2025年四川省成都市中考数学二轮专题复习：A卷17题-圆压轴预测

2025年四川省成都市中考数学A卷17题-圆压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题17题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F． （1）求证：∠A＝∠ACF； （2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的长． 2、（成都2023年中考真题17题10分）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 3、（成都2024年中考真题17题10分）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考A卷17题固定题型考察“圆”几何证明题，A17一般两个小问，第一问通常都是让证明切线，证明切线的方式无非就是通过角度互余，等腰三角形和同弧所对圆周角求解，第二问通常是求解线段长度，要结合圆内部相似来解决问题，所以学生需要熟练掌握“圆”的基础知识点，和“圆幂定理”； 1、如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若， （1）、求CF的长度是多少？ （2）、求GF的值是多少？ 2、如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、C（AD＜BC）．连接并延长与直线相交于点P，连接． （1）求证：； （2）若，若，求值和四边形的面积． 3、如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分． (1)求证：直线DC是的切线； (2)若DC=8，DA=4，求AB的长． 4、如图，已知△ABC内接于，BC是直径，点D是的中点，延长线于点E，DA、CB的延长线相交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求． 5、如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 6、如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°． （1）求证：AG与⊙O相切； （2）若，，求DE的长． 7、如图，已知△ABC内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 8、如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9、如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 10、如图，在中，，以为直径作，过点作的切线交的延长线于点，点在上，作交的延长线于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 11、如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12、如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若于点，，，求的长． 13、如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 14、在中，为的弦，连接，， (1)如图1，若半径于点D，，求弦的长； (2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长． 15、如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 2025年四川省成都市中考数学A卷17题-圆压轴预测1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省成都市中考数学A卷17题-圆压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题17题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使＝，连接DE，作射线CE交AB边于点F． （1）求证：∠A＝∠ACF； （2）若AC＝8，cos∠ACF＝，求BF及DE的长． 【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可； （2）连接CD．解直角三角形求出AB，BC，利用面积法求出CD，再利用勾股定理求出DB，证明△DEF∽△BCF，利用相似三角形的性质求出DE即可． 【解答】（1）证明：∵＝，∴∠BCF＝∠FBC， ∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠FBC＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠A＝∠ACF； （2）解：连接CD．∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF， ∴AF＝FC＝FB，∴cos∠A＝cos∠ACF＝＝，∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝6， ∵BC是直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD， ∴CD＝＝，∴BD＝＝＝， ∵BF＝AF＝5，∴DF＝BF﹣BD＝5﹣＝， ∵∠DEF+∠DEC＝180°，∠DEC+∠B＝180°，∴∠DEF＝∠B＝∠BCF， ∴DE∥CB， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝． 【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2、（成都2023年中考真题17题10分）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出； 【小问1详解】证明：，，， ，，； 【小问2详解】解：设，是的直径，，， ，即，根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即，解得，（舍去）， ，,根据勾股定理，可得； 解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F， ，，， ，即，，，， ，，， 设，则，，可得方程，解得， ，，根据勾股定理，可得． 解法二：如图，连接,，， ，，又，，， ，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键． 3、（成都2024年中考真题17题10分）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 答案：(1)见详解；(2)，． 解析：（1）是的直径； 又；； （2）由（1）可知，； ； ；；；；； ；；； 不妨设，那么；；； ，； 不妨设，那么 在中，，，； ；；在中，，； ；； ； 的直径是 故答案为：，直径是． 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考A卷17题固定题型考察“圆”几何证明题，A17一般两个小问，第一问通常都是让证明切线，证明切线的方式无非就是通过角度互余，等腰三角形和同弧所对圆周角求解，第二问通常是求解线段长度，要结合圆内部相似来解决问题，所以学生需要熟练掌握“圆”的基础知识点，和“圆幂定理”； 1、如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若， （1）、求CF的长度是多少？ （2）、求GF的值是多少？ 解：（1）如图：连接，作交延长线于点I， 作于点H，交延长线于点J， ∵菱形，∴， ∴四边形和四边形，四边形都是矩形， ∵与相切于点A， ∴，设， ∵，∴，则， 由勾股定理得：，即，解得， ∴，， ∴， （2）由第（1）知∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∵， ∴，∴，即，解得：，∴， ∵，∴，∴，即，解得：，， ∴，，∴， ∴． 2、如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、C（AD＜BC）．连接并延长与直线相交于点P，连接． （1）求证：； （2）若，若，求值和四边形的面积． 解析（1）证明：连接，如图①， 、分别与相切于点、， ， 在与中， ； 同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半， ， ， 又点是的中点，是的中位线，． （2）连接、、，如图②所示 是的直径， ， 又与相切于点， ， 又，， ，， ，，，又，，， 又，，，， ， 即：， 、分别与相切于点、，如图②所示， ，，， ，，， 即：， 又， ， 即：， ， 即：四边形的面积为． 3、如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分． (1)求证：直线DC是的切线； (2)若DC=8，DA=4，求AB的长． 解析：（1）证明：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵， 且，，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为12． 4、如图，已知△ABC内接于，BC是直径，点D是的中点，延长线于点E，DA、CB的延长线相交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求． 答案：(1)见解析;(2) 解析：（1）证明：连接交于点H， 点D是的中点，，是的直径， ，于点A，， 又，于点D， 是半径，是的切线； （2）解：点D是的中点，， ，， ，， ，在中，， 设，，半径为r，， 在中，，即， 解得，， ，点O是中点， 是的中位线， ， ， ，， ，与是同高三角形， ． 5、如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 答案：(1)见解析 (2) 解析：（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴在以为直径的圆上，∴，∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 6、如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°． （1）求证：AG与⊙O相切； （2）若，，求DE的长． （1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧， ∴∠EDB＝∠EAB， ∵∠EAD+∠EDB＝45°， ∴∠EAD+∠EAB＝45°， 即∠BAD＝45°， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵AB＝AG， ∴∠B＝∠G＝45°， ∴∠GAB＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AG与⊙O相切； （2）解：如图，连接CE， ∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧， ∴∠DAE＝∠DCE， ∵DC为直径， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ， ∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°， ∴， ∴． 7、如图，已知△ABC内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 解析：（1）证明：连接，交于点， 与相切于点，， ， 是的直径，，， ，，， ，，平分； （2）解：是的直径，， ，， ，，，，即， ∵经过圆心，， ，是的中位线，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为18． 8、如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，为的中点，连接，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 解：（1）证明：如图，连接． 是的直径，． ． 是的中点， ． ． ， ． ， ． ，即． 是的切线； （2）解：如图，过点O作于点G． 由垂径定理，得． 设，则，． ， ， 整理，得，即．， ．，即的半径为2． ． 9、如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 答案：(1)见解析；(2) 解析：（1）证明：连接， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即， ∵是的半径，∴是的切线； （2）解：过点D作于点G， ∵是的切线；∴，即， ∵， ∴，∵，∴， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴， ∴的面积为． 10、如图，在中，，以为直径作，过点作的切线交的延长线于点，点在上，作交的延长线于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 答案：(1)见解析；(2) （1）证明：连接， 是的切线，，， ，，， 又，，， 又，，； （2）设的半径为r， ， ， 解得， 在中，， ， ， 即， 即， 解得． 11、如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 答案：(1)见解析；(2)AE （1）证明：如图，连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴，∵，∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴，∴， ∴， ∵为直径， ∴，∴，∴， ∵D是的中点， ∴M是的中点， ∴， ∴3， ∵， ∴， ∴． 12、如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若于点，，，求的长． 答案：(1)详见解析；(2) （1）证明：如图，连接, 是的直径， , , , , , , , , 是的切线； （2）设,在中，, ，，， ， ， , , , , , 在中，由勾股定理得, 即,整理得, 解得(舍去), 故． 13、如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 答案：(1)见解析；(2) （1）证明：连接，如图1所示，  ， ，， ，， ，∵为的半径，∴是的切线； （2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示： ， ， ∵为的直径，， ，∴， 在中，，， ∴， 在中，， ， ， ∴， 即， 解得： ，故的长为． 14、在中，为的弦，连接，， (1)如图1，若半径于点D，，求弦的长； (2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长． 答案：(1)；(2) （1）解：， ． ， ． ，，， ． ，， 在中，由勾股定理得， ． （2）解：如图，连接． 为的切线， ，即． ， ． ， ， ， ，， ， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 15、如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 答案：(1)见解析；(2) 解析：（1）证明：连接，则， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 2025年四川省成都市中考数学A卷17题-圆压轴预测1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$