精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简，再由交集运算即可求解； 【详解】根据题意，由，得， 所以集合， 易知， ， 故选：B. 2. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，因为不等于0， 所以，若时，无法得出， 所以“”不是“”的充分条件； 若“”，则， 所以“”是“”必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以， 又可化为，即， 当时，， 所以在上恒成立， 所以其中， 当时有最小值为1，此时有最大值为3， 所以， 故实数取值范围是， 故选：D 4. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故， 综上，， 故选：A. 5. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得. 【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值， 则，由等差数列性质，得， 所以. 故选：D 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，，， 由成等比数列，得，解得， 所以， 则， 则. 故选：D. 8. 已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得在有零点，利用导数研究函数的性质进而可得，即得. 【详解】原问题等价于在有零点， 而， ∴，单调递减， ，单调递增， 又， 由可判断， 因而的值域为， 又有零点，有， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由特称命题的否定可判断选项正误；对于B，由基本不等式可判断选项正误；对于C，由二次不等式与二次方程关系结合韦达定理可判断选项正误；对于D，由必要，充分条件定义可判断选项正误. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有，故A正确； 对于B，由基本不等式，，当且仅当， 即时，取等号，故B正确； 对于C，不等式的解集为， 则的根为，由韦达定理， ，则，故C正确. 对于D，时，可得，，可得或， 则，得不到，则“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：ABC 10. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ） A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增 C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可. 【详解】因为为质数，故小于或等于的正整数中与互质的数的数目为 ，此时，故A正确. 因为，所以，故数列不是单调递增，故B错误. 小于等于的正整数中与互质的数为，数目为， 所以在时递减，故当时，数列最大值为1，故C正确. 小于等于的正整数中与互质的数的数为，数目为， 故，而，故数列为等比数列，故D正确. 故选： ACD. 【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答. 11. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求导函数利用奇函数的定义及性质判断A，赋值求值判断B，赋值法结合的周期求值判断C，由及的奇偶性与周期性求和判断D. 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故， 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，，故A正确； 对选项B，在中，令得，， 在中，令得，，故，故B正确； 对于C：，令，得， 因为是周期函数，且周期为，， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D：由得， ， 由A选项知，令得，故， 因为周期函数与奇函数，且周期为， 所以，即， 因为，所以 所以，故D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛： 1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称； 2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称； 3.若，则为周期函数且周期为； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先说明数列的公比不为，由条件结合等比数列求和公式证明，再结合求和公式求结论. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，矛盾，故． 由题意，得，即，， 所以． 故答案为： 14. 对于函数，下列说法正确的序号是__________. ①函数的单调递减区间为和 ②当时， ③若方程有6个不同的实根，则 ④设，若对，使得成立，则 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，由函数解析式明确定义域，利用导数与函数单调性的关系，可得正误；对于②，由函数单调性与不等式性质，可得正误；对于③，由函数图象的翻折变换，可作图象，根据方程与函数关系，可得正误；对于④，利用导数研究函数单调性，从而求得函数的值域，结合题意，建立不等式，可得正误. 【详解】对于①，由，由，则， 所以的定义域为， 又，令，解得， 当或时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为和，故①正确； 对于②，由①可知函数在上单调递减，当时，， 即，由，则，故②错误； 对于③，当时，，当时，， 令，易知的单调递减区间为、和， 单调递增区间为、和， 且当时，，当时，， 可作图如下 方程有个不同的实数根，等价于直线与函数的图象有个交点， 由图可得，故③正确； 对于④，因为，使得成立， 所以函数在区间上的值的集合为函数在区间上的值的集合的子集， 由，求导可得，令，解得， 当时，，则函数在上单调递增，即， 由当时，，则，故④正确. 故答案为：①③④. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 16. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 17. 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）根据（1）的结论可求数列的通项公式. （3）分析数列的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得：，所以. 【小问3详解】 ， 因，故. 而， 所以数列为递增数列，所以. 所以成立. 18. 已知数列中，，且为数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出，可求出通项公式，即可求得的通项公式； (2) 求出，再讨论为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列的前项和. 【小问1详解】 根据题意知①，又因②， ①式除②式可得， 所以可得是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， ，当时也满足该式， 所以. 【小问2详解】 由(1)结论可知，所以， 设的前项和为，则当为偶数时， 则当为奇数时， 所以. 19. 已知函数，，. （1）证明：. （2）讨论函数在上的零点个数. （3）当，时，证明：，. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值得解， （2）求导，对分奇偶，根据函数的单调性求解， （3）根据（2）的结论可得，将问题转化为证明，根据（1）的结论可得，即可利用对数的运算性质化简求解. 【小问1详解】 因为，，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而，则. 【小问2详解】 因为，， 所以， 当时，，当时，， 故， 当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减， 因为，，所以在上的零点个数为1. 当为偶数时，，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而， 所以在上的零点个数为0. 综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1， 当为偶数时，在上的零点个数为0. 【小问3详解】 由（2）可知，当，时， 要证，， 即证， 即证， 即证， 即证. 由（1）可知，，当且仅当时，等号成立. 令，可得， 故 从而，. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设函数，命题“”是假命题，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 对于正整数n，是小于或等于n正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ） A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增 C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列 11. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且，则的最小值为__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 14. 对于函数，下列说法正确的序号是__________. ①函数的单调递减区间为和 ②当时， ③若方程有6个不同的实根，则 ④设，若对，使得成立，则 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 17 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 18. 已知数列中，，且为数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知函数，，. （1）证明：. （2）讨论函数在上零点个数. （3）当，时，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $