重点题型针对训练12 空间向量在立体几何中的应用-2025届高三数学三轮冲刺（天津适用）

重点题型针对训练---空间向量在立体几何中的应用 一、利用空间向量证明平行垂直问题 例1：如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F. (1)求证：平面EDB； (2)求证：平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 变式训练： 1.如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，，点E在直线上，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 2.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 2、 利用空间向量解决空间角和空间距离问题 例2：如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 变式训练： 1.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 3.如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 例3：如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． (1)设为中点，求证：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 变式训练： 1.如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. (1)求证：； (2)求直线和之间的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2.在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 3.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 (1)求证:BE⊥平面ABCD; (2)求点C到直线AF的距离； (3)设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度. 3、 利用空间向量解决存在性问题 例4：如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 变式训练： 1.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，在五面体中，平面，，，，，，，，分别为，的中点，连接，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 4.如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点题型针对训练---空间向量在立体几何中的应用 一、利用空间向量证明平行垂直问题 例1：如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F. (1)求证：平面EDB； (2)求证：平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面CPB的一个法向量为，易知平面PBD的一个法向量为，由求解. 【详解】（1）解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设. 依题意得，，，. 所以，，. 设平面EDB的一个法向量为， 则有即 取，则， 因为平面EDB，因此平面EDB. （2）依题意得， 因为， 所以. 由已知，且， 所以平面EFD. （3）依题意得，且，. 设平面CPB的一个法向量为， 则即， 取. 易知平面PBD的一个法向量为， 所以. 所以平面CPB与平面PBD的夹角为. 变式训练： 1.如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，，点E在直线上，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）如图，证明四边形是平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可证得平面，可得，由题意得，从而平面，，结合可证得结论； （3）建立如图空间直角坐标系，设，易知平面的一个法向量为、平面的一个法向量为，结合空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）如图，连接交于点，则. 连接，由题意，得四点共面. 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，即. 因为四边形是正方形，所以四边形是正方形. 又因为，所以， 所以，所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以. 又平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 由，得，所以. 因为平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面平面， 所以平面. （3）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 由（2）知平面的一个法向量为. 由题意，得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 2.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）连接与相交于点，连接，易得为的中点，结合为棱的中点即可得到，进而求证即可； （2）证法1：先证明，，进而求证即可； 证法2： 建立空间直角坐标系，利用空间向量可证，再结合题设可证，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：如图1所示，连接与相交于点，连接. 因为底面为矩形，所以为的中点. 又为棱的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证法1：因为，且为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以. 又因为底面为矩形，所以. 又，平面 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面. 证法2：以为原点，因为底面，底面为矩形， 所以分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，. 故，从而，， 所以，即. 又因为，为中点，所以， 又，平面， 所以平面. （3）以为原点，分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 化简得，即， 解得或. 故或. 2、 利用空间向量解决空间角和空间距离问题 例2：如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 变式训练： 1.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求二面角 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【详解】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 2．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求二面角 【分析】（1）利用等腰三角形性质以及线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）①根据定义作出两平面所成角的平面角，即可求出对应余弦值； ②利用等体积法直接计算可得结果. 【详解】（1）由底面为矩形，，所以， 即，又因为是的中点，所以； 因为平面，平面， 所以， 由平面, 所以平面； （2）①连接，如下图所示：    由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以即为平面与平面所成的夹角， 易知，所以， 又，，所以， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为； ②易知三棱锥的体积为； 设点到平面的距离为， 由可知， 又，即，解得； 即点到平面的距离为. 3.如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3). 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接交于点，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（2）得平面的法向量为，再由， 结合点面距的向量计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：连接，交于点，可得是的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以正方向分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则有， 取，可得，，所以， 又由，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. （3）解：由（2）知：平面的法向量为， 又由， 则， 所以点到平面的距离为. 例3：如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． (1)设为中点，求证：面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）取BE的中点为G，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）取BE的中点为G，连接， 因为为中点，所以， 而，，则，，故， 所以，则四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面； （2）在直三棱柱中，，故两两垂直， 以所在直线为轴建立空间直坐标系， 由于， 故， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）, 故点到直线的距离为. 变式训练： 1.如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. (1)求证：； (2)求直线和之间的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可得证； （2）首先说明，即点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离，再由空间向量法求出点到直线的距离，即可得解； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）在正方体中，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以，故； （2）因为，，所以， 所以，由题意知，，，不共线，故， 故知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离， 又， 则，，， 设点到直线的距离为，则， 即直线和之间的距离为； （3）因为，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2.在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）如图，取中点，连接       因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． （2）    根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 3.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 (1)求证:BE⊥平面ABCD; (2)求点C到直线AF的距离； (3)设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【知识点】面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的性质证明线面垂直即可. （2）建立适当的空间直角坐标系，应用空间距离向量的求法求点线距离； （3）根据（2）所得坐标系，由线面角的向量求法及其正弦值列方程，求解即可. 【详解】（1）因为四边形OBEF为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1），知平面，又平面，所以， 而在正方形中有，所以两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，则， 所以， 则点C到直线AF的距离为. （3）由（2）知，则， 设平面的法向量为，则，取，则， 设且，则， 故， 所以，解得或， 所以或. 3、 利用空间向量解决存在性问题 例4：如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 【答案】存在；P为的中点时，平面 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断出点的位置. 【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以 ，． 设是平面的法向量，则，，即 ，所以， 取，则，．所以，是平面的一个法向量． 由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以． 令，得，解得，这样的点P存在． 所以，当，即P为的中点时，平面． 变式训练： 1.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 2.如图，在五面体中，平面，，，，，，，，分别为，的中点，连接，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用线面垂直的向量表示可证明得出结论； （2）由线面角的向量求法计算即可求得结果； （3）设，由平面解得，再由点到面的距离公式计算可得结果. 【详解】（1）如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    由题意可得，，，，，，，，， 因为，，所以， 又，分别为，的中点，所以，，，，四点共面， 设平面的一个法向量，，， 由，即， 令，，，所以， ，易知， 所以平面. （2）易知，由（1）知平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，又，∴， 所以直线与平面所成角的大小为. （3）设，， 所以，则， 设平面的一个法向量， ，， 由，即， 令，，，所以， 则， 因为平面，所以，解得，所以， 设点到平面的距离为，，， 则， 所以点到平面的距离为. 3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、线面角的向量求法、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 4.如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得∽，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，，，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$