专题02 动点问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年八年级数学下册单元题型精练（北师大版）

动点问题 1．如图，点是的平分线上一点，于点，且，，点在边上运动，当运动到某一位置时面积恰好是面积的2倍，则此时的长是　　 A．10 B．8 C．6 D．4 【解答】解：作于， 点是的平分线上一点，，， ， 由勾股定理得，， 面积是面积的2倍， ， 故选：． 2．如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为直角三角形时，则运动的时间为　　 A． B．或 C．或 D．或 【解答】解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ， ， 根据勾股定理，得， 当为直角三角形时，分两种情况： ①当点运动到点时，， 此时运动时间为， ②当点运动到时， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 此时运动时间为， 综上所述，满足条件的运动时间有或， 故选：． 二．填空题（共3小题） 3．如图所示，在等边中，，点与点分别从点，同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为，设点与点运动的时间为．当时，点与点运动 　2或10或3.2　后，可得到． 【解答】解：①如图1，在上，在上，且， ， ， ， ， 解得； ②如图2，在上，在上，且， 则， ， 解得； ③如图3，、都在在上，且， 则， ， ， ， ， 解得． 综上，点与点运动的时间为2秒或3.2秒或10秒时可得到． 故答案为：2或10或3.2． 4．如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动不与重合），连接交于．当时，的长为 　2　． 【解答】解：是边长为6的等边三角形， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， ，即，解得， ． 故答案为：2． 5．在中，，，，在射线上一动点，从点出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点运动秒时，以、、为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间为 　5或或16　秒． 【解答】解：①如图1，当时， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得，则（秒； ②如图2， 当时．在中，根据勾股定理得到： ，则（秒； ③如图3， 当时，，则（秒； 综上所述，的值可以是5或或16． 故答案为：5或或16． 三．解答题（共20小题） 6．如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则 （1）　　，　　．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，是直角三角形？ 【解答】解：（1） ， ， 故答案为：；； （2）在中，， 若是直角三角形，则点或点为直角顶点 ①若点为直角顶点，， ， ， 即， 解得 ②若点是直角顶点，，， ， 即， 解得 答：当或时，是直角三角形． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰三角形，，点，在轴上，，的周长为27，为轴上一个动点，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段向点运动，到点停止，设点的运动时间为秒 （1）求点的坐标及的长． （2）当为何值时，的面积等于面积的？并求出此时的坐标． （3）连接，当为何值时，线段把的周长分成15和12两部分？并求出此时的坐标． 【解答】解：（1）， 则， ； （2） ， ， 的坐标； （3）①， ， ， 的坐标； ②， ， 的坐标． 8．在中，，点在上，点在上，连接且． （1）当点在（点，除外）边上运动时（如图，且点在边上，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （2）当点在直线上运动时（如图，且点在边所在的直线上，若，求的度数（直接写出结果）． 【解答】解：（1）结论：．理由如下： 设，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）当点在的延长线上时，，此时，故点不可能在的延长线上， 分两种情况： 当点在线段上时，与①相同，； 当点在的延长线上时，如图2，在边上截取，连接， ， ， ， 由①知，， ， ， ， ． 如图3中，当点在的延长线上时，同法可得， 综上所述：的度数为或或． 9．如图1，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）如图2，当点恰好落在上时． ①求点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由； ③如图3，点是线段上的动点（点，点除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不会变化，直接写出的值；若会变化，简要说明理由． 【解答】解：（1）证明：如图1中， 和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）①如图2中， 是等边三角形， ， ， ， 设，则， ．解得， ， 是等边三角形， ， 又， ，． ②存在．当时，是等腰三角形， ，， 点的坐标为，或，． ③如图3中，的值不变．连接． ，，， ， ，， ． 10．如图，在等边中，厘米，厘米．如果点以3厘米秒的速度运动． （1）如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若