝2，m＝1，m＋n＝1＋2＝3 4. 下列运算中，正确的是( ) A．3a+5b=8ab B．3y2﹣y2=3 C．6a3+4a3=10a6 D．5m2n﹣3nm2=2m2n 【答案】D 【解析】根据合并同类项的法则结合选项进行求解，然后选出正确选项． A.3a和5b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B.3y2﹣y2=2y2，计算错误，故本选项错误； C.6a3+4a3=10a3，计算错误，故本选项错误； D.5m2n﹣3nm2=2m2n，计算正确，故本选项正确． 5. 将下列各式合并同类项． (1)－x－x－x； (2)2x2y－3x2y＋5x2y； (3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2； (4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b. 【答案】见解析。 【解析】合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号(如直线、曲线、圆圈)标记不同的同类项． 逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算． (1)－x－x－x＝(－1－1－1)x＝－3x； (2)2x2y－3x2y＋5x2y＝(2－3＋5)x2y＝4x2y； (3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2＝2a2＋(4－6)b2＋(－3－5)ab＝2a2－2b2－8ab； (4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b＝(－1＋3)ab3＋(2－4)a3b＝2ab3－2a3b. 6．化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（　　） A．0 B．2m C．﹣2n D．2m﹣2n 【答案】C 【解析】根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项．注意去括号时，括号前是负号，去括号时，括号里各项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变． 原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C． 7. 有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完． 【答案】见解析。 【解析】体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系． 甲每天运货物的，乙每天运货物的，则两个人合作运输一天后剩余的货物为 x－x－x＝x吨。 8．多项式3x+2y与多项式4x﹣2y的差是________． 【答案】﹣x+4y． 【解析】 由题意可得被减数为3x+2y，减数为4x﹣2y，根据差=被减数﹣减数可得出． 由题意得：差=3x+2y﹣（4x﹣2y）， =﹣x+4y． 9. 化简：（1）a2+（2a2﹣b2）+b2 （2）6a2b+（2a+1）﹣2（3a2b﹣a） 【答案】见解析。 【解析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号． （1）原式=a2+2a2﹣b2+b2=3a2； （2）6a2b+2a+1﹣6a2b+2a=4a+1． 10. 先去括号，后合并同类项： (1)x＋[－x－2(x－2y)]； (2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}． 【答案】见解析。 【解析】解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． (1)x＋[－x－2(x－2y)]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y； (2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋； (3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a； (4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}＝－3{9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9}＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27. 11. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|. 【答案】见解析。 【解析】本题考查了利用数轴，比较数的大小关系，对于含有绝对值的式子的化简，要根据绝对值内的式子的符号，去掉绝对值符号． 根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可确定a，b，c的符号，进而确定式子中绝对值内的式子的符号，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，对式子进行化简． 由图可知：a＞0，b＜0，c＜0，|a|＜|b|＜|c|，∴a＋c＜0，a＋b＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，∴原式＝－(a＋c)－(a＋b＋c)－(a－b)－(b＋c)＝－3a－b－3c. 12. 先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2. 【答案】见解析。 【解析】解决本题是要注意去括号，去括号要注意顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．负数代入求值时，要加上括号． 原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，当x＝－4，y＝时，原式＝5×(－4)×()2＝－5. 13. 已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值． 【答案】见解析。 【解析】在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题． 若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解． 因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5. 14. 某商店有一种商品每件成本a元，原来按成本增加b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件． (1)销售100件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售100件这种商品共盈利多少元？ 【答案】见解析。 【解析】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则． 求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价；由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果． (1)根据题意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元)，则销售100件这种商品的总售价为(88a＋88b)元； (2)根据题意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元)，则销售100件这种商品共盈利(－12a＋88b)元． 15. 计算﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）的结果是（　　） A. x﹣2y B．x+2y C．﹣x﹣2y D．﹣x+2y 【答案】A 【解析】原式=﹣3x+6y+4x﹣8y=x﹣2y 16. 化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 【答案】10x2－9y2. 【解析】先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 3(2x2－y2)－2(3y2－2x2) ＝6x2－3y2－6y2＋4x2 ＝10x2－9y2. 17. 若x﹣y=2，x﹣z=3，则（y﹣z）2﹣3（z﹣y）+9的值为（　　） A．13 B．11 C．5 D．7 【答案】A 【解析】解：本题考查了整式的加减﹣化简求值，解答本题的关键是根据题目所给的式子求出z﹣y的值，然后代入求解 ∵x﹣y=2，x﹣z=3， ∴z﹣y=（x﹣y）﹣（x﹣z）=﹣1， 则原式=1+3+9=13． 18. 化简求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－. 【答案】见解析。 【解析】化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变． 原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 解：原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1＝－3a＋b2＋1，当a＝2，b＝－时，原式＝－3×2＋×(－)2＋1＝－6＋＋1＝－4. 19. 如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是 【答案】3 【解析】将x=1代入代数式2ax3+3bx+4，令其值是5求出2a+3b的值，再将x=-1代入代数式2ax3+3bx+4，变形后代入计算即可求出值． ∵x=1时，代数式2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即2a+3b=1， ∴x=-1时，代数式2ax3+3bx+4=-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=-1+4=3． 20. 有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【答案】见解析。 【解析】解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关． 先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算． 3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3 ＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2＋b＋3 ＝b－b2＋3. 因为它不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$