曲线的公切线问题课件+限时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

限时训练答案 一、选择题 1. 已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【解析】A 因为，所以， 由题意，解得 2. 已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【解析】C 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 3. 已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解析】C 根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点， 对于，有，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，即， 对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即， 则 可得，即或， 则切线方程为或，故与的公切线有2条． 4. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【解析】C 设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 5. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解析】A 设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故. 6. （多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 【解析】AD 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 对于函数，，则， 解得， 所以，即. 对于函数，， 则， 又， 所以， 又， 所以，. 二、填空题 7. 试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【解析】设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 三、解答题 8. 已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值. 【解析】因为函数，， 所以，. 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 所以. 则，解得. 9. 已知（为自然对数的底数），.当时，若直线是与的公切线，求的方程. 【解析】设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与切点为 切线方程为：，即② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得，即，解得或 当时切线方程为 当时切线方程为 综上，直线的方程为或. 10. 已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$第二章 一元函数的导数及其应用 曲线的公切线问题 活动一　复习曲线的切线问题 内容索引 2 2.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________. (－∞，－4)∪(0，＋∞) 内容索引 3 √ 例1 已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝ A.－3 B.1 C.2 D.5 设曲线f(x)＝x2－2m和g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)， 活动二　切点相同的公切线问题 内容索引 4 1. 已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________________________. 内容索引 5 √ 内容索引 6 例2 若直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=ex-2的切线，求直线l的方程. 活动三　切点不同的公切线问题 内容索引 设直线l与y=ex-2和y=ln x的切点分别为(x1)，(x2，ln x2)， 由导数的几何意义可得k== 曲线y=ex-2在点(x1)处的切线方程为y-=(x-x1)， 即y=x+(1-x1) 曲线y=ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1， 则 内容索引 解得 故直线l的方程为y=x-1或y=x. 内容索引 内容索引 内容索引 1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为    . 解：由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根， 所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 解：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex. 设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点， 依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝， 化简得x＋ax0－a＝0. 解得x0＝m＝1. 则即 则f′(x)＝2x，g′(x)＝， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即解得a＝2e，x0＝， 故切点为(，e)，切线斜率k＝f′(x0)＝2， 所以切线方程为y－e＝2(x－)，即2x－y－e＝0. 2x－y－e＝0 设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 2. (2024·济南质检)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝ A.1 B. C.－ D.－1 因为(ln x)′＝，′＝a，曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点 (1，0)处有相同的切线，所以2a＝1，a＝.故选B. 已知函数 ， ．当 时，求曲线 与 的公切线的方程. 解：当 时， ，所以 ， 因为 ，所以 ， 设曲线 上的切点为 ，则切线方程为 ， 设曲线 上的切点为 ，则切线方程为 ， 由两条切线重合得 ，解得 ， 所以曲线 与 的公切线的方程为 . $$ 限时训练（十六） 一、选择题 1. 已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 3. 已知，则与的公切线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（     ） A．2 B． C． D． 5. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 6. （多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7. 试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 三、解答题 8. 已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值. 9. 已知（为自然对数的底数），.当时，若直线是与的公切线，求的方程. 10. 已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$