1.5 全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.(重点) 2.理解存在量词、存在量词命题的定义.(重点) 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点) 4.会对全称量词命题和存在量词命题进行否定.（重点） 德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例． 需要掌握知识点 1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？ 2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？ 3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？ ☑学习活动：全称量词与存在量词 思考：下列语句是命题吗？比较（1）和（3）,（2）和（4）,它们之间有什么关系？ （1）x>3; （2）2x+1是整数； （3）对所有的x∈R,x>3; （4）对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 不能判断真假，不是命题！ 可以判断真假，是命题！ 我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高二年级； （2）至少有30名学生来自高二.一班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词. 探究新知 问题1: 下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有什么关系? (1)x>3 ; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R，x>3 (4)对任意一个 x∈Z，2x+1是整数. 是命题，真命题 是命题，假命题 不是命题 不是命题 (3)对(1)中的变量x增加了一个限制“对所有的x∈R”，变成了一个命题。 (4)对(2)中的变量x增加了一个限制“对任意一个 x∈Z”,变成了一个命题。 在这里，我们把类似于“所有的”，“任意一个”的短语称为全称量词。并把(3)(4)称为全称量词命题。 课本P26--思考 一.全称量词命题 1. 全称量词及表示: 短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 定义： 表示： 用符号“ ”表示 2. 全称量词命题及表示: 定义： 含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示： 全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 1．全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有__________的命题叫做全称量词命题 含有__________的命题叫做存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“_____________” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“______________” 全称量词 存在量词 三、全称量词命题与存在量词命题的判断 判命题：判断该语句是不是命题 看量词：看命题中是否含有量词或隐含量词，判断量词或隐含 量词是全称量词还是存在量词 下结论：含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量 词的命题为存在量词命题 (2)所有的正方形都是矩形。 都是全称量词命题。 例如:命题(1)对任意的n Z,2n+1是奇数; (1)实数都能写成小数形式; (2)凸多边形的外角和等于2 练习：用量词“ ”表达下列命题: （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数 x R,x能写成小数形式 x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2 x R,x·(-1)= -x 思考：如何判断全称量词命题的真假？ 方法: 若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立; 若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 例3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 解: (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. 所以,存在量词命题(1)是假命题. 所以,存在量词命题(2)是假命题. (1)由于 , 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假 (1)末位是0的整数，可以被5整除； (2)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等； (3)负数的平方是正数； (4)梯形的对角线相等； (5)有些实数是无限不循环小数； (6)有些三角形不是等腰三角形； (7)有些菱形是正方形； (8)存在两个三角形全等，这两三角形面积不相等. 探究点：利用全称量词命题与存在量词命题求参数的范围： 例3. (1)若命题“∀x∈R,ax-2≤0”是真命题,则实数a的值是　　　　.  (2)若命题“∃x∈R,x2+x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  0 （3）若“∀x∈R,x2-2ax+2≥a-a2”是真命题,求实数a的取值范围. a≤2 课时小结： $$