2025年九年级数学中考二轮复习正方形综合题考前提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习

正方形综合题考前提升训练

 

 

1．四边形为正方形，点为对角线上一点，连接.过点作，交边于点．

(1)求证；

(2)以，为邻边作矩形，连接.若，，求的长度．

2．如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设．

(1)求点的坐标：（用含的代数式表示）

(2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由．

3．如图，已知四边形为正方形．E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，求证：矩形是正方形；

(2)如图2，已知正方形的边长为2，当时，

①求的长；

②记的面积为，的面积为，则________．

4．如图，已知正方形的边长为1，是对角线上任意一点，为上的点，且，，．

(1)求证：四边形是正方形；

(2)若点在线段上移动，其他条件不变，设，，求关于的表达式，并写出自变量的取值范围．

5．如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接．

(1)点在运动过程中，求的最小值；

(2)点在运动过程中，求面积的最小值；

(3)当是等腰三角形时，请直接写出的长度．

6．如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为．

(1)求证：四边形是正方形；

(2)探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．

(3)拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长．

7．综合与探究：在四边形中，为对角线上的动点，点，分别在，上．

(1)【动手操作】

如图①，若四边形为正方形，为对角线，的交点，，分别为，的中点时，连接，，根据题意在图①中画出，，则为________________度；

(2)【问题探究】

如图②，四边形为菱形，，为对角线，的交点，且，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

(3)【问题解决】

如图③，在（2）的条件下，若点在对角线上，菱形的边长为8，，，求的长．

8．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．

(1)求证：矩形是正方形；

(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．

9．如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，．

(1)如图1，

①求证：；

②延长交线段于点，若，，线段的长为______．

(2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：．

10．已知，在正方形中，点E、F分别在边和上，连接、交于点G， ．

(1)如图1， 求证：

(2)如图2， 若点E为的中点， 连接， 求 的值

(3)如图3，在矩形， ， ， 点E、F分别在边和上， 连接、交于点G， 若， ． 连接交于点H， 点M是上的一点，过点 M作交直线于点 N，①若， 则线段 的长为 ； ②若平分， 则线段的长为 ．

11．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．