精品解析：2025年广东省潮州市湘桥区等2地中考一模数学试题

2024～2025学年度第二学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 已知是关于x的方程的解，则a的值是（ ） A. B. C. D. 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，摸到的球恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 13. 分式方程解为 ________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______. 15. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 三、解答题（第16-17每题6分，第18题8分，共20分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．） 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元． （1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 21. 如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内． （1）求k的值； （2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由． 五、解答题（每小题14分，共28分） 22. 数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： （1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °； （2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数． （3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50，请求出a的最大整数值． 23. 如图所示，在中，，，，点M线段（异于点B、C）上一动点，连接． （1）求的面积； （2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值； （3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“”，则支出为“”， 那么支出180元记作元． 故选：C． 2. 已知是关于x的方程的解，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，将代入方程进行求解即可． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 解得：， 故选：D． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形． 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 7. 一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，摸到的球恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求概率，利用红球的个数除以总个数进行计算即可． 【详解】解：由题意得：摸到的球恰好是红球的概率是； 故选B． 8. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式变形进行计算即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 10. 如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 13. 分式方程的解为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴原方程的解为：， 故答案为： 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】　本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。 【详解】解：在中，， ， 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ， 故答案为：． 15. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（第16-17每题6分，第18题8分，共20分） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，先化简，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 17. 如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．作的平分线交与点E，然后在的延长线上取点D，使，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 理由：由作法得：平分，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， 即 和关于直线对称． 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）75，7， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； 【小问2详解】 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元． （1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元 （2）每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系，列出关系式，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据总利润=单件利润×数量，即可列出函数关系式，把代入（1）中得出的函数关系式，算出自变量的值，即可解答； （2）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答． 小问1详解】 解：由题意得， ∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数， ∴自变量的取值范围为，且为正整数． 当时，， 解得（不合题意，舎去）． 则（元）， 答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元． 【小问2详解】 解：由题意得， ∵，且m为正整数， 当时，， 当时，， 答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元． 20. 综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方体包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 21. 如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内． （1）求k的值； （2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）点D在双曲线的图象上，见解析 【解析】 【分析】（1）把点E（n，3）代入，求得n的值，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）先求得A、B点的坐标，根据矩形的性质，通过证明△ABO∽△BCO，求得OC=1，然后根据平移的规律求得D的坐标，代入解析式即可判断． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴． 解得． ∴点E的坐标为 ∵点E在双曲线上， ∴，解得． ∴的值为6． （2）在中， 当时，． 当，，解得． ∴点，， ∴，． ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∵（轴轴）， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．即． ∴， ∴点的坐标为． 线段CD可以由线段AB向下平移2个单位，向右平移一个单位得到，可得点． 点D在双曲线的图象上，理由如下： ∵在中， 当时，． ∴点D在双曲线的图象上． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查一次函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是根据平移的规律求得D的坐标． 五、解答题（每小题14分，共28分） 22. 数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： （1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °； （2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数． （3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50，请求出a的最大整数值． 【答案】（1）O、180；（2）∠B'GC=60°；（3）证明见解析；7． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC而得出结论； （2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，从而△BB'C为等边三角形．就可以求出∠B'CB=60°； （3）分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN2=a2，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论． 试题解析：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC； （2）如答图1，连接BB'， 由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得， B'C=BC， ∴△BB'C为等边三角形． ∴∠B'CB=60°， （或由三角函数FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．） ∴∠B'CG=30°， ∴∠B'GC=60°； （3）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH， ∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形， ∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI． 在Rt△BHN中，BH=BI=4a， BH2=HN2+BN2，HN2=a2， 则DM2=FQ2=HN2=a2， BD2=BM2+DM2=6a2，BF2=BQ2+FQ2=10a2， 新三角形三边长为4a、a、a． ∵BH2=BD2+BF2 ∴新三角形为直角三角形． （或通过转换得新三角形三边就是BD、DI、BI，即求△GBI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）． ②其面积为a•a=a2． ∵a2＜50， ∴a2＜50 ∴a的最大整数值为7． 考点：几何变换综合题． 23. 如图所示，在中，，，，点M为线段（异于点B、C）上一动点，连接． （1）求的面积； （2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值； （3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，得到，根据等腰直角三角形性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （2）过作交的延长线于，根据勾股定理得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，，求得，根据三角函数的定义得到； （3）过作于，根据相似三角形的性质得到，当取得最大值时，取得最大值，得到点的运动轨迹是以为直径的圆，如图，当点运动到点时，有最大值5，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：过作于， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：过作交的延长线于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：过作于， ， ， ， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， ，， 点运动轨迹是以为直径的弧，如图， 当点运动到点时，有最大值为5， ，， ， ， ， ， 当时 ，取得最大值， 此时，． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $