第二十二章四边形期末复习专练　2024—2025学年沪教版（上海）数学八年级第二学期

沪教版数学八年级下册 第二十二章四边形期末复习专练 一、平面向量-向量的相关概念 1．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)；、 (2)见解析 【知识点】向量的相关概念、向量的线性运算 【分析】本题考查了向量的加减法，相等向量、相反向量的定义，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据两个向量模一样，方向一样即为相等向量，两个向量模一样，方向相反即为相反向量进行求解即可； （2）由题意得，则化为，即可作图． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ∴， ∵与方向相同，且模一样 ∴与相等的向量是， ∵、与方向相反，且模一样， ∴与互为相反向量的向量是、， 故答案为：；、； （2）解：如图：即为所求： 2．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查了向量的基本知识，向量的减法运算，根据向量的概念、运算及相关知识即可完成． 【详解】解：A、，故说法错误； B、是一个向量，是一个既有大小又有方向的量，而是向量的模，是一个只有大小的量，两者不相等，故说法错误； C、，故说法错误； D、与平行，故说法正确； 故选：D． 二、平面向量的加法 3．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、利用平行四边形的性质求解、向量的线性运算 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 4．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 5．式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 由 . 故选：B. 6．如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【详解】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B. 7．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【详解】由题意， 故选B. 8．点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算 【详解】根据几何图形，结合向量线性运算的几何含义，即可知所表示的向量. 由题意，如上图示，又， ∴. 故选：A 9．向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【详解】根据向量的加法运算即可得到结果. 故选：D 10．化简（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算 【详解】由向量加法法则，求即可. ， 故选：C 11．如图是平行四边形，则在向量（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与向量相乘 【详解】因为，进而根据向量加法的三角形法则求解即可. 解：因为在平行四边形中，， 所以 故选：D 12．已知正方形的边长为1，设，那么的模为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】向量的线性运算、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】先得出，然后计算其模即可． 【详解】解：在正方形中，，，则由勾股定理，得． 所以． 故选：． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，先计算出是解答本题的关键． 13．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、向量的线性运算 【分析】根据重心的意义可得出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点G是两条中线AD、BE的交点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算 【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形， ∴ ∴ ∴ 故答案选:A 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得: ,然后根据平行四边形的性质可求出:. 【详解】解:∵平行四边形中, 向量，， ∴, ∴ 故答案为: . 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 16．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ． 【知识点】向量的线性运算 【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出； （2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出． 【详解】（1）． ∵，， ∴， ∴． ； （2）作图如下： ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键． 三、平面向量的减法 17．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【知识点】向量的线性运算、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 18．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 根据向量减法的三角形法则可得答案． 本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键． 19．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 【答案】(1), (2)5 【知识点】向量的线性运算、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可； （2）由可得AF//BC、,然后再根据平行线等分线段定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． （2）解：∵ ∴AF//BC、 ∴ ∴，即AE= ∴AE=AB+AE=4+1=5． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键. 20．化简：＝ ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】先去括号，再按照向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是向量的线性运算，向量的加，减，数乘运算统称为向量的线性运算，掌握向量的线性运算法则是解题的关键. 21．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示； （2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解． 【详解】解：（1）∵＝，即 ， ， ∴， （2）由（1）知， ∴ ， 延长AE交BC延长线于点G，如图所示， 则． 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ， ∵＝， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 22．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得． 【详解】解： 则 故答案为 ： 【点睛】本题主要考查了平面向量的计算，属于基础题型． 23．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【知识点】向量的线性运算 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 24．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 【答案】C 【知识点】向量的线性运算、梯形 【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答． 【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意． B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意． C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意． D、+＝2≠，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小． 25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AB＝4AD，设，，那么向量 用向量、表示为 ．    【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】利用三角形法则：＝+求解即可． 【详解】∵AB＝4AD， ∴AD＝AB， ∴＝， ∵＝+， ∴＝ 故答案为：． 【点晴】考查了平面向量，三角形法则等知识，解题关键是熟练掌握基本知识． 26．已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 【答案】-3 【分析】由向量与单位向量的方向相反，且长度为3，根据向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，||=3， ∴=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向． 27．已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算、重心的有关性质 【分析】如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．求出，证明 即可解决问题． 【详解】如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH． ∵AE=EH，BE=EC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AC=BH，AC∥BH， ∵， ∵G是重心， ∴， ∵AE=EH， ∴， ∴. 【点睛】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 28．在菱形中，已知，，那么 （结果用向量，的式子表示）． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】根据菱形的性质可知，，然后利用即可得出答案． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及向量的运算，掌握菱形的性质及向量的运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沪教版数学八年级下册 第二十二章四边形期末复习专练 一、平面向量-向量的相关概念 1．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 2．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 二、平面向量的加法 3．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 4．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 5．式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知向量，那么下列结论正确的是 A． B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 8．点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ） A． B． C． D． 9．向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 10．化简（ ） A． B． C． D． 11．如图是平行四边形，则在向量（ ） A． B． C． D． 12．已知正方形的边长为1，设，那么的模为（    ） A． B．1 C． D．2 13．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 14．在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（  ） A．； B．； C．； D．． 15．平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量 ． 16．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 三、平面向量的减法 17．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 18．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 19．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 20．化简：＝ ． 21．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 22．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝ 23．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      24．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AB＝4AD，设，，那么向量 用向量、表示为 ．    26．已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 27．已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为 ． 28．在菱形中，已知，，那么 （结果用向量，的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$