第一章 三角形的证明 单元检测卷 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】 第一章：三角形的证明 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长为（ ） A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于13 2．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ） A．5 B． C． D．10 6．如图，点C为∠AOB的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD＝CE，作CF⊥OA，垂足为F，若OF＝5，则OD+OE的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 7．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交、边于点、．若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．11 8．如图，中，，点D在上，．设，，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BOC=120°，AB=a，AC=b，AD=c．则下列结论中正确的个数有（ ） ①∠BAC=60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题:（每小题3分共15分） 11．在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________． 12．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积是14，则DE＝_____． 13．如图，，，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为______． 14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值等于______． 15．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论： ①∠ACO=15°； ②∠APO+∠DCO=30°； ③△OPC是等边三角形； ④AC=AO+AP； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）． 三.解答题:(共55分) 16．(5分)如图，在和中，，，．，相交于点F．，相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数． 17．(8分)如图，在中，，点在上，，以为边向左侧作等边三角形，连． (1)求证：； (2)过点作于点，，求的长． 18．(8分)点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G． (1)求证∠E＝∠F； (2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长． 19．(8分)在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC． (1)如图1，当A(0，−2)，C(1，0)，点B在第四象限时，求点B的坐标． (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，求a，m，n之间的关系． 20．(8分)如图，在中，，，AD是BC的中线，． (1)求证： (2)是什么形状的三角形？请说明理由． 21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 22．(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC． (1)当时，求点的坐标； (2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】 第一章：三角形的证明 一.选择题：（每小题3分共30分） 1．等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长为（ ） A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于13 解：∵等腰三角形两边长分别为4和9，当腰长为4时，第三边为9， ∵4+4＜9，此时，不能构成等腰三角形；当腰长为9时，第三边为4， ∵9﹣9＜4＜9+9，此时，能构成等腰三角形．故选：B． 2．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 解：∵在中，，是高，，∴ ，， 故选B 3．如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 解：∵是的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD， ∵的周长=AB+BD+AD=，∴AB+BD+CD=， ∵的周长=AB+BC+AC=，∴AC=6cm， ∴AE=3cm， 故选：B． 4．如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵点D是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ） A．5 B． C． D．10 解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E， ∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°， ∴∠ADC=30°， ∴AC=AD=5（cm）， CD=（cm）． 故选：B. 6．如图，点C为∠AOB的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD＝CE，作CF⊥OA，垂足为F，若OF＝5，则OD+OE的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 解：过点C作CG⊥OB于G，如图所示 ∵l为∠AOB的角平分线，且CF⊥OA，CG⊥OB∴CG=CF ∵CD=CE∴Rt△CGE≌Rt△CFD(HL)∴GE=FD ∵OC=OC ∴Rt△COF≌Rt△COG(HL) ∴OG=OF ∴OD+OE=OF+FD+OE=OF+GE+OE=OF+OG=2OF=2×5=10 故选：A． 7．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交、边于点、．若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．11 解:如图，连接， ∵是等腰三角形，点是的中点，∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：D． 8．如图，中，，点D在上，．设，，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵α-∠A=β，α+∠C=90°， ∴2α=90°+β， ∴2α-β=90°， 故选：D． 9．如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：和是等边三角形 设，则 故（2）正确； 在和中 故（4）正确 是等边三角形 故（1）正确； 若则 但是 则，与已知矛盾， 故（3）不正确 故选C 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BOC=120°，AB=a，AC=b，AD=c．则下列结论中正确的个数有（ ） ①∠BAC=60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∵∠BOC=120°， ∴∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)= 120°， ∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB) =60°，故①正确； ∵△ADE和△ADF都是等边三角形， ∴∠ADG=∠ADH=60°， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=30°， ∴△AGD≌△AHD（ASA）， ∴AG=AH， 又△AGH是等边三角形，故②正确； ∵△AGD≌△AHD， ∴AG=AH，DG=DH， ∴AD是GH的垂直平分线，不能说明AD与GH互相垂直平分，故③错误； ∵△ADE和△ADF都是边长为c的等边三角形，且∠BAD=∠CAD=30°， ∴∠AGD=∠AHD=90°，∴GD=HD=AD=， S△ABC=AB×GD+AC×HD=a×+b×．故④错误． 综上，正确的是①②，共2个， 故选：B． 二.填空题:（每小题3分共15分） 11．在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________． 解:连接OB、OC， ∵AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O， ∴点O是△ABC的外心，∠BAO＝∠CAO＝32°， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA＝32°， ∴∠OAC＝∠OCA＝32°， ∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴FC＝FO， ∴∠FOC＝∠FCO＝32°， ∴＝180°−32°−32°＝126°， 故答案为：126． 12．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积是14，则DE＝_____． 解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E， ∴DF＝DE． ∵△ABC的面积为14， ∴S△BCD+S△ACD＝14， ∴DE×10DF×4＝14， 即5DE+2DE＝14， ∴DE＝2． 故答案为：2． 13．如图，，，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为______． 解∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值等于______． 解：∵AB=AC，AD是BC边的中线. ∴AD垂直平分BC， ∴点C与点B关于AD对称， 当BE⊥AC时，BF+EF的值最小，且等于BE的长， ∵D为BC的中点，BC=16，AD=6，AB=AC=10， BC×AD=AC×BE， ∴BE=． ∴CF+EF的最小值为， 故答案为：． 15．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论： ①∠ACO=15°； ②∠APO+∠DCO=30°； ③△OPC是等边三角形； ④AC=AO+AP； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）． 解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°， ∵点O是AD上任意一点，∴OC不一定是∠ACD的角平分线， ∴∠ACO不一定是15°，故①错误， 如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°， ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确； ∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形； 故③正确； 如图2，在AC上截取AE=PA， ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中，， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确， 故答案为：②③④． 三.解答题:(共55分) 16．(5分)如图，在和中，，，．，相交于点F．，相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数． (1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90°． ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE； (2)由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ACB+∠DBC+∠ACE=90°， ∵∠ACB+∠DBC+∠ACE+∠BFC=180°， ∴∠BFC=90°． 17．(8分)如图，在中，，点在上，，以为边向左侧作等边三角形，连． (1)求证：； (2)过点作于点，，求的长． (1) 为等边三角形 为等边三角形 即 在和中 (2)由（1）得， 18．(8分)点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G． (1)求证∠E＝∠F； (2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长． (1)证明：∵， ∴，即， 在与中，， ∴， ∴； (2)由（1）得， ∴， ∴， ∴． 19．(8分)在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC． (1)如图1，当A(0，−2)，C(1，0)，点B在第四象限时，求点B的坐标． (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，求a，m，n之间的关系． 解：点B的坐标为（3，-1）． 理由如下：作BD⊥x轴于D， ∴∠AOC=90°=∠BDC， ∴∠OAC+∠ACO=90°， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ACO+∠BCD=90°， ∴∠OAC=∠BCD， 在△AOC和△CDB中，， ∴△AOC≌△CDB（AAS）， ∴AO=CD，OC=BD， ∵A（0，-2），C（1，0）， ∴AO=CD=2，OC=BD=1， ∴OD=3， ∵B在第四象限， ∴点B的坐标为（3，-1）； (2)解：a+m+n=0． 证明：作BE⊥x轴于E， ∴∠BEC=∠AOC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， 在△CEB和△AOC中，， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴AO=CE=a，BE=CO， ∵BE⊥x轴于E， ∴BE∥y轴， ∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O， ∴EO=BD=m， ∴BE=-n， ∴a+m=-n， ∴a+m+n=0． 20．(8分)如图，在中，，，AD是BC的中线，． (1)求证： (2)是什么形状的三角形？请说明理由． (1)∵中，，， ∴ ， ， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ (2)为等腰直角三角形．理由如下 由（1）得 ∴，， ∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． 21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°， 在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°， 故答案为：25°，115° (2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下： ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠EDC， ∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝2． (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°， 分三种情况讨论： ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°， ∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°， 又∵∠BAC=100°， ∴∠DAE=∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意； ③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 22．(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC． (1)当时，求点的坐标； (2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标． (1) 解：如上图：作CH⊥y轴于点H， 当时，， ∵x=0时，y=4；y=0时，x=5； ∴A(5，0)，B（0，4）， ∵CH⊥y轴于点H， ∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 又∵AB=BC ∴△AOB≌△BHC， ∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1， ∴C(-4，-1)； (2) 当m值变化时，△BOC的面积不变， 因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4 ； (3) 设A（4m，0）， ∵，A(4m，0)，B（0，4）， 又∵S△AOB=2S△BOC时，， ∴m=2，OA=8，， 由上图可知： 当时， 在A的右侧，=+8，在A的左侧，=， ∴，0），，0）； 当时，，0）； 当时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0） 由距离公式： 16w=48 w=3 ∴（3，0）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$