第二章 有理数的运算 单元基础知识归纳总结 2024-2025学年 人教版（2024）七年级数学上册

第二章 有理数的运算 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 3. 理解乘方的意义。 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 5. 能运用有理数的运算解决简单问题。 单元知识点思维导图与题型方法总结 【方法总结1】有理数加法法则使用 1.先判断类型（同号、异号等）； 2.再确定和的符号； 3.最后进行绝对值的加减运算. 见表格（便于理解记忆） 【方法总结2】记忆有理数加法法则、有理数的减法法则、有理数乘法法则、有理数除法法则。 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3）乘法交换律:ab＝ba （4）乘法结合律:(ab)c ＝ a(bc) （5）乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac 【方法总结3】有理数的混合运算规则 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 单元考点例题讲析 【例题1】计算： 【例题2】﹣7的倒数是（　　） A． B．7 C．- D．﹣7 【例题3】下列计算结果为1的是( ) A.(＋1)＋(－2) B.(－1)－(－2) C.(＋1)×(－1) D.(－2)÷(＋2) 【例题4】计算（﹣2）2的结果是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【例题5】观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是 　 　． 【例题6】计算： （1）2﹣5+4﹣（﹣7）+（﹣6） （2）（﹣24）÷6 （3）（﹣18）÷2×÷（﹣16） （4）43﹣． 【例题7】中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【例题8】判断下列说法是否正确，说明理由. （1）近似数4.60与4.6的精确度相同. （2）近似数5千万与近似数5000万的精确度相同. （3）近似4.31万精确到0.01. （4）1.45×104精确到0.01. 情感态度与价值观教育--数学家事迹 聪明的小高斯 1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。学校的老师是城里来的。他有个偏见，总觉得农村的孩子不如城里的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，要求还是严格的。有一天，他给学生们出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100，等于多少？谁算不出来，不准回家吃饭。”说完，他就坐在一边的椅子上，用目光巡视趴在桌子上演算的学生。不到1分钟的功夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了”没等小高斯说完，老师就不耐烦地说：“错了！重新再算！”小高斯很快地把算式检查了一遍，高声说：“老师，没有错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。老师低头一看，看见上面端端正正地写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的题，一个8岁的孩子，用不到1分钟时间就算出了正确的得数。要知道他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。他问小高斯：“你是怎么算的？”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99是101，3加98也是101把一前一后的数相加，一共有50个101，101乘以50，得5050。”小高斯的回答，使老师感到吃惊。因为他还是第一次知道这种算法。他惊喜地看着小高斯，好像刚刚认识这个穿着破烂不堪的砌砖工人的儿子。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 3. 理解乘方的意义。 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 5. 能运用有理数的运算解决简单问题。 单元知识点思维导图与题型方法总结 【方法总结1】有理数加法法则使用 1.先判断类型（同号、异号等）； 2.再确定和的符号； 3.最后进行绝对值的加减运算. 见表格（便于理解记忆） 【方法总结2】记忆有理数加法法则、有理数的减法法则、有理数乘法法则、有理数除法法则。 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3）乘法交换律: ab＝ba （4）乘法结合律: (ab)c ＝ a(bc) （5）乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac 【方法总结3】有理数的混合运算规则 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 单元考点例题讲析 【例题1】计算： 【答案】8 【解析】根据有理数的减法法则和加法法则计算即可。 = = = =8 【例题2】﹣7的倒数是（　　） A． B．7 C．- D．﹣7 【答案】C 【解析】此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）． ﹣7的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣．故选C． 【例题3】下列计算结果为1的是( ) A.(＋1)＋(－2) B.(－1)－(－2) C.(＋1)×(－1) D.(－2)÷(＋2) 【答案】B. 【解析】分别计算出4个算式的结果: (＋1)＋(－2)=-1; (－1)－(－2)=1; (＋1)×(－1)=-1; (－2)÷(＋2)=-1.所以计算结果为1的是(－1)－(－2),故选B. 【例题4】计算（﹣2）2的结果是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解析】(﹣2)²表示2个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可． (﹣2)²＝(﹣2)×(﹣2)＝4． 【例题5】观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是 　 　． 【答案】n． 【解析】根据题目中数字的特点，可以发现数字的整数部分是连续的整数，从1开始，而分数部分的分母是2的n次方，n从1开始，分子都是1，然后即可写出第n项对应的数字． ∵一列数为1，2，3，4，…，、 ∴这列数可以写成：1，2，3，4，…， ∴第n项是n． 【例题6】计算： （1）2﹣5+4﹣（﹣7）+（﹣6） （2）（﹣24）÷6 （3）（﹣18）÷2×÷（﹣16） （4）43﹣． 【答案】见解析． 【解析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果； （3）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果； （4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 解：（1）原式=2﹣5+4+7﹣6=2； （2）原式=（﹣24﹣）×=﹣4﹣=﹣4； （3）原式=﹣18×××（﹣）=； （4）原式=64﹣（81﹣）=64﹣81+=37． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例题7】中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 120亿个用科学记数法可表示为：个．故选C． 【例题8】判断下列说法是否正确，说明理由. （1）近似数4.60与4.6的精确度相同. （2）近似数5千万与近似数5000万的精确度相同. （3）近似4.31万精确到0.01. （4）1.45×104精确到0.01. 【答案】见解析。 【解析】（1）错，近似数4.60精确到0.01，近似数4.6精确到0.1. （2) 错，近似数5千万精确到千万位，近似数5000万精确到万位. （3）错，近似数4.31万写成单位为‘个’位的数是43100，数字1所在的位置为百位，故4.31万精确到百位. （4）错，1.45×104 写成原数为14500，数字5所在位置为百位，故1.45×104 精确到百位. 情感态度与价值观教育--数学家事迹 聪明的小高斯 1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。学校的老师是城里来的。他有个偏见，总觉得农村的孩子不如城里的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，要求还是严格的。有一天，他给学生们出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100，等于多少？谁算不出来，不准回家吃饭。”说完，他就坐在一边的椅子上，用目光巡视趴在桌子上演算的学生。不到1分钟的功夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了”没等小高斯说完，老师就不耐烦地说：“错了！重新再算！”小高斯很快地把算式检查了一遍，高声说：“老师，没有错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。老师低头一看，看见上面端端正正地写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的题，一个8岁的孩子，用不到1分钟时间就算出了正确的得数。要知道他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。他问小高斯：“你是怎么算的？”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99是101，3加98也是101把一前一后的数相加，一共有50个101，101乘以50，得5050。”小高斯的回答，使老师感到吃惊。因为他还是第一次知道这种算法。他惊喜地看着小高斯，好像刚刚认识这个穿着破烂不堪的砌砖工人的儿子。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$