2.3 有理数的乘方 讲义 2024-2025学年　 2024—2025学年人教版七年级数学上册

2.3 有理数的乘方 讲义 课节学习目标 1. 理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义； 2. 能够正确进行有理数的乘方运算； 3. 知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序.会进行有理数的混合运算； 4. 了解科学记数法的现实意义，学会用科学记数法表示较大的数.会用科学记数法表示的数进行简单的运算； 5. 理解近似数的意义.能按照精确度的要求，用四舍五入法求出近似数。 课节知识点解读 知识点1. 有理数的乘方 1. 乘方的定义 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 例如：2×2×2×2，记作24读作2的4次方(幂). 2×2×2×2×2×2，记作26读作2的6次方(幂). 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）零的正整数次幂都是零 【知识总结】 1.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 2.有理数乘方的运算方法： （1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。 （2）计算结果的绝对值。 注意：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 知识点2. 科学记数法 我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 2.用科学记数法表示数 (1)指数与运算结果中的0的个数的关系 (2)指数与运算结果的数位的关系 反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少. 【注意的事项】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 知识点3. 近似数 1.近似数：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2.有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3.精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪。 【知识总结】对近似数的精确度的理解 精确到0.1位，也叫做精确到十分位。 精确到0.01位，也叫做精确到百分位。 精确到0.001位，也叫做精确到千分位。 精确到0.0001位，也叫做精确到万分位。 近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示. 课节知识点例题讲析 【例题1】（﹣3）2中的底数是______，指数是_______，结果是______． 【例题2】计算：|﹣3|﹣（-1）0+（﹣2）2 【例题3】在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的□并计算． 【例题4】某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ） A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105 【例题5】判断下列各数，哪些是近似数，哪些是准确数 ⑴某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加; ⑵检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌800000万个; ⑶张明家里养了5只鸡; ⑷据统计，2024年全国初中在校生人数为4311.95万. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. (1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____. (2) (1/2)6表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作的 次幂，其中 叫做 ，6叫做 . 2.有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是　 　． 3. 计算（1）(-4)3； (2) (-2)4； 4. 计算：（1）(-32) × (-2/3) （2）-23×(-32) （3）64÷(-2)5 （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4 5. 计算 (1)2×(-3)3-4×(-3)+15; (2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2). 6．计算：． 7．计算：8.计算： 9.中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（　　） A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元 10. 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.0158（精确到0.001）； （2）304.35（精确到个位）； （3）1.804（精确到0.1）； （4）1.804（精确到0.01）． 11.按照要求，用四舍五入法表示数:1.804=______（精确到0.01） 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方 讲义 课节学习目标 1. 理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义； 2. 能够正确进行有理数的乘方运算； 3. 知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序.会进行有理数的混合运算； 4. 了解科学记数法的现实意义，学会用科学记数法表示较大的数.会用科学记数法表示的数进行简单的运算； 5. 理解近似数的意义.能按照精确度的要求，用四舍五入法求出近似数。 课节知识点解读 知识点1. 有理数的乘方 1. 乘方的定义 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 例如：2×2×2×2，记作24读作2的4次方(幂). 2×2×2×2×2×2，记作26读作2的6次方(幂). 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）零的正整数次幂都是零 【知识总结】 1.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 2.有理数乘方的运算方法： （1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。 （2）计算结果的绝对值。 注意：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 知识点2. 科学记数法 我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 2.用科学记数法表示数 (1)指数与运算结果中的0的个数的关系 (2)指数与运算结果的数位的关系 反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少. 【注意的事项】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 知识点3. 近似数 1.近似数：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2.有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3.精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪。 【知识总结】对近似数的精确度的理解 精确到0.1位，也叫做精确到十分位。 精确到0.01位，也叫做精确到百分位。 精确到0.001位，也叫做精确到千分位。 精确到0.0001位，也叫做精确到万分位。 近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示. 课节知识点例题讲析 【例题1】（﹣3）2中的底数是______，指数是_______，结果是______． 【答案】﹣3，2，9． 【解析】根本题考查了有理数的乘方，是基础概念题，熟练掌握幂的定义是解题的关键．据指数幂的定义解答即可． （﹣3）2中的底数是（﹣3），指数是2，结果是9． 【例题2】计算：|﹣3|﹣（-1）0+（﹣2）2 【答案】6 【解析】根据绝对值的意义，零指数幂的意义即可求出答案。 原式=3﹣1+4=6 【例题3】在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入中的□并计算． 【答案】-；5或×；5 【解析】先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可． （1）选择“-” （2）选择“×” 【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟知有理数的四则运算法则是解题的关键． 【例题4】某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ） A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105 【答案】B 【解析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解： 360 000＝3.6×105， 【点拨】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【例题5】判断下列各数，哪些是近似数，哪些是准确数 ⑴某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加; ⑵检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌800000万个; ⑶张明家里养了5只鸡; ⑷据统计，2024年全国初中在校生人数为4311.95万. 【答案】（1）近似数（2）近似数（3）准确数（4）近似数 【解析】根据近似数和精确数含义做答。 （1）歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加; 12000人这个数是近似数。 （2）查一双没洗过的手,发现带有各种细菌800000万个; 800000万是近似数。 （3）明家里养了5只鸡; 5只能真实的数出来是准确数。 （4）统计，2024年全国初中在校生人数为4311.95万. 是近似数。 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. (1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____. (2) (1/2)6表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作的 次幂，其中 叫做 ，6叫做 . 【答案】见解析。 【解析】根据乘方的定义和幂的含义解答。 (1)(－5)2的底数是-5，指数是2，(－5)2表示2个-5相乘，读作-5的2次方，也读作－5的平方。 (2) (1/2)6表示6个1/2个相乘，读作1/2 的6次方，也读作1/2的6次幂，其中 1/2叫做底数，6叫做指数。 2.有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是　 　． 【答案】﹣384 【解析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1， ∵其中某三个相邻数的积是412， ∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1， 则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412， 即（﹣2）3n＝（22）12， ∴（﹣2）3n＝224， ∴3n＝24， 解得，n＝8， ∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384 3. 计算（1）(-4)3； (2) (-2)4； 【答案】见解析。 【解析】根据乘方的定义解答。 (1) (-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64 (2) (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16； 4. 计算：（1）(-32) × (-2/3) （2）-23×(-32) （3）64÷(-2)5 （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4 【答案】见解析。 【解析】先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算. （1）(-32) × (-2/3)= 9× (-2/3)=-6 （2）-23×(-32)=-8×(-9)=72； （3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2； （4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4=-64÷1+2×81=98 5. 计算 (1)2×(-3)3-4×(-3)+15; (2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2). 【答案】（1）-27（2）-57.5 【解析】(1)原式=2×(-27)-(-12)+15 =-54+12+15 =-27 (2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2) =-8+(-3)×18-(-4.5) =-8-54+4.5 =-57.5 6．计算：． 【答案】-5 【解析】 ． 7．计算： 【答案】 【解析】根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可． 8.计算： = = = 9.中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（　　） A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元 【答案】C 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 4000亿＝400000000000＝4×1011 10. 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.0158（精确到0.001）； （2）304.35（精确到个位）； （3）1.804（精确到0.1）； （4）1.804（精确到0.01）． 【答案】见解析。 【解析】（1）对0.0158精确到0.001，就是保留小数点后三位，那么主要得分析小数点后面第四位数，这个数很关键，如果这个数大于等于5，需要进一位，把小数点后第三位的数值加上1. 如果这个数小于5，需要舍去。.对8四舍五入，0.0158 ≈0.016； （2）对3四舍五入，304.35≈304； （3）对0四舍五入，1.804 ≈1.8； （4）对4四舍五入，1.804≈1.80． 11.按照要求，用四舍五入法表示数:1.804=______（精确到0.01） 【答案】1.80 【解析】精确到0.01，意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三位要等于大于5就把小数点后面第二位进1。小数点后第三位要小于5，小数点后面第二位不变。精确到0.001，意思就是把这个数保留到小数点后三位，关键要看小数点后第四位要等于大于5就把小数点后面第三位进1。小数点后第四位要小于5，小数点后面第三位不变。1.804（精确到0.01）=1.80 12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$