10.3 实际问题与二元一次方程组 教学设计 2024-2025学年人教版七年级数学下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（教学设计）2024-2025学年人教版七年级数学下册

【教学目标】

（1）数学抽象：能从实际问题中抽象出数量关系，识别变量与常量，用二元一次方程组表示问题中的相等关系，发展数学抽象能力。

（2）逻辑推理：通过分析问题中的已知条件与未知量，经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，培养有条理的逻辑推理能力。

（3）数学建模：掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，能根据具体问题的特点选择合适的变量设定，构建有效的数学模型，提升建模素养。

（4）数学运算：熟练运用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，在求解过程中关注运算的准确性与合理性，发展运算能力。

（5）应用意识：体会二元一次方程组在解决实际问题中的工具性作用，增强用数学知识解决现实问题的意识，感悟数学与生活的紧密联系。

【教学重难点】

（1）重点：掌握用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，能正确分析问题中的等量关系并列出方程组。

（2）难点：从复杂情境中抽象出两个独立的等量关系，合理设定未知数；理解实际问题中解的合理性，会对解进行检验并解释其实际意义。

【教学准备】

（1）多媒体课件：包含校园运动会场景图、超市购物清单、公交线路图等真实情境图片；例题与练习题的动态展示；解题步骤的动画演示。

（2）学生学习单：印有序号的空白表格（用于记录等量关系）、典型例题分析框架图（引导学生分步思考）。

（3）实物道具：模拟超市购物的价签卡片（标注不同商品价格）、校园平面图（标注操场跑道长度、教室距离等）。

【教学过程】（总时长40分钟）

一、情境导入（5分钟）

1. 创设真实情境

展示校园运动会的照片：“上周五我校举办了春季运动会，小明参加了100

米短跑和4×100米接力赛，小红负责记录成绩。已知小明100米短跑的时间比他在接力赛中跑100米的时间少2秒，两次跑100米的总时间是28秒。你能算出小明两次跑100米各自用了多长时间吗？”

2. 引导学生思考

提问：“这个问题中有几个未知量？需要几个方程？如果用一元一次方程怎么解？用二元一次方程组呢？哪种方法更直观？”

3. 学生参与表现

学生独立思考1分钟后，小组内交流。有的学生尝试用一元一次方程设“接力赛时间为x秒，则短跑时间为x2秒，列方程x+(x-2)=28”；有的学生提出用二元一次方程组，设短跑时间为x秒，接力赛时间为y秒，得到x=y-2和x+y=28。教师选取2名学生分享思路，对比两种方法的差异，引出课题：“今天我们学习用二元一次方程组解决更复杂的实际问题。”

二、新课学习（20分钟）

1. 探究1：行程问题（例题1）

（1）呈现题目

“例1：甲乙两地相距360千米，一辆快车和一辆慢车同时从甲乙两地出发相向而行。快车的速度比慢车快20千米/小时，3小时后两车相遇。求快车和慢车的速度各是多少？”

（2）分析步骤

① 明确未知量：设快车速度为x千米/小时，慢车速度为y千米/小时。

② 寻找等量关系：

快车速度=慢车速度+20（x=y+20）

快车3小时行驶路程+慢车3小时行驶路程=总路程（3x+3y=360）

③ 列方程组并求解：

\[

\begin{cases}

x = y + 20 \\

3x + 3y = 360

\end{cases}

\]

代入消元法解得x=70，y=50。

④ 检验：7050=20，3×70+3×50=210+150=360，符合题意。

（3）学生参与表现

教师用表格引导学生填写：

未知量	设定符号	第一个等量关系	第二个等量关系	方程组	解	检验
快车速度	x	x=y+20	3x+3y=360	如上	70	符合
慢车速度	y	50

学生独立填写后，教师投影展示1名学生的表格，纠正“等量关系描述不完整”的问题（如部分学生写成“快车比慢车快20”，未明确是速度差）。

2. 探究2：销售问题（例题2）

（1）呈现题目

“例2：某超市购进A、B两种文具，A文具的进价比B文具贵5元。若购进3件A文具和2件B文具共花费110元，购进2件A文具和4件B文具共花费120元。求A、B两种文具的进价各是多少？”

（2）分析步骤

① 设A文具进价为x元，B文具进价为y元。

② 寻找等量关系：

A进价=B进价+5（x=y+5）

3A总价+2B总价=110（3x+2y=110）

（补充：题目中“购进2件A和4件B花费120元”是否是另一个等量关系？需要判断是否独立。）

③ 正确等量关系应为：

第一个条件：x - y = 5

第二个条件：3x + 2y = 110

第三个条件：2x + 4y = 120（化简为x + 2y = 60）

此时发现前两个方程与第三个方程是否矛盾？联立前两个方程：

\[

\begin{cases}