4.1 整式 讲义 2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学 上册

4.1 整式 讲义 课节学习目标 1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；能用单项式表示具体问题中的数量关系。 2．理解多项式的概念； 3．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 4．能正确区分单项式和多项式. 课节知识点解读 知识点1. 单项式 1. 整式的概念：单项式与多项式统称整式。 2. 单项式的相关概念 （1）单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 注意：在代数式中，只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）. （2）单项式的系数概念：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数概念：一个单项式中，系数不为零时，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 3. 确定单项式的系数及次数时，应注意： （1）圆周率π是常数； （2）当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写； （3）省略1的字母指数别漏掉； （4）单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0. （5）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数． （6）一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。 知识点2. 理解多项式有关概念 1.多项式：几个单项式的和叫做多项式． （1）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项． （2）常数项：不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数． 2. 多项式应用 用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序． 课节知识点例题讲析 考点1. 确定单项式 【例题1】已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A． ﹣2xy2 B． 3x2 C． 2xy3 D． 2x3 【例题2】下列说法中，正确的是（　　） A． ﹣x2的系数是 B．πa2的系数是 C． 3ab2的系数是3a D． xy2的系数是 【例题3】单项式﹣x2y3的次数是　 　． 【例题4】按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( ) A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1 考点2. 多项式 【例题5】请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积，这些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式. 【例题6】写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)x2－3x＋5； (2)a＋b＋c－d； (3)－a2＋a2b＋2a2b2. 【例题7】如果多项式x4－（a－1）x3＋5x2－（b＋3）x－1不含x3和x项，求a、b的值. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有(　　) A．4个　　B．5个　　C．6个　　D．7个 2. 若(m-2)x2yn是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？　 3. 分别写出下列单项式的系数和次数． (1)－ab2；　　(2)；　　(3). 4. 用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数． (1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？ (2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？ 5. 指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7. 6. 已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 整式 讲义 课节学习目标 1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；能用单项式表示具体问题中的数量关系。 2．理解多项式的概念； 3．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 4．能正确区分单项式和多项式. 课节知识点解读 知识点1. 单项式 1. 整式的概念：单项式与多项式统称整式。 2. 单项式的相关概念 （1）单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 注意：在代数式中，只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）. （2）单项式的系数概念：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数概念：一个单项式中，系数不为零时，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 3. 确定单项式的系数及次数时，应注意： （1）圆周率π是常数； （2）当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写； （3）省略1的字母指数别漏掉； （4）单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0. （5）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数． （6）一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。 知识点2. 理解多项式有关概念 1.多项式：几个单项式的和叫做多项式． （1）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项． （2）常数项：不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数． 2. 多项式应用 用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序． 课节知识点例题讲析 考点1. 确定单项式 【例题1】已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A． ﹣2xy2 B． 3x2 C． 2xy3 D． 2x3 【答案】D． 【解析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2x3符合。 【例题2】下列说法中，正确的是（　　） A． ﹣x2的系数是 B．πa2的系数是 C． 3ab2的系数是3a D． xy2的系数是 【答案】D． 【解析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．2根据单项式的概念求解． A.﹣x2的系数是﹣，故本选项错误； B.πa2的系数是π，故本选项错误； C.3ab2的系数是3，故本选项错误； D.xy2的系数，故本选项正确． 【例题3】单项式﹣x2y3的次数是　 　． 【答案】5． 【解析】一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 x 次数是2 ，y 的次数是3 ，所有字母次数之和为5。 【例题4】按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( ) A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1 【答案】C 【解析】观察可知奇数项系数为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1。 ∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负， 指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为， ∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 考点2. 多项式 【例题5】请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积，这些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式. 【答案】纸盒的容积为abc；表面积为ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）. 它们都是整式；abc是单项式，ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）是多项式. 【解析】容积是长×宽×高，表面积（无盖）是五个面的面积，在分辨它们是不是整式，是单项式还是多项式时，牵牵把握住概念，根据概念判断. 纸盒的容积为abc；表面积为ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）. 它们都是整式；abc是单项式，ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）是多项式. 【例题6】写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)x2－3x＋5； (2)a＋b＋c－d； (3)－a2＋a2b＋2a2b2. 【答案】见解析。 【解析】(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项． 根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． (1)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式； (2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式； (3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式． 【例题7】如果多项式x4－（a－1）x3＋5x2－（b＋3）x－1不含x3和x项，求a、b的值. 【答案】a的值是1，b的值是－3. 【解析】多项式不含x3和x项，则x3和x项的系数就是0. 根据这两项的系数等于0就可以求出a和b的值了. 因为多项式不含x3项， 所以其系数－（a－1）＝0， 所以a＝1. 因为多项式也不含x项， 所以其系数－（b＋3）＝0， 所以b＝－3. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有(　　) A．4个　　B．5个　　C．6个　　D．7个 【答案】A 【解析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式． 2x，－ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A. 2. 若(m-2)x2yn是关于 x，y 的一个四次单项式，m，n应满足的条件？　 【答案】m≠ 2，n=2. 【解析】由题意知m，n要满足 2+n=4 m-2 ≠ 0， 所以m≠ 2，n=2. 3. 分别写出下列单项式的系数和次数． (1)－ab2；　　(2)；　　(3). 【答案】见解析。 【解析】(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母． 单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可． (1)单项式的系数是－1，次数是3； (2)单项式的系数是，次数是6； (3)单项式的系数是，次数是3. 4. 用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数． (1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？ (2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？ 【答案】见解析。 【解析】此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键． 根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可； 根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答． (1)∵买2本练习册花了n元， ∴买1本练习册花元， ∴买m本练习册要花mn元， ∴它的系数是，次数是2； (2)∵正方体的棱长为a， ∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2； 它的体积是a3，系数是1，次数是3. 5. 指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7. 【答案】见解析。 【解析】(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算． 根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断． ，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式． 单项式有：－x，10，m2n，a7； 多项式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5； 整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7. 6. 已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式． 【答案】m＝4，－5x4＋104x4－4x4y2. 【解析】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式． 由题意得m＋2＝6， 解得m＝4， 此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$