精品解析：陕西省韩城市2025年初中学业水平测试第二次模拟考试 九年级数学

韩城市2025年初中学业水平模拟考试（二） 九年级数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －的倒数是（ ） A. － B. － C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 12 6. 如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接交的延长线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 8. 将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 10. 《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 11. 如图，四边形内接于，于点，若，则的度数为____°． 12. 已知点，是反比例函数（k为常数，）的图象上的两点，若，则k的值可以是________．（只写一个） 13. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接，点F是边上一点，连接交于点，若，则的长为_________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，于点于点，求证：四边形是矩形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将先向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为． （1）请在图中画出； （2）写出点的坐标． 20. 小西和小安在社会实践活动中选择调查乘客对西安地铁8号线的满意度，如图是西安地铁8号线其中四个站的站点图． （1）若小西准备在寒窑、植物园和大风阁这三站中随机选取一站作为调查的站点，则他选取的站点是“A寒窑”的概率为 ； （2）若小西和小安分别从这四个站点中各自随机选取一站作为调查的站点（所选站点相互不受影响），请用列表或画树状图的方法，求出小西和小安两人所选站点相同的概率． 21. 如图1是某市的一棵千年古树，如图2是小丽同学测量这棵千年古树高度的示意图，在地面上的点D处放置测角仪，测得树顶A的仰角，在地面上的点F处放置测角仪，测得树顶A的仰角，已知测角仪的高度米，米，点B、D、F在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果，计算这棵千年古树的高度． 22. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元／个； 素材二：购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元； 素材三：购买甲型号书架的数量不超过乙型号书架的4倍． 【问题解决】 （1）求出甲、乙两种型号书架的单价； （2）设购买个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为元，求与之间的函数表达式，并求出最小时的购买方案． 23. 为深入贯彻落实习近平总书记关于“注重家庭、注重家教、注重家风”的重要指示精神，积极响应全民阅读的战略部署，某校以家庭亲子阅读为关键切入点，全力推动家庭文明建设，精心培育优良家风，在全校举行“书香家庭·阅伴万家”的家庭读书会，随机抽取了50名学生每天家庭阅读的时长（单位：分，时长均不少于10分钟，且不超过1小时），并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 家庭阅读时长频数分布表 分组 阅读时长t/分 频数/名 组内阅读平均时长/分 A 5 16 B 10 24 C 20 35 D a 46 E 5 54 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天家庭阅读时长的中位数位于________组； （2）求所抽取的学生每天家庭阅读时长的平均数； （3）若该校共有900名学生，请你估计该校每天家庭阅读时长不少于半小时的学生人数． 24. 如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点D，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求拖物线的函数表达式； （2）连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，，点分别在边上，连接，若，，则的长为_____； 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，点在上，，连接，若，平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点分别在边上）区域打造为花海，在的中点处修建一座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 韩城市2025年初中学业水平模拟考试（二） 九年级数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －的倒数是（ ） A. － B. － C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数． 【详解】解：∵， ∴的倒数是 故选B． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：A． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据图象法得到当时，，即：，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：当时，，即：， ∴方程的解为； 故选D． 7. 如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接交的延长线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故选B． 8. 将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可， 【详解】解：二次函数，化成顶点式为 ． ∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后的二次函数图象经过点， 将，代入平移后的函数解析式中，得 ． ． ． 解得或． ∵， ∴的值为． 故选：D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 根据无理数的估算，进行大小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 11. 如图，四边形内接于，于点，若，则的度数为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，根据直角三角形两锐角互余，可得，根据圆内接四边形对角互补，可求． 【详解】解：， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 故答案为： ． 12. 已知点，是反比例函数（k为常数，）的图象上的两点，若，则k的值可以是________．（只写一个） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质得关于m的一元一次不等式，解不等式即可解答． 【详解】解：将点，)代入得 ，， 由得 解得， 故k的值可以是任意正数， 例如． 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接，点F是边上一点，连接交于点，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，连接，证明求出，则，证明是等边三角形，进而可证明是等边三角形，得到，，再证明，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、化简绝对值，负整数指数幂，先化简绝对值，负整数指数幂，立方根，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴， ∴， ∴不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形内角和定理．先求得，再作出的平分线，再利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：， ， ， 由作图知，， ． 18. 如图，在中，于点于点，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将先向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为． （1）请在图中画出； （2）写出点的坐标． 【答案】（1） 解：为所求作的三角形，如图所示： （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形是解题的关键． （1）依据平移规律，得出，，的位置，然后顺次连接，画出平移后的即可； （2）依据平移规律，得出，，的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可知：点，，． 20. 小西和小安在社会实践活动中选择调查乘客对西安地铁8号线的满意度，如图是西安地铁8号线其中四个站的站点图． （1）若小西准备在寒窑、植物园和大风阁这三站中随机选取一站作为调查的站点，则他选取的站点是“A寒窑”的概率为 ； （2）若小西和小安分别从这四个站点中各自随机选取一站作为调查的站点（所选站点相互不受影响），请用列表或画树状图的方法，求出小西和小安两人所选站点相同的概率． 【答案】（1） （2）小西和小安两人所选站点相同的概率为 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，概率公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据简单随机事件的概率公式求解，即可解题； （2）根据题意画出树状图，得到总的情况数，与小西和小安两人所选站点相同的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：小西在寒窑、植物园和大风阁这三站中选取的站点是“A寒窑”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知，总共有种等可能情况，其中小西和小安两人所选站点相同的情况有4种， 小西和小安两人所选站点相邻的概率为． 21. 如图1是某市的一棵千年古树，如图2是小丽同学测量这棵千年古树高度的示意图，在地面上的点D处放置测角仪，测得树顶A的仰角，在地面上的点F处放置测角仪，测得树顶A的仰角，已知测角仪的高度米，米，点B、D、F在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上测量结果，计算这棵千年古树的高度． 【答案】这棵千年古树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．延长，交于点，易证四边形都是矩形，得米，米，设米，然后在和中，解直角三角形求出，由构造方程求解即可得解． 【详解】解：如图2，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴米，， ∴， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， 则米， ∴米， 答：这棵千年古树的高度为米． 22. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元／个； 素材二：购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元； 素材三：购买甲型号书架的数量不超过乙型号书架的4倍． 【问题解决】 （1）求出甲、乙两种型号书架的单价； （2）设购买个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为元，求与之间的函数表达式，并求出最小时的购买方案． 【答案】（1）甲型号书架的单价是元／个，乙型号书架的单价是元／个 （2）；甲型号书架个，乙型号书架个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设甲型号书架的单价是元／个，则乙型号书架的单价是元／个，根据题意得， 求出，则，即可得到答案； （2）由题意可得与之间的函数表达式为，得到，求出，得到随的增大而减小，推出当时，取得最小值，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲型号书架的单价是元／个，则乙型号书架的单价是元／个， 根据题意得，， 解得：， （元）， 答：甲型号书架的单价是元／个，乙型号书架的单价是元／个． 【小问2详解】 解：由题意可得与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得：． ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 此时（个）， 最小时的购买方案为：甲型号书架个，乙型号书架个． 23. 为深入贯彻落实习近平总书记关于“注重家庭、注重家教、注重家风”的重要指示精神，积极响应全民阅读的战略部署，某校以家庭亲子阅读为关键切入点，全力推动家庭文明建设，精心培育优良家风，在全校举行“书香家庭·阅伴万家”的家庭读书会，随机抽取了50名学生每天家庭阅读的时长（单位：分，时长均不少于10分钟，且不超过1小时），并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 家庭阅读时长频数分布表 分组 阅读时长t/分 频数/名 组内阅读平均时长/分 A 5 16 B 10 24 C 20 35 D a 46 E 5 54 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天家庭阅读时长的中位数位于________组； （2）求所抽取的学生每天家庭阅读时长的平均数； （3）若该校共有900名学生，请你估计该校每天家庭阅读时长不少于半小时的学生人数． 【答案】（1）补全统计图如下： （2）所抽取学生每天家庭阅读时长的平均数为分钟 （3）估计该校每天家庭阅读时长不少于半小时的学生人数为人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求平均数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）先求出D组的人数，再补全统计图，接着根据中位数的定义求解即可； （2）先求出所有组别的阅读总时间之和，再除以50即可得到答案； （3）用900乘以样本中阅读时间不少于半小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 把这50名学生的阅读时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第25名和第26名学生的阅读时间的平均数， ∵， ∴中位数落在C组； 【小问2详解】 解：（分钟）， ∴所抽取学生每天家庭阅读时长的平均数为分钟； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校每天家庭阅读时长不少于半小时的学生人数为人． 24. 如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点D，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的直径，是的切线，切点为， ∴，即， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再利用圆周角定理结合切线的性质可证，进而推出，利用垂径定理可得，推出，由圆周角定理得到，推出，即可得出结论； （2）证明，推出，设，求出，利用勾股定理求出，由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的半径为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求拖物线的函数表达式； （2）连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程， （1）先求出点D的坐标，再将点A，D的坐标代入二次函数关系式，求出解即可； （2）过点作轴交于点，先求出点B的坐标，进而求出，可得，再设点的坐标为，表示点的坐标，然后表示出，根据得出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 点的坐标为． 将和代入， 得 解得 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：存在点使得． 过点作轴交AD于点， 令，则， 解得， 点的坐标为，则， ， ． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， ，即， 解得， 点的横坐标为或． 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，，点分别在边上，连接，若，，则的长为_____； 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，点在上，，连接，若，平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点分别在边上）区域打造为花海，在的中点处修建一座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【答案】（）； （）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （）． 【解析】 【分析】（）先证明是等边三角形，得到，根据，推出，，易证是等边三角形，即可求解； （）根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，推出，结合已知证明，推出，即可得出结论； （）连接交于点，连接，取中点，连接，证明是等边三角形， 同理（）得是等边三角形，再证明是的中位线，推出，，根据，当三点共线时，有最小值，即，此时证明，求出即可解答． 【详解】（）解: ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）略 （）解：如图，连接交于点，连接，取中点，连接， ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∵，同理（）得是等边三角形， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线, ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴此时，点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴长度的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造三角形相似是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $