精品解析：上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

上外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的初始相位为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由，得函数的最小正周期为. 考点：三角函数的周期. 3. 已知，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值. 【详解】由题设，即. 故答案为： 4. 已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 5. 函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的单调增区间为，即可求解. 【详解】令， 解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为 【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调区间，属于中档题. 6. 等边的边长是2，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式直接求解即可. 【详解】因为等边的边长是2，与的夹角为， 所以， 故答案为： 7. 已知 则在上的投影向量为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为，且 所以在 上的投影向量为 . 故答案为： . 8. 根据下图，函数的解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像判断函数性质，进而确定函数解析式. 【详解】由图像可知函数最小值为，且最小正周期， 又，， 则，， 根据函数的对称性可知函数经过点， 即， 解得，， 又， 即， 即， 故答案为：. 9. 定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用奇函数的性质及周期性有，再应用解析式即可求值. 【详解】由题设. 故答案为： 10. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知函数的表达式，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若存在，使成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知及三角函数性质可列式解得，则存在，使成立等价于，求函数最小值即可. 【详解】由的图象在y轴上的截距为1得， 由的图象关于直线对称得，又，∴， ∴，∴， 当时，，故当，即时， ，故存在，使成立等价于，解得或. 故答案为： 12. 已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. 下列说法正确的是 A. 向量与表示同一个向量 B. 两个有公共终点的向量是平行向量 C. 零向量与单位向量是平行向量 D. 对任一向量，是一个单位向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，判定每个命题是否正确，从而得出答案． 【详解】向量与的方向相反，不是同一个向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当时，无意义.故错误.零向量与任何向量都是平行向量，C正确. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的基本定义，意在考查学生对平面向量基本概念理解与掌握的情况，是基础题． 14. 函数的部分图像是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项. 故选D. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题. 15. 先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像的伸缩变换和平移规则即可得出解析式. 【详解】周期扩大为原来的倍即是横坐标扩大为原来的倍,可得, 再将新函数的图像向右平移可得,所得图像的解析式为. 故选:A 16. 已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 三、解答题（本大题满分78分）. 17. 已知函数. （1）若角的终边与单位圆交于点，求的值； （2）当时，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过三角函数的定义求得的值，代入即可； （2）通过降幂公式和辅助角公式对函数进行化简，然后求出括号内整体的范围，最后结合正弦函数图像求出值域. 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点， 所以，， ； （2）， 因为，所以，所以， 的值域是 18. 在中，角所对的边分别为，且. （1）若满足，求角大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义，将题设条件转化成三角形的边角关系，根据余弦定理化简整理得出，再结合条件计算得出为等边三角形，即可求出角； （2）利用正弦定理进行边角互化，结合（1）的结论解出，利用余弦定理计算出，从而可得出，再根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 根据余弦定理，， 则有，整理可得. 因为，则，即，解得或（舍去），所以. 则，即，故，为等边三角形， 所以. 【小问2详解】 根据正弦定理，由可得， 因为，所以. 由（1）可知，，即， 由可解得，则. 根据余弦定理，， 因为，所以. 所以. 19. 如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. （1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； （2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，上的点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 【答案】（1）m （2），当时， 【解析】 【分析】（1）先设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，得出，，由余弦定理可得答案. （2）先得出，，由正弦定理可以把表示为的函数，由三角函数的性质得出最值. 【小问1详解】 在，，由，得， 设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，则，， 由余弦定理，得，解得， 所以乙出发后的第末甲乙之间的距离为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 在中，，则， ，，则， 由，即，得， 因此，，所以当时，y取最小值. 20. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【小问1详解】 若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. 【小问2详解】 若，, 函数 由，得 ,当，则 则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. 【小问3详解】 因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 21. 已知、都是单位向量，，，函数，. （1）当时，求值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. 【小问3详解】 令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的初始相位为______. 2. 函数的最小正周期为_______． 3. 已知，，且，则的值为______. 4. 已知向量，，，的夹角为，则______. 5. 函数的单调递增区间为________. 6. 等边的边长是2，则______. 7. 已知 则在上的投影向量为______ 8. 根据下图，函数的解析式为______ 9. 定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 10. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 11. 已知函数的表达式，的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若存在，使成立，则实数m的取值范围为______． 12. 已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. 下列说法正确的是 A. 向量与表示同一个向量 B. 两个有公共终点的向量是平行向量 C. 零向量与单位向量是平行向量 D. 对任一向量，是一个单位向量 14. 函数的部分图像是 A. B. C. D. 15. 先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）. 17. 已知函数. （1）若角的终边与单位圆交于点，求的值； （2）当时，求的值域. 18. 在中，角所对的边分别为，且. （1）若满足，求角大小； （2）若，且，求的面积. 19. 如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. （1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； （2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，上的点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 20. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 21. 已知、都是单位向量，，，函数，. （1）当时，求值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $