第三章 代数式单元基础知识归纳总结讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

第三章 代数式 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 （1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 （2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。 （3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 单元知识点思维导图与题型方法总结 1.代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式. （1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。 （2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等 （3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。 2.代数式的分类：代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。 3.列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 列式（或者说列代数式）注意： ①数与字母、字母与字母相乘省略乘号； ②数与字母相乘时数字在前； ③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数； ⑤带单位时，适当加括号. 4.代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 单元考点例题讲析 考点1. 代数式 【例题1】用代数式表示： (1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%； (2)x的与y的差的； (3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积． 【答案】见解析。 【解析】(1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%，用代数式表示为： 50%（3/m -m2） (2)x的与y的差的，用代数式表示为： (x-y) (3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积，用代数式表示为： (a-b)/ab 【例题2】猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜出第六个数是，根据此规律，第n个数是_________． 【答案】2n/（2n+3） 【解析】观察分析这组数据的特点发现，分数的分子一次为21、22、23、24、......2n; 分数的分母一次为21+3、22+3、23+3、24+3、......2n+3 根据此规律，第n个数是2n/（2n+3）。 【例题3】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是（m+r）人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为 ，故选：D． 考点2. 求代数式的值 【例题4】当时，代数式的值为7，那么当时，代数式的值是 ． 【答案】 【解析】把代入代数式得：，则得到：，即；然后把代入，利用整体代入很容易得到结果． 将代入代数式， 得：， 化简得：， 即， ∴， 将代入代数式，得：， ∴这个代数式的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 【例题5】某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查程序框图，根据“程序恰好操作了三次就停止，”建立不等式求解，即可解题． 由题知，， 解①得：， 解②得：， 综上所述，x的取值情况是， 故选：C． 【例题6】小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 【答案】C 【解析】本题主要考查了与程序流程图有关的代数式求值，先把10作为输入的数，计算出的结果，若结果大于200，则输出，若结果不大于200，则把结果作为新数输入继续计算的值，如此重复上述过程直至计算的结果大于200进行输出即可． 当时，， 再把51作为输入的数，则， ∴输出的结果为256． 故选：C． 【例题7】若，，，求的值． 【答案】3 【解析】先整理得到，再把，，，代入计算即可． ， 那么再把，，代入原式为， 即，故答案为：3． 【点拨】本题考查代数式的化简再求值等运算内容，掌握准确的化简方式是解题的关键． 【例题8】已知a、b是有理数，且满足，求的值 【答案】 【解析】根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解． ，，， ，， ，， ． 【点拨】本题考查非负数的性质、求代数式的值，解题的关键是根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值． 【例题9】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_______； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中计算即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中计算即可． 解：∵，即， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）∵当时，代数式的值为5， 即， ∴， ∴当，时， ． 【点拨】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数的混合运算，解本题的关键是运用整体代入思想． 【例题10】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则： ①取时，直接可以得到； ②取时，可以得到； ③取时，可以得到． ④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据阅读材料，令，即可得到； （2）根据阅读材料，令，即可得到 （3）令，得；令，得，两式直接求和即可得到答案． 解：令，得； （2）解：令，得； （3）令，得①； 令，得②； 由①②得，结合（1）中，得． 【点拨】本题主要考查代数式求值问题，读懂材料，掌握赋值法，根据所给代数式选择恰当的特殊值，利用整体思想求解是解题的关键． 【例题11】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：    (1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积． ①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________； ②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_____________； (2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________； (3)若，，求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)①；②；；(2)；(3)． 【分析】（1）①根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解；②求得大正方形的面积和四个小长方形的面积，即可求解； （2）由（1）即可得出恒等式； （3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，将，代入，即可求解． 解：①由题意可得，阴影部分正方形的边长为，则面积为， 故答案为： ②大正方形的面积为， 四个长方形的面积为：， 则阴影部分的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：， 故答案为： （3）阴影部分的面积为： 将，代入可得： 原式 ． 【点拨】此题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是通过不同方式求解出阴影部分的面积． 考点3.代数式表示的实际意义 【例题12】某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以（4x/5-7）元出售，则下列关于代数式（4x/5-7）的含义的描述正确的是（    ） A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 【答案】A 【解析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键． 将原价x元的衣服以（4x/5-7）元出售就是把原价打8折后再减去7元． 故选：A． 考点4.用代数式表示式子 【例题13】商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价 为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查列代数式，根据题意可列算式即可求解． 由题意得，该商品的进价为 ， 故选：C． 考点5.用代数式表示探究规律 【例题14】如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒． 【答案】15 【解析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可． 根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒， 第（2）个图形有根火柴棒， 第（3）个图形有根火柴棒， …… 第（n）个图形有根火柴棒， ∴第（7）个图案中有根火柴棒， 故答案为：15 情感态度与价值观教育--数学家事迹 对代数式有贡献的科学家‌ 韦达被西方称为代数之父，‌他的贡献主要体现在代数领域。‌在数学史上，‌韦达的工作对代数式的发展产生了重要影响。‌他的贡献不仅体现在理论上的创新，‌还包括对代数式应用方面的推动，‌使得代数式成为数学中的一个重要分支。‌韦达的研究工作，‌包括他对代数式的定义、‌运算规则以及解决方案的探索，‌为后来的数学家提供了坚实的基础和灵感。‌因此，‌韦达无疑是代数式发展历史上的重要人物. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 （1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 （2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。 （3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 单元知识点思维导图与题型方法总结 1.代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式. （1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。 （2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等 （3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。 2.代数式的分类：代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。 3.列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 列式（或者说列代数式）注意： ①数与字母、字母与字母相乘省略乘号； ②数与字母相乘时数字在前； ③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数； ⑤带单位时，适当加括号. 4.代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 单元考点例题讲析 考点1. 代数式 【例题1】用代数式表示： (1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%； (2)x的与y的差的； (3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积． 【例题2】猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜出第六个数是，根据此规律，第n个数是_________． 【例题3】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ） A． B． C． D． 考点2. 求代数式的值 【例题4】当时，代数式的值为7，那么当时，代数式的值是 ． 【例题5】某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（   ）    A． B． C． D． 【例题6】小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 【例题7】若，，，求的值． 【例题8】已知a、b是有理数，且满足，求的值 【例题9】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_______； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值． 【例题10】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则： ①取时，直接可以得到； ②取时，可以得到； ③取时，可以得到． ④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【例题11】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：    (1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积． ①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________； ②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_____________； (2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________； (3)若，，求图2中阴影部分的面积． 考点3.代数式表示的实际意义 【例题12】某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以（4x/5-7）元出售，则下列关于代数式（4x/5-7）的含义的描述正确的是（    ） A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 考点4.用代数式表示式子 【例题13】商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价 为（   ） A． B． C． D． 考点5.用代数式表示探究规律 【例题14】如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒． 情感态度与价值观教育--数学家事迹 对代数式有贡献的科学家‌ 韦达被西方称为代数之父，‌他的贡献主要体现在代数领域。‌在数学史上，‌韦达的工作对代数式的发展产生了重要影响。‌他的贡献不仅体现在理论上的创新，‌还包括对代数式应用方面的推动，‌使得代数式成为数学中的一个重要分支。‌韦达的研究工作，‌包括他对代数式的定义、‌运算规则以及解决方案的探索，‌为后来的数学家提供了坚实的基础和灵感。‌因此，‌韦达无疑是代数式发展历史上的重要人物. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$