导数及其应用【16个题型】-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
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内容正文：
2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳
【导数及其应用专项练习】
总览
题型梳理
一．瞬时变化率（共1小题）
二．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共3小题）
三．导数与切线的斜率（共1小题）
四．基本初等函数的导数（共8小题）
五．导数的乘法与除法法则（共5小题）
六．简单复合函数的导数（共5小题）
七．利用导数研究函数的单调性（共7小题）
八．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共10小题）
九．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共1小题）
一十．利用导数研究函数的极值（共1小题）
一十一．利用导数求解函数的极值（共1小题）
一十二．由函数的极值求解函数或参数（共1小题）
一十三．利用导数研究函数的最值（共2小题）
一十四．利用导数求解函数的最值（共2小题）
一十五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共4小题）
一十六．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共8小题）
【知识总览】
1.瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
2.含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
3.导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
4.基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
5.利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
6.由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
7.利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
8.利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
9.利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
10.利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
题型分类
知识讲解与常考题型
一．瞬时变化率（共1小题）
1．（2025春•重庆期中）某物体运动时，位移s（米）与时间t（秒）之间的关系式为：s＝f（t），且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定
二．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共3小题）
2．（2025•江苏校级三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
3．（2025春•武汉期中）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
4．（2025春•孝感期中）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1），求（ ）
A．lna B． C． D．
三．导数与切线的斜率（共1小题）
5．（2025•莆田二模）曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1）
四．基本初等函数的导数（共8小题）
6．（2025•白银三模）若函数f（x）的导函数f′（x）为偶函数，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．f（x）＝cosx B．f（x）＝x3+x2
C． D．f（x）＝x3+2x﹣3
7．（2025春•德州期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）＝2f′（1）lnx+x2，则f′（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．（2025春•浙江期中）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，f（﹣x+1）+g（x+1）＝f（x+2）﹣g（x）＝1，且f（x）满足f′（x+1）+f′（﹣x+1）＝0，g（1）＝﹣1，则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026
9．（2025•沧州模拟）已知函数y＝f（x）的高阶导数为y＝f（n）（x），即对函数f（x）连续求n阶导数．例如f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，f″（x）＝﹣sinx，f‴（x）＝﹣cosx，f（4）（x）＝sinx，f（5）（x）＝cosx，…．若f（x）＝g（x）h（x），则f（10）（x）的展开式中g（4）（x）h（6）（x）的系数是（ ）
A．210 B．255 C．280 D．360
10．（2025春•洛阳月考）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＝2x，且，则g′（2）＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2025春•建邺区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，g（2x）＝f（2x）+f（4﹣2x）是奇函数，g（x）的导函数为g′（x），且，则g（5）+g（12）+g′（10）＝（ ）
A． B． C． D．2
12．（2024秋•芜湖校级期末）已知函数f（x）（f（x）不恒为零），其中f′（x）为f（x）的导函数，对于任意的x，y∈R满足f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且f（1）＝2，f（2）＝0则（ ）
A．f（0）＝2
B．f（x）是偶函数
C．f′（x+1）关于点（2，0）对称
D．
13．（2025•合肥模拟）已知可导函数f（x）的定义域为R，且有f（x）﹣f（4﹣x）＝4x﹣8，设g（x）是f（x）的导函数，若g（x+1）为偶函数，则g（2k+1）＝（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
五．导数的乘法与除法法则（共5小题）
14．（2024春•鞍山期中）函数f（x）＝xsinx+cosx的导数f′（x）的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2020秋•绥滨县校级期末）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
（多选）16．（2025春•芗城区校级期中）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
17．（2024春•昆山市期末）“指数找基友”是高中导数的重要思想，如[exf（x）]＝ex（f（x）+f'（x））和，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在R上的可导函数f（x）和g（x）满足以下关系：f'（x）＝g（x），g'（x）＝f（x），f（x）+f（﹣x）＝0，g（0）＝1，则f（x）＝ ，g（x）＝ ．
18．（2020•湖北模拟）已知函数f（x）＝xsinx+cosx，g（x）．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上零点的个数；
（2）设函数g（x）在区间（0，3π）上的极值点从小到大分别为x1，x2，…，xn，证明g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＜0成立．
六．简单复合函数的导数（共5小题）
19．（2025•昌黎县校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为f′（x），则f′（2025）等于（ ）
A． B．0 C． D．1
20．（2025春•青山湖区校级期中）已知函数f（x）＝esinx﹣3f′（0）x，其中f′（x）是f（x）的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
21．（2025春•邗江区校级月考）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
22．（2025春•常州校级月考）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（ ）
A．8 B．1 C．0 D．﹣8
23．（2025•辽宁一模）对任意x，y∈R，都有f（x+y）f（x﹣y）＝f′（x）﹣f′（y），且f（y）不恒为0，函数g（x）f（x），则g（2）+g（﹣2）＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
七．利用导数研究函数的单调性（共7小题）
24．（2025春•重庆期中）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有f′（x）＞2f（x），若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）
25．（2025春•盐城期中）设函数f（x）＝（ax﹣1）（b+lnx），若f（x）≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
26．（2025•天河区校级模拟）已知正实数a，b满足a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，则logab＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．
27．（2025•厦门模拟）已知集合，B＝{x|x2﹣x＜0}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，e2]
28．（2025春•历下区校级期中）设O为坐标原点，若曲线y＝x2+4和曲线y＝alnx（a＞0）上分别存在A，B两点，使得∠AOB＝45°，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．（2025•邵阳模拟）已知a，b∈R，若关于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．e B．2 C．1 D．e2
30．（2025•芜湖二模）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设，证明：f（x）+g（x）≥0．
八．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共10小题）
31．（2025•菏泽三模）已知函数在R上单调递增，则b﹣a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
32．（2025春•三明期中）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的实数x都有f′（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣2m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2025春•济南月考）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（x＞0，a∈R）在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C．（﹣∞，2e2） D．（﹣∞，2e2]
34．（2025•鼓楼区校级模拟）设，则（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
35．（2025春•武汉期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x+1），f（0）＝2，则不等式f（x）＜8ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
36．（2025春•厦门期中）函数f（x）＝xln（2x）的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
37．（2025春•高邮市期中）设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣3ax+3a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2025•济南模拟）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）记f（x）的极小值为g（a），证明：g（a）≤ea﹣1．
39．（2025•江苏校级三模）已知函数f（x）＝m（x2+2x）﹣lnxex，（m∈R），．
（1）求函数g（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）单调性；
（3）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．
40．（2025春•北京校级期中）设函数f（x）＝emx+x2﹣mx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
九．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共1小题）
41．（2025春•石家庄期中）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx，m∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若4＜m＜5，且f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
一十．利用导数研究函数的极值（共1小题）
42．（2025•河南模拟）若函数f（x）＝x（a﹣ex）在区间（0，+∞）上有极大值m，则m﹣a的最小值是（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
一十一．利用导数求解函数的极值（共1小题）
43．（2025•咸阳三模）已知函数f（x）＝2bex+2xex﹣ax﹣ab，a∈R，b∈R．
（1）当a＝0时，函数f（x）在x＝e﹣1处取得极值，求实数b的值；
（2）当f（x）≥0恒成立时，求a（b+1）的最大值；
（3）在（1）的条件下，证明：当t＞e2时，t（et﹣lnt）＞b（t﹣et）．
一十二．由函数的极值求解函数或参数（共1小题）
44．（2025春•如皋市期中）已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
一十三．利用导数研究函数的最值（共2小题）
45．（2025•重庆校级模拟）函数f（x）＝（a﹣x）lnx+bx﹣ab，若f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
46．（2025•辽宁模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣kx+1（k∈R）．
（1）当k＝1时，求f（x）的零点；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
一十四．利用导数求解函数的最值（共2小题）
47．（2025•黄冈二模）已知函数．
（1）若a＝0，求f（x）在的值域；
（2）证明：f（x）存在唯一的极值点x0，且；
（3）若f（x）≥1恒成立，证明：．
48．（2025春•北京校级期中）已知函数f（x）＝eax+1ln（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）有最大值；
（3）证明：当a＜0时，对任意m＞0，都存在正整数x0，使得0＜f（x0）＜m．
一十五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共4小题）
49．（2025春•辽宁期中）若函数的图象与函数g（x）＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数t＝（ ）
A． B．e2 C．或 D．或
50．（2025春•思明区校级期中）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
51．（2025春•菏泽期中）可与曲线y＝ex+1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x+ey+7＝0 B．ex+y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
52．（2025•辽宁模拟）曲线y＝ex与曲线的公切线方程为 ．
一十六．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共8小题）
53．（2025•江苏校级三模）过点（1，0）可以做三条直线与曲线f（x）＝ex+lnx﹣t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．（2025春•西昌市期中）已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．3x﹣4y+7＝0 C．3x+2y+1＝0 D．3x﹣4y﹣7＝0
55．（2025•南宁模拟）过点A（1，1）的直线l与曲线y＝ln（x﹣1）+2相切于点B，则|AB|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．
56．（2025•五华区模拟）若直线l同时与曲线f（x）＝ex+t（t＞1）和曲线g（x）＝tex（t＞1）相切，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[e，+∞） C．[2e，+∞） D．[3e，+∞）
57．（2025•攀枝花模拟）已知A，B分别为曲线y＝ex+x+1和直线y＝2x﹣3上的点，则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
58．（2024秋•运城期末）若两曲线y＝lnx与y＝ax2+1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，2e]
C． D．[2e，+∞）
59．（2025•浙江模拟）已知函数f（x）＝x2+2x和g（x）＝﹣x2+a，如果直线l同时是f（x）和g（x）的切线，称l是f（x）和g（x）的公切线，若f（x）和g（x）有且仅有一条公切线，则a＝ ．
60．（2025•章丘区模拟）若曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切线，则的最小值为 ．
【解析】
一．瞬时变化率（共1小题）
1．（2025春•重庆期中）某物体运动时，位移s（米）与时间t（秒）之间的关系式为：s＝f（t），且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定
【考点】瞬时变化率．版权所有
【分析】由导数的定义及瞬时速度的概念可得．
【解答】解：，
则2f'（2）＝2，解得f′（2）＝1，所以该物体在2秒末的瞬时速度为1米/秒．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
二．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共3小题）
2．（2025•江苏校级三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有
【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解．
【解答】解：，
所以，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数导数及极限求解导数的定义，属于基础题．
3．（2025春•武汉期中）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有
【分析】由导数的定义分析可得答案．
【解答】解：函数f（x）在x＝x0处可导，且，
故f′（x0）．
故选：D．
【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．
4．（2025春•孝感期中）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1），求（ ）
A．lna B． C． D．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有
【分析】根据导数的定义原式变成33f′（1），所以根据函数f（x）求出f′（1）即可．
【解答】解：因为f（x）＝logax，所以f′（x），
故33f′（1）＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的定义，以及对函数求导．注意需对原式进行变形，变到和导数定义的式子一致．
三．导数与切线的斜率（共1小题）
5．（2025•莆田二模）曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1）
【考点】导数与切线的斜率．版权所有
【分析】借助导数的几何意义计算即可得．
【解答】解：由y＝xex﹣x可得：y′＝（x+1）ex﹣1，
因为曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，
故令y′＝﹣1，则（x+1）ex＝0，故x＝﹣1，
此时，即P的坐标为．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．
四．基本初等函数的导数（共8小题）
6．（2025•白银三模）若函数f（x）的导函数f′（x）为偶函数，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．f（x）＝cosx B．f（x）＝x3+x2
C． D．f（x）＝x3+2x﹣3
【考点】基本初等函数的导数；函数的奇偶性．版权所有
【分析】逐一判断各选项中导函数f′（x）的奇偶性即可．
【解答】解：对于选项A，因为f（x）＝cosx，所以f′（x）＝﹣sinx，因为f′（﹣x）＝﹣f′（x）所以f′（x）为奇函数，A错误；
对于选项B，f′（x）＝3x2+2x，因为f′（﹣x）≠f′（x），f′（﹣x）≠﹣f′（x），所以f′（x）为非奇非偶函数，B错误；
对于选项C，，且f′（1）＝3，f′（﹣1）＝﹣5，f′（﹣1）≠f′（1），
则f′（x）不是偶函数，C错误；
对于选项D，f′（x）＝3x2+2，因为f′（﹣x）＝f′（x），所以f′（x）为偶函数，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查基本初等函数的导数，函数奇偶性的判断，属于基础题．
7．（2025春•德州期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）＝2f′（1）lnx+x2，则f′（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】基本初等函数的导数．版权所有
【分析】求出得到f′（x），再令x＝1求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝2f′（1）lnx+x2，
所以f′（x）＝2f′（x）2x，
令x＝1得，f′（1）＝2f′（1）+2，
解得f′（1）＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
8．（2025春•浙江期中）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，f（﹣x+1）+g（x+1）＝f（x+2）﹣g（x）＝1，且f（x）满足f′（x+1）+f′（﹣x+1）＝0，g（1）＝﹣1，则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026
【考点】基本初等函数的导数．版权所有
【分析】根据已知条件，结合抽象函数的周期性，以及导数的运算法则，即可求解．
【解答】解：由f（﹣x+1）+g（x+1）＝1可得：f（﹣x+2）+g（x）＝1，
又因为f（x+2）﹣g（x）＝1，
所以f（﹣x+2）+f（x+2）＝2，即f（x）的对称中心为（2，1）；
由f′（x+1）+f′（﹣x+1）＝0可得：[f（x+1）﹣f（﹣x+1）]'＝0，即f（x+1）﹣f（﹣x+1）＝c（常数），
令x＝0，则c＝f（1）﹣f（1）＝0，
所以f（x+1）﹣f（﹣x+1）＝0，即f（x）的对称轴为x＝1；
所以f（x）的周期T＝4，
因为f（x+2）＝g（x）+1，所以f（3）＝g（1）＝0；
因为f（﹣x+2）+f（x+2）＝2，令x＝2代入，
所以f（2）＝1；
根据对称性可知：f（1）＝2，f（2）＝1，f（3）＝0，f（4）＝1，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于难题．
9．（2025•沧州模拟）已知函数y＝f（x）的高阶导数为y＝f（n）（x），即对函数f（x）连续求n阶导数．例如f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，f″（x）＝﹣sinx，f‴（x）＝﹣cosx，f（4）（x）＝sinx，f（5）（x）＝cosx，…．若f（x）＝g（x）h（x），则f（10）（x）的展开式中g（4）（x）h（6）（x）的系数是（ ）
A．210 B．255 C．280 D．360
【考点】基本初等函数的导数；二项式定理的应用．版权所有
【分析】利用二项式展开式定理来求十阶导函数的指定项即可．
【解答】解：因为f（x）＝g（x）h（x），
所以f（1）（x）＝g（1）（x）h（x）+g（x）h（1）（x），
所以f（2）（x）＝g（2）（x）h（x）+2g（1）（x）h（1）（x）+g（x）h（2）（x），
所以f（3）（x）＝g（3）（x）h（x）+3g（2）（x）h（1）（x）+3g（1）（x）h（2）（x）+g（x）h（3）（x），
把求函数的10阶导理解为十次方的二项式展开式，
则有g（4）（x）h（6）（x）的系数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复合函数的导数计算，考查了二项式定理的应用，属于中档题．
10．（2025春•洛阳月考）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＝2x，且，则g′（2）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本初等函数的导数．版权所有
【分析】根据求导运算法则和基本初等函数求导公式直接求解即可．
【解答】解：因为定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），
若xf′（x）﹣2f（x）＝2x，且，
所以，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
11．（2025春•建邺区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，g（2x）＝f（2x）+f（4﹣2x）是奇函数，g（x）的导函数为g′（x），且，则g（5）+g（12）+g′（10）＝（ ）
A． B． C． D．2
【考点】基本初等函数的导数；抽象函数的周期性．版权所有
【分析】根据函数奇偶性可得g（x）是奇函数，且8是g（x）的一个周期，赋值法计算可得g（5），g（12）的值，同理可计算求得8也是g′（x）的一个周期，求出g′（10）的值即可．
【解答】解：由g（2x）＝f（2x）+f（4﹣2x），得g（x）＝f（x）+f（4﹣x），
因为g（2x）是奇函数，所以g（x）也是奇函数，所以g（x）＝﹣g（﹣x），g（0）＝0，
又g（4﹣x）＝f（4﹣x）+f（x）＝g（x），所以g（4﹣x）＝﹣g（﹣x），
即g（4+x）＝﹣g（x），所以g（8+x）＝﹣g（x+4）＝g（x），所以8是g（x）的一个周期，
所以g（12）＝g（4）＝﹣g（0）＝0，
由，得，
由g（x）＝﹣g（﹣x），得g′（x）＝g′（﹣x），
又g′（x）＝f′（x）﹣f′（4﹣x），所以g′（4﹣x）＝f′（4﹣x）﹣f′（x）＝﹣g′（x），
所以g′（4﹣x）＝﹣g′（x），即g′（4+x）＝﹣g′（x），所以g′（8+x）﹣g′（x+4）＝g′（x），
所以8也是g′（x）的一个周期，
所以g′（2）＝g′（4﹣2）＝﹣g′（﹣2）＝﹣g′（2），得g′（2）＝0，
所以g′（10）＝g′（2）＝0，所以．
故选：A．
【点评】本题考查了函数奇偶性以及整体代换和赋值法，属于中档题．
12．（2024秋•芜湖校级期末）已知函数f（x）（f（x）不恒为零），其中f′（x）为f（x）的导函数，对于任意的x，y∈R满足f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且f（1）＝2，f（2）＝0则（ ）
A．f（0）＝2
B．f（x）是偶函数
C．f′（x+1）关于点（2，0）对称
D．
【考点】基本初等函数的导数；抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．版权所有
【分析】借助赋值法令x＝y＝0，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出f（﹣1）到f（8），即可得解．
【解答】解：函数f（x）（f（x）不恒为零），其中f′（x）为f（x）的导函数，对于任意的x，y∈R满足f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且f（1）＝2，f（2）＝0，
对A：令x＝y＝0，有f（0）f（0）＝f2（0）﹣f2（0）＝0，故f（0）＝0，故A错误；
对B：令x＝0，有f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y）＝﹣f2（y），又f（x）不恒为零，
故f（﹣y）＝﹣f（y），即f（﹣x）＝﹣f（x），又x∈R，故f（x）是奇函数，故B错误；
对C：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），
所以f′（x）为偶函数，则f′（x）关于x＝0对称，
所以f′（x+1）关于直线x＝﹣1对称，故C错误；
对D：由f（﹣x）＝﹣f（x），故f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
令y＝2，有f（x+2）f（x﹣2）＝f2（x）﹣f2（2）＝f2（x），
即f2（x）＝f（x+2）f（x﹣2），则f2（4）＝f（6）f（2）＝0，即f（4）＝0，
f2（6）＝f（8）f（4）＝0，即f（6）＝0，f2（8）＝f（10）f（6）＝0，即f（8）＝0，
令y＝x﹣1，有f（2x﹣1）f（1）＝f2（x）﹣f2（x﹣1），
即2f（2x﹣1）＝f2（x）﹣f2（x﹣1），则2f（3）＝f2（2）﹣f2（1）＝0﹣4＝﹣4，则f（3）＝﹣2；
2f（5）＝f2（3）﹣f2（2）＝4﹣0＝4，所以f（5）＝2；
3f（7）＝f2（4）﹣f2（3）＝0﹣4＝﹣4，所以f（7）＝﹣2；
故，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于中档题．
13．（2025•合肥模拟）已知可导函数f（x）的定义域为R，且有f（x）﹣f（4﹣x）＝4x﹣8，设g（x）是f（x）的导函数，若g（x+1）为偶函数，则g（2k+1）＝（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
【考点】基本初等函数的导数；抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．版权所有
【分析】首先，通过已知条件f（x）﹣f（4﹣x）＝4x﹣8，可以分析出函数f（x）的对称轴，进而得到其导函数g（x）的对称中心．再根据g（x+1）为偶函数，确定g（x）的具体对称中心，周期，然后利用周期性和对称中心的性质来计算即可．
【解答】解：∵f（x）﹣f（4﹣x）＝4x﹣8，
∴两边求导得f′（x）+f′（4﹣x）＝4，
∴g（x）+g（4﹣x）＝4，可知g（x）关于点（2，2）对称，
又∵g（x+1）为偶函数，图象关于y轴对称，可知g（x）关于直线x＝1对称，
则g（1+x）＝g（1﹣x），即g（x）＝g（2﹣x），
由g（x）+g（4﹣x）＝4，可得g（x）＝4﹣g（4﹣x），
因此g（2﹣x）＝4﹣g（4﹣x），可得g（x）＝4﹣g（x+2），
即g（x）＝4﹣[4﹣g（x+2+2）]＝g（x+4），
因此，当k＝2n，n∈Z时，g（2k+1）＝g（4n+1）＝g（1），
当k＝2n+1，n∈Z时，g（2k+1）＝g（4n+3）＝g（3），
∵g（x）+g（4﹣x）＝2，∴g（1）+g（3）＝4，
∴g（4n+1）+g（4n+3）＝4，n∈Z，
则g（2k+1）＝[g（1）+g（3）+g（5）+g（7）+…+g（4049）+g（4051）
4052．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抽象函数求值问题，解答的关键是找出抽象函数的周期和对称性，属于中档题．
五．导数的乘法与除法法则（共5小题）
14．（2024春•鞍山期中）函数f（x）＝xsinx+cosx的导数f′（x）的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】导数的乘法与除法法则；奇偶函数图象的对称性．版权所有
【分析】根据题意，先求出f′（x），利用函数的奇偶性、函数值进行排除，分析可得答案．
【解答】解：因为f（x）＝xsinx+cosx，所以f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，
令g（x）＝f′（x）＝xcosx，x∈R，则g（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣g（x），
所以函数g（x）＝xcosx是奇函数，故A、C错误；
又g（π）＝πcosπ＝﹣π＜0，故B错误．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及导数的计算，属于基础题．
15．（2020秋•绥滨县校级期末）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
【考点】导数的乘法与除法法则；奇偶性与单调性的综合．版权所有
【分析】根据题意，设F（x）＝f（x）g（x），分析可得F（x）为奇函数，求出F（x）的导数，分析可得当x＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求出F（﹣3）的值，据此分析可得在区间（﹣∞，﹣3）上，F（x）＜0，在（﹣3，0）上，F（x）＞0，结合函数的奇偶性分析可得在区间（0，3）上，F（x）＜0，在区间（3，+∞）上，F（x）＞0，而不等式f（x）g（x）＜0，即F（x）＜0，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）g（x），
f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
故F（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数，
又由导数F′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x），
且当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，则当x＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
又由f（﹣3）＝0，则F（﹣3）＝f（﹣3）g（﹣3）＝0，
则在区间（﹣∞，﹣3）上，F（x）＜0，在（﹣3，0）上，F（x）＞0，
又由F（x）为奇函数，则在区间（0，3）上，F（x）＜0，在区间（3，+∞）上，F（x）＞0，
不等式f（x）g（x）＜0，即F（x）＜0，则有x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；
即不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及导数的计算，属于基础题．
（多选）16．（2025春•芗城区校级期中）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
【考点】导数的乘法与除法法则；含Δx表达式的极限计算与导数的关系；导数的加法与减法法则．版权所有
【分析】通过导数的概念可判断A，对复合函数f（x）＝ln（2x+1）求导后计算可判断B，利用导数的运算法则求解判断C，求导然后代数解方程即可判断D．
【解答】解：对于选项A，，故A正确；
对于选项B，因为，
令，
解得，故B正确；
对于选项C，因为，故C错误；
对于选项D，因为，
令x＝2得，，
解得，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了导数的定义，考查了复合函数的求导法则，属于基础题．
17．（2024春•昆山市期末）“指数找基友”是高中导数的重要思想，如[exf（x）]＝ex（f（x）+f'（x））和，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在R上的可导函数f（x）和g（x）满足以下关系：f'（x）＝g（x），g'（x）＝f（x），f（x）+f（﹣x）＝0，g（0）＝1，则f（x）＝ ，g（x）＝ ．
【考点】导数的乘法与除法法则．版权所有
【分析】根据题意可得ex[f（x）+f′（x）]﹣ex[g（x）+g′（x）]＝0，进而可得exf（x）﹣exg（x）＝c，即f（x）﹣f′（x），再根据题意可得f（x）＝aex，结合奇函数以及g（0）＝1，列式，求解，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得f（x），g（x）的定义域为R，
因为f′（x）＝g（x），g′（x）＝f（x），
所以[f（x）+f′（x）]﹣[g（x）+g′（x）]＝0，
即ex[f（x）+f′（x）]﹣ex[g（x）+g′（x）]＝0，
由题意可知，exf（x）﹣exg（x）＝c，即exf（x）﹣exf′（x）＝c，
可得a，即f（x）＝aex，则g（x）＝f′（x）＝aex，
又因为f（x）+f（﹣x）＝0，g（0）＝1，则f（x）＝0，f′（0）＝1，
所以，解得c＝﹣2a＝﹣1，
即f（x）ex，g（x），
此时f（x）+f（﹣x）0，符合题意，
所以f（x），g（x）．
故答案为：；．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
18．（2020•湖北模拟）已知函数f（x）＝xsinx+cosx，g（x）．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上零点的个数；
（2）设函数g（x）在区间（0，3π）上的极值点从小到大分别为x1，x2，…，xn，证明g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＜0成立．
【考点】导数的乘法与除法法则；函数的零点与方程根的关系．版权所有
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，利用函数零点判定定理可求；
（2）先对函数求导数，然后结合函数极值存在的条件，利用函数的性质可证．
【解答】解：（1）f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，
当x时，f′（x）＞0，函数单调递增，f（x）＞f（0）＝1，f（x）无零点；
当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，
f（）＞0，f（）0，故f（x）有唯一零点；
当时，f′（x）＞0，函数单调递增，
又f（）0，0，f（x）有唯一零点；
当时，f′（x）＜0，函数单调递减，
又，f（3π）＝﹣1，f（x）有唯一零点；
综上所述f（x）在（0，3π）有3个零点；
（2）（i），
由（1）知g（x）在（0，）无极值点；在（）有极小值点，即为x1，
在（）有极大值点即为x2，在（）有极小值点x3，
又f（）＝1＞0，f（π）＝﹣1＜0，f（）0，f（2π）＝1＞0，，f（3π）＝﹣1，
所以，，，
由xnsinxn+cosxn＝0可得﹣sinxn，即tanxn，
因为0＜x1＜x2，所以，tan（x1+π）＝tanx1＜tanx2，
而，，故有x1+π＜x2，
所以g（x1）+g（x2）sinx1﹣sinx2＝sin（x1+π）﹣sinx2，
因为y＝sinx在（）是增函数，sin（x1+π）﹣sinx2＜0，
即证明g（x1）+g（x2）＜0，
因为x3，所以g（x3）＝﹣sinx3＜0，
所以g（x1）+g（x2）+…+g（x3）＜0．
【点评】本题主要考查了函数与导数性质的综合应用，属于中档试题．
六．简单复合函数的导数（共5小题）
19．（2025•昌黎县校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为f′（x），则f′（2025）等于（ ）
A． B．0 C． D．1
【考点】简单复合函数的导数；抽象函数的周期性．版权所有
【分析】根据复合函数的导数、函数的周期性等知识进行分析，从而求得正确答案．
【解答】解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），
又因为f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，得f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2，
所以f′（﹣x）＝﹣f′（2+x）+2，所以f′（x）＝﹣f′（2+x）+2，
所以f′（x+2）＝﹣f′（4+x）+2，以上两式相减，可得f′（4+x）＝f′（x），
所以f′（x）为以4为最小正周期的周期函数，
在f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2中，
令x＝0，得f′（1）＝1，所以f′（2025）＝f′（506×4+1）＝f′（1）＝1．
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的导数，抽象函数的周期性，属于中等题．
20．（2025春•青山湖区校级期中）已知函数f（x）＝esinx﹣3f′（0）x，其中f′（x）是f（x）的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单复合函数的导数．版权所有
【分析】利用导函数求得，由此得到函数解析式，代入求函数值即可．
【解答】解：由f（x）＝esinx﹣3f′（0）x，则f′（x）＝esinx•cosx﹣3f′（0），
则f′（0）＝1﹣3f′（0），解得，
所以，则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
21．（2025春•邗江区校级月考）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
【考点】简单复合函数的导数．版权所有
【分析】由条件可得，结合导数运算及f（0）＝﹣2求出函数f（x）的解析式，解不等式可得结论．
【解答】解：因为f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），
所以，即，
设，
即f（x）＝（x2﹣x+c）ex，又f（0）＝c＝﹣2，故f（x）＝（x2﹣x﹣2）ex，
f（x）＜10ex可化为x2﹣x﹣2＜10，
所以﹣3＜x＜4，
所以不等式f（x）＜10ex的解集为（﹣3，4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数与单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
22．（2025春•常州校级月考）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（ ）
A．8 B．1 C．0 D．﹣8
【考点】简单复合函数的导数．版权所有
【分析】根据f（2x+1）为偶函数，得出f′（x）关于（1，0）中心对称，再根据f′（x+2）为偶函数，得出f′（x）关于x＝2对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可．
【解答】解：f（2x+1）为偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），左右两边同时求导得，
2f′（2x+1）＝﹣2f′（﹣2x+1），将2x+1看作整体得f′（x）＝﹣f′（2﹣x）①，
将y＝f′（x+2）图象向右平移2个单位得到y＝f′（x），
因为y＝f′（x+2）为偶函数，则y＝f′（x）图象关于x＝2对称，即f′（x）＝f′（4﹣x）②，
①②两式联立得﹣f′（2﹣x）＝f′（4﹣x），即﹣f′（x）＝f′（x+2），
用x+2代替x得﹣f′（x+2）＝f′（x+4），故f′（x）＝f′（x+4），
即y＝f′（x）的周期为4，
因f′（2）＝8，则①式中令x＝1有f′（1）＝0，令x＝0有f′（0）＝﹣f′（2）＝﹣8，
②式中令x＝4有f′（4）＝f′（0）＝﹣8，令x＝3有f′（3）＝f′（1）＝0，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了复合函数的求导，属于基础题．
23．（2025•辽宁一模）对任意x，y∈R，都有f（x+y）f（x﹣y）＝f′（x）﹣f′（y），且f（y）不恒为0，函数g（x）f（x），则g（2）+g（﹣2）＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】简单复合函数的导数．版权所有
【分析】利用赋值法可得f（﹣y）＝﹣f（y），进而可求g（2）+g（﹣2）的值．
【解答】解：由f（x+y）f（x﹣y）＝f′（x）﹣f′（y），
取x＝y＝0，得f（0）f（0）＝f2（0）﹣f2（0）＝0，则f（0）＝0，
令x＝0，得f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y）＝﹣f2（y），
∵f（y）不恒为0，∴f（﹣y）＝﹣f（y），得f（y）是奇函数，
∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查简单复合函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
七．利用导数研究函数的单调性（共7小题）
24．（2025春•重庆期中）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有f′（x）＞2f（x），若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．版权所有
【分析】构造并利用导数研究其单调性，将题干不等式恒成立转化为h（lnx）＜h（ax+1）恒成立，即lnx＜ax+1恒成立，分离参数，进而构造函数，利用导数求解其最值即可得解．
【解答】解：令函数，那么导函数，即h（x）在R上单调递增，
恒成立，等价于恒成立，
那么h（lnx）＜h（ax+1）恒成立，因此lnx＜ax+1恒成立，即恒成立，
设函数，那么a＞g（x）max，导函数，令g′（x）＝0，得x＝e2，
令g′（x）＜0，得x＞e2，令g′（x）＞0，得0＜x＜e2，
因此函数g（x）在（e2，+∞）单调递减，在（0，e2）上单调递增，
因此，所以，所以a∈．
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
25．（2025春•盐城期中）设函数f（x）＝（ax﹣1）（b+lnx），若f（x）≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立的问题．版权所有
【分析】f（x）＝（ax﹣1）（b+lnx）≥0恒成立，那么g（x）与h（x）需同号恒成立，对a的值分类讨论，再结合构造函数法求导判断即可．
【解答】解：设g（x）＝ax﹣1，h（x）＝b+lnx．
因为f（x）＝（ax﹣1）（b+lnx）≥0恒成立，那么g（x）与h（x）需同号恒成立．
对于h（x）＝b+lnx，其定义域为（0，+∞），且h（x）在（0，+∞）上单调递增．
对于g（x）＝ax﹣1，当a＝0时，g（x）＝﹣1，此时f（x）＝﹣（b+lnx），不可能恒大于等于0，所以a≠0．
当a＜0时，g（x）＝ax﹣1在（0，+∞）上单调递减，
x→+∞时，g（x）→﹣∞，h（x）＝b+lnx→+∞，不满足f（x）≥0恒成立，所以a＞0．
令g（x）＝ax﹣1＝0，解得；令h（x）＝b+lnx＝0，解得x＝e﹣b．
由于f（x）≥0恒成立，所以g（x）与h（x）的零点相同，，由此可得b＝﹣1．
由b＝lna，则，设（x＞0）．
对φ（x）求导，则，
令φ'（x）＝0，，因为x2＞0，所以1﹣lnx＝0，解得x＝e．
当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；
当x＞e时，1﹣lnx＜0，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减．
所以φ（x）在x＝e处取得极大值，也是最大值，，的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
26．（2025•天河区校级模拟）已知正实数a，b满足a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，则logab＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．版权所有
【分析】分别利用基本不等式和导函数求出函数最值，由夹逼法可得出，再利用不等式中等号成立的条件构建方程组，解出a，b的值即可．
【解答】解：由a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，得．
因为a，b均为正实数，所以（当且仅当，即a＝4b时取等号），
所以，即．
令f（x）＝lnx﹣x+1，则，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故当x＝1时，f（x）max＝ln1﹣1+1＝0，即f（x）＝ln1﹣x+1≤0（当且仅当x＝1时取等号），
因此，即．
由和可得，
则a＝4b且ab＝1，解得a＝2，b，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
27．（2025•厦门模拟）已知集合，B＝{x|x2﹣x＜0}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，e2]
【考点】利用导数研究函数的单调性．版权所有
【分析】先求出集合B，问题转化为a在（0，1）内无解，即a在（0，1）内恒成立，结合不等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解．
【解答】解：因为集合，B＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
若A∩B＝∅，则a在（0，1）内无解，
令f（x），x∈（0，1），则f′（x），
当0＜x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故x时，函数f（x）取得极小值，也是最小值f（），
故a．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
28．（2025春•历下区校级期中）设O为坐标原点，若曲线y＝x2+4和曲线y＝alnx（a＞0）上分别存在A，B两点，使得∠AOB＝45°，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．版权所有
【分析】设出A，B两点坐标，结合斜率的计算由基本不等式和导数分别求出两直线斜率最小值，然后再利用两角差的正切公式计算即可．
【解答】解：设A（x1，x12+4）（x1＞0），则，当且仅当x1＝2时取等号；
设B（x2，alnx2），则，
令，则，
令f′（x）＝0，可得x＝e，
所以x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的最大值为f（e），
所以，
取，此时，
解得，即a的取值范围是[）．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
29．（2025•邵阳模拟）已知a，b∈R，若关于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．e B．2 C．1 D．e2
【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式恒成立的问题；运用基本不等式求最值．版权所有
【分析】先将不等式变形可得（x﹣a）（ex﹣b）≥0，然后通过分析可得ea＝b，代入，通过求导求解函数的最值即可求解．
【解答】解：由题意a，b∈R，若关于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，
可将不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0变形，可得（x﹣a）（ex﹣b）≥0，
要使不等式（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，需满足：
当x＞a时，x﹣a＞0，因此需ex﹣b≥0，
当x＜a时，x﹣a＜0，因此需ex﹣b≤0，若同时满足上述两个要求，则ea＝b，
下面验证ea＝b时，（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，
当x＞a时，ex＞ea，所以ex﹣b＞0，所以（x﹣a）（ex﹣b）＞0，
当x＜a时，ex＜ea，所以ex﹣b＜0，所以（x﹣a）（ex﹣b）＞0，
当x＝a时，（x﹣a）（ex﹣b）＝0，
所以ea＝b时，不等式（x﹣a）（ex﹣b）≥0恒成立，
所以，令，所以，
令h′（a）＝0，得a＝﹣1，
当a＜﹣1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，
当a＞﹣1时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，
所以当a＝﹣1时，h（a）取得最大值，最大值为，
所以的最大值为e．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
30．（2025•芜湖二模）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设，证明：f（x）+g（x）≥0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．版权所有
【分析】（1）求导得，分a≤0和a＞0两种情况讨论，分别得到单调区间；
（2）要证f（x）+g（x）≥0，即证xex﹣1≥lnxex，令t＝xex，根据h（t）＝lnt﹣t+1，通过求导判断单调性可得lnt≤t﹣1，即可证明．
【解答】解：（1）定义域x∈（0，+∞），，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当a＞0时，令f′（x）＝0得，
令f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得，
所以f（x）在单调递减，在单调递增．
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．
（2）证明：要证f（x）+g（x）＝xex﹣1﹣lnx﹣x≥0即证xex﹣1≥lnx+x＝lnxex，
设xex＝t＞0，即lnt≤t﹣1，
设h（t）＝lnt﹣t+1，则，令h′（t）＞0得0＜t＜1，令h′（t）＜0得t＞1，
所以h（t）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，所以h（t）max＝h（1）＝0，
所以lnt≤t﹣1成立，所以f（x）+g（x）≥0得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
八．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共10小题）
31．（2025•菏泽三模）已知函数在R上单调递增，则b﹣a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】根据函数f（x）在R单调递增，即f′（x）≥0在R恒成立，解得a＝lnb，再构造函数g（a）＝ea﹣a，通过导数求单调性即可求解．
【解答】解：根据题意， 的定义域为R，
，
由于f（x）在R单调递增，
因此导函数f′（x）＝（x﹣a）（ex﹣b）≥0在R恒成立，
因此a＝lnb，即b＝ea，
因此b﹣a＝ea﹣a，
令函数g（a）＝ea﹣a，那么导函数g′（a）＝ea﹣1，
令g′（a）＜0，则a＜0，
令g′（a）＞0，则a＞0，
所以g（a）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，
所以g（a）min＝g（0）＝1，
所以b﹣a的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
32．（2025春•三明期中）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的实数x都有f′（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣2m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】由题意得ex[f′（x）+f（x）]＝2x+3，即[exf（x）]'＝2x+3，求出f（x）解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图像即可求解．
【解答】解：f′（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x），即ex[f′（x）+f（x）]＝2x+3，
所以[exf（x）]'＝2x+3，则exf（x）＝x2+3x+c，
所以，
因为f（0）＝1，所以，
所以，
，
由f′（x）＞0，得﹣2＜x＜1，则f（x）在（﹣2，1）上单调递增，
由f′（x）＜0，得x＜﹣2或x＞1，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（1，+∞）上单调递减，
所以x＝1时，f（x）取得极大值为，
当x＝﹣2时，f（x）取得极小值f（﹣2）＝﹣e2＜0，
又因为f（﹣1）＝﹣e＜0，f（0）＝1＞0，f（﹣3）＝e3＞0，
且x＞1时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）→0，
f（x）﹣2m＜0的解集中恰有两个整数等价于在y＝2m下方的图像只有2个横坐标为整数的点，
结合函数图像可得：f（﹣1）＜2m≤0，解得，
所以时，f（x）﹣2m＜0的解集中恰有两个整数﹣1，﹣2，
故实数m的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
33．（2025春•济南月考）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（x＞0，a∈R）在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C．（﹣∞，2e2） D．（﹣∞，2e2]
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】根据函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，可得f′（x）≤0在区间（1，2）上恒成立，参变分离可得a≤xex恒成立，令g（x）＝xex，通过求导判断g（x）单调性，求得其最小值即可．
【解答】解：根据f（x）＝alnx﹣ex（x＞0，a∈R），得导函数，
由于f（x）在（1，2）上单调递减，
因此f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，
即，等价于a≤xex恒成立，
令函数g（x）＝xex，那么导函数g′（x）＝ex+xex＝ex（1+x），
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0恒成立，因此函数g（x）在（1，2）上单调递增，
因此a∈（﹣∞，e]．
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
34．（2025•鼓楼区校级模拟）设，则（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣x+1，求导可证明lnx≤x﹣1，即可求解a＞b，进而根据指数以及对数的性质求解．
【解答】解：记f（x）＝lnx﹣x+1，则，
，
故当0＜x＜1时，，故f（x）在（0，1）单调递增，
当x＞1时，，故f（x）在（1，+∞）单调递减，
故f（x）＝lnx﹣x+1≤f（1）＝0，因此对任意的x＞0，都有lnx≤x﹣1，
当且仅当x＝1时取到等号，
故，故，故a＞b，
由于，因此c＞a＞b，
故选：A．
【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题．
35．（2025春•武汉期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x+1），f（0）＝2，则不等式f（x）＜8ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】由已知结合函数的求导公式及f（0）＝2先求出f（x），代入已知不等式进行化简，结合二次不等式即可求解．
【解答】解：因为f′（x）﹣f（x）＝ex（2x+1），
所以2x+1，
即[]′＝2x+1，
则f（x）＝ex（x2+x+c），
因为f（0）＝c＝2，
所以f（x）＝ex（x2+x+2），
则不等式f（x）＜8ex解可化为x2+x+2＜8，
解得﹣3＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数运算在不等式求解中的应用，属于中档题．
36．（2025春•厦门期中）函数f（x）＝xln（2x）的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】对函数求导，结合导函数的性质判断即可．
【解答】解：求导得1．
令f'（x）＜0，即ln（2x）+1＜0．移项可得ln（2x）＜﹣1．
根据对数函数的性质，（因为），
又因为对数函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，所以，
解不等式，两边同时除以2，得到．
故选：A．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
37．（2025春•高邮市期中）设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣3ax+3a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】不等式f（x）＜0存在整数解等价于g（x）＝ex（2x﹣1）的图象有部分在直线y＝3ax﹣3a的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画g（x）＝ex（2x﹣1）的图象后考虑动直线y＝3ax﹣3a的变化趋势从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：令g（x）＝ex（2x﹣1），则g′（x）＝ex（2x+1），
当时，g′（x）＜0，所以g（x）在上是单调减函数，
当时，g′（x）＞0，所以在上是单调增函数，
由f（x）＝ex（2x﹣1）﹣3ax+3a＜0可得ex（2x﹣1）＜3ax﹣3a，
由题意可知，存在唯一的整数x0，使得，
则函数g（x）在直线y＝3ax﹣3a下方的图象中只有一个横坐标为整数的点，
因为a＜1，
当a≤0时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合平题意，
所以0＜a＜1，因为，
当直线y＝3ax﹣3a过点（0，﹣1）时，则﹣3a＝﹣1，解得，
又g′（0）＝1，直线y＝x﹣1，所以此时函数g（x）与直线y＝3ax﹣3a相切于点（0，﹣1），
当直线y＝3ax﹣3a过点时，则，且，
结合图象可得，
所以a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
38．（2025•济南模拟）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）记f（x）的极小值为g（a），证明：g（a）≤ea﹣1．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义可得切线斜率，求出f（1），进而可得切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；
（3）由（2）可得g（a）＝1+lna，分析可知要证g（a）≤ea﹣1，即证ea﹣1﹣lna﹣1≥0，令h（a）＝ea﹣1﹣lna﹣1，利用导数求出h（a）的最小值为0即可得证．
【解答】解：（1）当a＝1时，，所以，
所以f'（1）＝0，又因为f（1）＝1+lnl＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的为y＝1．
（2）因为，
（i）当a≤0时，则在x∈（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ii）当a＞0时，f'（x）＞0，解得x＞a，f'（x）＜0，解得0＜x＜a，
所以f（x）在（0，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增．
（3）证明：由（2）得，若f（x）有极小值，则a＞0，
且f（x）在（0，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，所以g（a）＝1+lna．
要证g（a）≤ea﹣1，即证1+lna≤ea﹣1，
即证ea﹣1﹣lna﹣1≥0，令h（a）＝ea﹣1﹣lna﹣1，所以，
因为函数h′（a）在（0，+∞）上单调递增，且h′（1）＝0，
所以h（a）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
则h（a）≥h（1）＝0，所以ea﹣1﹣lna﹣1≥0，得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
39．（2025•江苏校级三模）已知函数f（x）＝m（x2+2x）﹣lnxex，（m∈R），．
（1）求函数g（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）单调性；
（3）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】（1）先求g（x）的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可；
（2）先求f（x）的导数，对m分类讨论，确定导数符号，得出单调性；
（3）利用导数法分别求解f（x），g（x）在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于m的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可．
【解答】解：（1）由题意，，
所以，又，
所以函数g（x）在x＝0处的切线方程为，即x+2y﹣1＝0；
（2）f（x）＝m（x2+2x）﹣lnxex＝m（x2+2x）﹣x﹣lnx，定义域为（0，+∞），
所以，
当m≤0时，f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（0，+∞）单调递减，
当m＞0时，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得：，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增；
综上，m≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
m＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（3）由（2）知，当m＞0时，，
根据题意，不等式等价于，x2∈[﹣2，﹣1]，
对于，x∈[﹣2，﹣1]，则，
所以g（x）在x∈[﹣2，﹣1]上单调递减，所以，
则有，即，
设，（m＞0），则，
所以h（m）在定义域内为减函数，又，
所以，所以，即m的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
40．（2025春•北京校级期中）设函数f（x）＝emx+x2﹣mx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有
【分析】（1）求出导函数f'（x）＝m（emx﹣1）+2x．通过m的取值，然后求解单调区间．
（2）说明f（x）在x＝0处取得最小值．对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是：，构造函数g（t）＝et﹣t﹣e+1，求出g'（t）＝et﹣1．通过t的取值，判断函数的单调性，转化求解m的范围即可．
【解答】解：（1）f'（x）＝m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f'（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f'（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f'（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f'（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，
故f（x）在x＝0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是：，
即①，
设函数g（t）＝et﹣t﹣e+1，则g'（t）＝et﹣1．
当t＜0时，g'（t）＜0；
当t＞0时，g'（t）＞0．
故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）＝0，g（﹣1）＝e﹣1+2﹣e＜0，
故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
即当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即①式成立．
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1；
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
九．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共1小题）
41．（2025春•石家庄期中）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx，m∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若4＜m＜5，且f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）；由函数的极值求解函数或参数．版权所有
【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；
（2）由题意结合函数极值点的概念可得，x1•x2＝1，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数g（x）的值域即可得解．
【解答】解：（1）由已知f（x）的定义域为（0，+∞），
则题意等价于在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
由对勾函数性质知，x＞0时，，当且仅当x＝1时等号成立，
∴m≤4，即m∈（﹣∞，4]；
（2）由已知，
∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2为方程2x2﹣mx+2＝0的两个不相等的实数根，
则，x1•x2＝1，
∵0＜x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，
又，解得，
∴
，
设（），
则，
∴g（x）在上单调递减，
又，g（1）＝1﹣1+0＝0，
∴，
即f（x1）﹣f（x2）的取值范围为．
【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围以及由函数的极值求参数取值范围，属于中档题．
一十．利用导数研究函数的极值（共1小题）
42．（2025•河南模拟）若函数f（x）＝x（a﹣ex）在区间（0，+∞）上有极大值m，则m﹣a的最小值是（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
【考点】利用导数研究函数的极值．版权所有
【分析】设极大值点为x0，由题意可得a＞1，，进而有，构造函数g（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞0），求得最小值即可．
【解答】解：由f'（x）＝a﹣（x+1）ex，若f（x）在（0，+∞）上有极大值m，必存在极大值点x0，
即f′（x）＝0在（0，+∞）上有解，即a﹣（x+1）ex＝0有解，所以有a＞1，，
，
所以有，令g（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞0），
则g'（x）＝（x2+x﹣2）ex＝（x+2）（x﹣1）ex，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
可得函数g（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），
所以g（x）min＝g（1）＝﹣e，
当x0＝1时，a＝2e，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，满足题设，
故m﹣a的最小值为﹣e．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
一十一．利用导数求解函数的极值（共1小题）
43．（2025•咸阳三模）已知函数f（x）＝2bex+2xex﹣ax﹣ab，a∈R，b∈R．
（1）当a＝0时，函数f（x）在x＝e﹣1处取得极值，求实数b的值；
（2）当f（x）≥0恒成立时，求a（b+1）的最大值；
（3）在（1）的条件下，证明：当t＞e2时，t（et﹣lnt）＞b（t﹣et）．
【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值；不等式恒成立的问题．版权所有
【分析】（1）求导，利用函数f（x）在x＝e﹣1处取得极值得f′（e﹣1）＝0，求得实数b的值，并检验极值点即可得结论；
（2）因f（x）≥0恒成立，若a≤0，则2ex﹣a＞0，不合题意；a＞0，整理可得a（b+1）＝a（1+ln2﹣lna），令g（x）＝x（1+ln2﹣lnx），求导确定单调性，即可得最大值，从而得所求；
（3）由（1）可知，f（x）＝2xex﹣2ex+1，求导确定函数的单调性，由t＞e2可得t＞lnt＞2，利用单调性与不等式的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝2bex+2xex，f′（x）＝2bex+2ex+2xex＝2（b+1+x）ex，
因为函数f（x）在x＝e﹣1处取得极值，
所以f′（e﹣1）＝2（b+1+e﹣1）ee﹣1＝2（b+e）ee﹣1＝0，解得b＝﹣e．
则f′（x）＝2（﹣e+1+x）ex，经检验x＝e﹣1是函数的极值点，
故b的值为﹣e．
（2）f（x）＝2bex+2xex﹣ax﹣ab＝（2ex﹣a）（x+b），
若a≤0，则2ex﹣a＞0，此时f（x）≥0不恒成立，不合题意，所以a＞0，
当a＞0时，要使f（x）≥0恒成立，则有b＝ln2﹣lna，
所以a（b+1）＝a（1+ln2﹣lna），
令g（x）＝x（1+ln2﹣lnx），则g′（x）＝（1+ln2﹣lnx）﹣1＝ln2﹣lnx，
所以当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（2）＝2．
故a（b+1）的最大值为2．
（3）证明：由（1）可知，f（x）＝2xex﹣2ex+1，
所以f′（x）＝2（1+x﹣e）ex，
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
记h（x）＝x﹣lnx，x＞e2，则，
所以h（x）在（e2，+∞）上单调递增，所以h（x）＞e2﹣2＞0，即x＞lnx，
所以当t＞e2时，易得t＞lnt＞2，
所以2tet﹣2et+1＞2tlnt﹣2et，所以2tet﹣2et+1＞2tlnt﹣2et，所以tet﹣e•et＞tlnt﹣et，
所以tet﹣tlnt＞e•et﹣et＝﹣e（t﹣et），
由（1）知，b＝﹣e，所以当t＞e2时，t（et﹣lnt）＞b（t﹣et）成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
一十二．由函数的极值求解函数或参数（共1小题）
44．（2025春•如皋市期中）已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
【考点】由函数的极值求解函数或参数．版权所有
【分析】令g（x）＝f′（x），求出g′（x），要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，由此可得a的取值范围．
【解答】解：由题意，f′（x）＝aex+（ax﹣a﹣1）ex+1＝（ax﹣1）ex+1，
若0是f（x）的极小值点，
则x＝0的左侧，f′（x）＜0，在x＝0的右侧，f′（x）＞0，
令g（x）＝f′（x）＝（ax﹣1）ex+1，则g（0）＝0，
g′（x）＝（ax+a﹣1）ex，g′（0）＝a﹣1，
要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，即a﹣1＞0，a＞1，
即a的取值范围为（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
一十三．利用导数研究函数的最值（共2小题）
45．（2025•重庆校级模拟）函数f（x）＝（a﹣x）lnx+bx﹣ab，若f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【考点】利用导数研究函数的最值．版权所有
【分析】由f（x）＝﹣（x﹣a）（lnx﹣b）≤0在（0，+∞）上恒成立，得a＝eb，消元得到，令，求导得到g（x）的最小值即得结果．
【解答】解：根据题设函数f（x）＝﹣（x﹣a）（lnx﹣b）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，
此时y＝x﹣a，y＝lnx﹣b在区间（0，+∞）上都单调递增，
因此只需y＝x﹣a，y＝lnx﹣b在区间（0，+∞）上的零点相同，即a＝eb，
因此，令函数，那么导函数，
当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，
当x＜1时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递减，
所以g（x）min＝g（1）＝e．
故选：D．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．
46．（2025•辽宁模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣kx+1（k∈R）．
（1）当k＝1时，求f（x）的零点；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
【考点】利用导数研究函数的最值．版权所有
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数可得f（x）的单调性，进而可得f（x）的最小值，从而可得函数的零点；
（2）将已知不等式参变量分离可得恒成立，即k，设，利用导数求出g（x）的最小值即可求解k的取值范围；
（3）由（2）可知，，取，…，，利用累加法可得．由，可得ln（1+x）≤x，取，，，…，，利用累加法．综合即可得证．
【解答】（1）解：当k＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝0，
则f（x）的零点为1．
（2）解：f（x）≥0恒成立，即xlnx﹣kx+1≥0恒成立，即恒成立，所以k，
设，即k≤g（x）min，
，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝1，即k≤1，
所以k的取值范围是（﹣∞，1]．
（3）证明：由（2）可知，当k＝1时，有成立，当且仅当x＝1时等号成立，
取，…，，
则，ln，….，
所以，
即．
由，
即ln（1+x）≤x，当且仅当x＝0时等号成立，
取，，，…，，
得，，…，，
所以，
即．
综上，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
一十四．利用导数求解函数的最值（共2小题）
47．（2025•黄冈二模）已知函数．
（1）若a＝0，求f（x）在的值域；
（2）证明：f（x）存在唯一的极值点x0，且；
（3）若f（x）≥1恒成立，证明：．
【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的极值．版权所有
【分析】（1）求导后分析单调性可得；
（2）由（1）可知x＝1为函数f（x）的唯一极值点且为极小值点，求导后分当x＞1时和0＜x＜1讨论，当0＜x＜1时，分别构造g（x），h（x），φ（t），求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析；
（3）由（2）可知f（x）的最小值，利用f（x）≥1恒成立，得到a≥1，采用分析法证明令，构造函数p（θ），求导分析单调性和最值可证明．
【解答】解：（1）根据题目：已知函数，
当a＝0时，，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，e2]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又，
所以f（x）在的值域为[0，1]．
（2）证明：当a＝0时，由（1）可知x＝1为函数f（x）的唯一极值点且为极小值点，
满足，
下面讨论a＞0的情形：，
当x＞1时，，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）单调递增，无极值点．
当0＜x＜1时，，设g（x）＝xex，g′（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）单调递增，
令f′（x）＝0，得，即，则有，即ax+lnx＝0．
又设h（x）＝ax+lnx（a＞0），易知h（x）在（0，+∞）单调递增，，
令t＝a+1＞1，设，，
当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＜0，φ（t）单调递减，
所以φ（t）＜φ（1）＝0，即，
而h（1）＝a＞0，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，
使得h（x0）＝0即f′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0即f′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0即f′（x）＞0，
故x0是函数f（x）唯一的极值点且为极小值点．
综上所述，存在唯一的极小值点x0，且．
（3）证明：由（2）可知f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
所以f（x）的最小值为，
又因为h（x0）＝0即ax0＝﹣lnx0，所以，
从而有，
若f（x）≥1恒成立，则a≥1，
令，则，要证，
即证即．
设在单调递减，
所以，所以p（θ）在单调递增，
所以p（θ）≥p（0）＝0，即．所以成立．
【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题．
48．（2025春•北京校级期中）已知函数f（x）＝eax+1ln（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）有最大值；
（3）证明：当a＜0时，对任意m＞0，都存在正整数x0，使得0＜f（x0）＜m．
【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】（1）根据题意，求得，求得f′（0）＝e，f（0）＝0，结合导数的几何意义，求得曲线的切线方程；
（2）当a＝﹣1时，求得，令，求得g′（x）＜0，的得到g（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，结合g（0）＞0，g（1）＜0，得到存在x1∈（0，1），使得f′（x1）＝0，得到f（x）得单调，即可证得函数f（x）有最大值；
（3）当a＜0时，可得，令，求得m′（x）＜0，得到m（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，结合，得到存在，使得f′（x0）＝0，得到f（x）的单调性，得出f（x）最大值为f（x0），即可得证．
【解答】（1）解：，
所以f′（0）＝e，又f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝ex．
（2）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝e﹣x+1ln（x+1），，其中x＞﹣1，
令，
则，所以g（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，
又因为g（0）＝1＞0，，
所以存在x1∈（0，1），满足g（x1）＝0，即f′（x1）＝0，
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：
x
（﹣1，x1）
x1
（x1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘
所以当a＝﹣1时，函数f（x）有最大值f（x1）．
（3）证明：当a＜0时，可得，
令，可得，
所以m（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
且，
则存在，使得m（x0）＝0，即f′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，f（x）→0，
所以当x＝x0时，函数取得最大值，最大值为f（x0），
所以对任意m＞0，都存在正整数x0，使得0＜f（x0）＜m．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于难题．
一十五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共4小题）
49．（2025春•辽宁期中）若函数的图象与函数g（x）＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数t＝（ ）
A． B．e2 C．或 D．或
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【分析】先由题意可得直线l的斜率k＝2，再根据l与f（x）相切求切线l的方程，再设切线l与g（x）＝txex切于点P（x0，y0），接着根据切点的特点及导数的几何意义建立方程组，最后再解方程组即可得解．
【解答】解：由题意可得直线l的斜率k＝2，
令，（x＞0），
∴x＝1，又f（1）＝1，
∴切线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，
设切线l与g（x）＝txex切于点P（x0，y0），
又g′（x）＝tex（x+1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x0＝1或x0，又t，
∴t或t＝4．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数求切线，方程思想，属中档题．
50．（2025春•思明区校级期中）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
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【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，方程有解．建立不等式，即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）＝（x+a）ex，
所以f′（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex，
设过坐标原点的切线且曲线于点（t，（t+a）et），
则切线方程为y﹣（t+a）et＝（t+a+1）et（x﹣t），又其过原点，
所以（t+a）et＝t（t+a+1）et，
所以t+a＝t（t+a+1），
所以t2+at﹣a＝0，根据题意可知该方程有2解，
所以Δ＝a2+4a＞0，
所以a∈（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题，属中档题．
51．（2025春•菏泽期中）可与曲线y＝ex+1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x+ey+7＝0 B．ex+y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
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【分析】设公切线切两曲线于（x1，），（x2，），从而根据导数的几何意义，斜率公式，建立方程，即可求解．
【解答】解：因为y＝ex+1和y＝ex+1的导数分别为y′＝ex，y′＝ex+1，
设公切线切两曲线于（x1，），（x2，），
所以，
解得x1＝x2+1＝0，所以k＝1，
所以与曲线y＝ex+1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线的斜率为﹣1，
所以仅有D选项中直线方程满足．
故选：D．
【点评】本题考查函数的公切线问题，属中档题．
52．（2025•辽宁模拟）曲线y＝ex与曲线的公切线方程为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．版权所有
【分析】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解．
【解答】解：因为y＝ex与的导数分别为y′＝ex，，
设公切线与曲线y＝ex，分别切于点，，
可得公切线的斜率，
所以公切线方程为，即①．
所以公切线方程为，
即②．
由①②得所以，
令，x＜1，所以f′（x）＝（2x﹣1）e2x，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以，所以，
所以公切线方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的公切线问题的求解，属中档题．
一十六．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共8小题）
53．（2025•江苏校级三模）过点（1，0）可以做三条直线与曲线f（x）＝ex+lnx﹣t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程m＝﹣em（m2﹣m﹣1）有3解，进而转化为y＝a与y＝﹣em（m2﹣m﹣1）有3个交点，设g（m）＝﹣em（m2﹣m﹣1），从而利用导数研究函数g（m）的单调性及极值，即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）＝ex+lnx﹣t＝xex﹣t，所以f′（x）＝ex（x+1），
设过点（1，0）的切线切曲线于点（m，mem﹣t），
则切线方程为y﹣（mem﹣t）＝[em（m+1）]（x﹣m），又其过点（1，0），
所以0﹣（mem﹣t）＝[em（m+1）]（1﹣m），
因为过点（1，0）可以做三条直线与曲线f（x）＝ex+lnx﹣t相切，
所以方程m＝﹣em（m2﹣m﹣1）有3解，
所以y＝a与y＝g（m）＝﹣em（m2﹣m﹣1）有3个交点，
又g′（m）＝﹣em（m+2）（m﹣1），
令g′（m）＝﹣em（m+2）（m﹣1）＝0，可得m＝﹣或m＝1，
所以当m∈（﹣∞，﹣2）时，g′（m）＜0，g（m）单调递减；
当m∈（﹣2，1）时，g′（m）＞0，g（m）单调递增；
当m∈（1，+∞）时，g′（m）＜0，g（m）单调递减，
所以g（m）的极小值为，g（m）的极大值为g（1）＝e，
且m→﹣∞时，g（m）→+∞；m→+∞时，g（m）→﹣∞，
所以要使y＝a与y＝﹣em（m2﹣m﹣1）有3个交点，则需．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．
54．（2025春•西昌市期中）已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．3x﹣4y+7＝0 C．3x+2y+1＝0 D．3x﹣4y﹣7＝0
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【分析】令x＝1，可求得f（1）＝﹣1，求导可得，令x＝1，可求得，可求切线方程．
【解答】解：由于f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，
则令x＝1，可得f（1）＝3f（2﹣1）+2×12﹣ln1，
解得f（1）＝﹣1，
由f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，
可得，
令x＝1，可得f′（1）＝3f′（1）•（﹣1）+4﹣1，
解得，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即3x﹣4y﹣7＝0．
故选：D．
【点评】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
55．（2025•南宁模拟）过点A（1，1）的直线l与曲线y＝ln（x﹣1）+2相切于点B，则|AB|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．
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【分析】根据题意先求得点B的坐标，进而得到|AB|．
【解答】解：依题意，设B（x1，y1），由y＝ln（x﹣1）+2，可得，
则，解得x1＝2，
则B（2，2），
可得．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
56．（2025•五华区模拟）若直线l同时与曲线f（x）＝ex+t（t＞1）和曲线g（x）＝tex（t＞1）相切，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[e，+∞） C．[2e，+∞） D．[3e，+∞）
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】设切线l分别切两曲线于（x1，），（x2，），则直线l斜率为k，从而可得k，t＞1，再利用导数，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ex+t（t＞1）和曲线g（x）＝tex（t＞1），
所以f′（x）＝ex，g′（x）＝tex，t＞1，
设切线l分别切两曲线于（x1，），（x2，），
则直线l斜率为k，
所以x1＝lnt+x2，
所以k，t＞1，
设h（t），t＞1，
则h′（t），t＞1，
所以当t∈（1，e）时．h′（t）＜0，h（t）单调递减；
当t∈（e，+∞）时．h′（t）＞0，h（t）单调递增，
所以h（t）≥h（e）＝e，且当t→1与t→+∞时，h（t）→+∞，
所以k＝h（t）∈[e，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的公切线问题，属中档题．
57．（2025•攀枝花模拟）已知A，B分别为曲线y＝ex+x+1和直线y＝2x﹣3上的点，则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】设与直线y＝2x﹣3平行且与曲线y＝ex+x+1相切的直线方程为y＝2x+m，由导数的几何意义可得m的值，再由平行线间的距离公式得解．
【解答】解：设与直线y＝2x﹣3平行且与曲线y＝ex+x+1相切的直线方程为y＝2x+m，
切点为（a，b），
由y＝ex+x+1，可得y′＝ex+1，
则，解得，
易知所求最小值即为直线y＝2x﹣3与直线y＝2x+2之间的距离，即．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
58．（2024秋•运城期末）若两曲线y＝lnx与y＝ax2+1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，2e]
C． D．[2e，+∞）
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，构建函数模型，通过函数思想，即可求解．
【解答】解：设两曲线的公切线切曲线y＝lnx于点（x1，lnx1），切曲线y＝ax2+1于点（x2，1），
又（lnx）′，（ax2+1）′＝2ax，
∴则y＝lnx在（x1，lnx1）处的切线方程为：
，
∴根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，x1＞0，
设g（x）＝x2（2﹣lnx），x＞0，
∴g′（x）＝x（3﹣2lnx），x＞0，
∴令g′（x）＝0，可得x，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）的最大值为g（），
∴，a＞0，∴，
∴正实数a的取值范围为[，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的公切线问题的求解，函数思想，属中档题．
59．（2025•浙江模拟）已知函数f（x）＝x2+2x和g（x）＝﹣x2+a，如果直线l同时是f（x）和g（x）的切线，称l是f（x）和g（x）的公切线，若f（x）和g（x）有且仅有一条公切线，则a＝ ．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】假设切点坐标，利用导数的几何意义可利用x1，x2分别表示出l的方程，由l为公切线可确定方程组，化为一元二次方程后，利用Δ＝0可求得a．
【解答】解：因为f（x）＝x2+2x，g（x）＝﹣x2+a，
所以f′（x）＝2x+2，g′（x）＝﹣2x，
设l与f（x），g（x）分别切于，，
所以l的方程为或，
即l的方程为或，
所以，则，
所以Δ＝4﹣8（1+a）＝0，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的公切线问题，属中档题．
60．（2025•章丘区模拟）若曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切线，则的最小值为 2 ．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有
【分析】根据导数的几何意义可得曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线方程，再根据导数的几何意义求出前者与后者的切点坐标后可得a+b＝2，利用“1”的妙用可得最小值．
【解答】解：因为y＝ex﹣a（a＞0）与y＝ln（x+b）的导数分别为y′＝ex，y′，
因为曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线的斜率为e0＝1，
所以y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线方程为y＝x﹣0+e0﹣a，即为y＝x+1﹣a，
设该直线与曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切点坐标为（m，ln（m+b）），
则，所以m＝1﹣b，
所以切点坐标为（1﹣b，0），
又切点在直线y＝x+1﹣a上，所以0＝1﹣b+1﹣a，
所以a+b＝2，
所以，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，基本不等式的应用，属中档题．
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$$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳
【导数及其应用专项练习】
总览
题型梳理
一．瞬时变化率（共1小题）
二．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共3小题）
三．导数与切线的斜率（共1小题）
四．基本初等函数的导数（共8小题）
五．导数的乘法与除法法则（共5小题）
六．简单复合函数的导数（共5小题）
七．利用导数研究函数的单调性（共7小题）
八．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共10小题）
九．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共1小题）
一十．利用导数研究函数的极值（共1小题）
一十一．利用导数求解函数的极值（共1小题）
一十二．由函数的极值求解函数或参数（共1小题）
一十三．利用导数研究函数的最值（共2小题）
一十四．利用导数求解函数的最值（共2小题）
一十五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共4小题）
一十六．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共8小题）
【知识总览】
1.瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
2.含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
3.导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
4.基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
5.利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
6.由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
7.利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
8.利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
9.利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
10.利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
题型分类
知识讲解与常考题型
一．瞬时变化率（共1小题）
1．（2025春•重庆期中）某物体运动时，位移s（米）与时间t（秒）之间的关系式为：s＝f（t），且，则该物体在2秒末的瞬时速度为（ ）
A．1米/秒 B．2米/秒 C．4米/秒 D．无法确定
二．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共3小题）
2．（2025•江苏校级三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
3．（2025春•武汉期中）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
4．（2025春•孝感期中）已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1），求（ ）
A．lna B． C． D．
三．导数与切线的斜率（共1小题）
5．（2025•莆田二模）曲线y＝xex﹣x在点P处切线的斜率为﹣1，则P的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C．（1，e﹣1） D．（1，2e﹣1）
四．基本初等函数的导数（共8小题）
6．（2025•白银三模）若函数f（x）的导函数f′（x）为偶函数，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．f（x）＝cosx B．f（x）＝x3+x2
C． D．f（x）＝x3+2x﹣3
7．（2025春•德州期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）＝2f′（1）lnx+x2，则f′（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．（2025春•浙江期中）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，f（﹣x+1）+g（x+1）＝f（x+2）﹣g（x）＝1，且f（x）满足f′（x+1）+f′（﹣x+1）＝0，g（1）＝﹣1，则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026
9．（2025•沧州模拟）已知函数y＝f（x）的高阶导数为y＝f（n）（x），即对函数f（x）连续求n阶导数．例如f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，f″（x）＝﹣sinx，f‴（x）＝﹣cosx，f（4）（x）＝sinx，f（5）（x）＝cosx，…．若f（x）＝g（x）h（x），则f（10）（x）的展开式中g（4）（x）h（6）（x）的系数是（ ）
A．210 B．255 C．280 D．360
10．（2025春•洛阳月考）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＝2x，且，则g′（2）＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2025春•建邺区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，g（2x）＝f（2x）+f（4﹣2x）是奇函数，g（x）的导函数为g′（x），且，则g（5）+g（12）+g′（10）＝（ ）
A． B． C． D．2
12．（2024秋•芜湖校级期末）已知函数f（x）（f（x）不恒为零），其中f′（x）为f（x）的导函数，对于任意的x，y∈R满足f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且f（1）＝2，f（2）＝0则（ ）
A．f（0）＝2
B．f（x）是偶函数
C．f′（x+1）关于点（2，0）对称
D．
13．（2025•合肥模拟）已知可导函数f（x）的定义域为R，且有f（x）﹣f（4﹣x）＝4x﹣8，设g（x）是f（x）的导函数，若g（x+1）为偶函数，则g（2k+1）＝（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
五．导数的乘法与除法法则（共5小题）
14．（2024春•鞍山期中）函数f（x）＝xsinx+cosx的导数f′（x）的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2020秋•绥滨县校级期末）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）
（多选）16．（2025春•芗城区校级期中）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）＝2，则
B．已知函数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
17．（2024春•昆山市期末）“指数找基友”是高中导数的重要思想，如[exf（x）]＝ex（f（x）+f'（x））和，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在R上的可导函数f（x）和g（x）满足以下关系：f'（x）＝g（x），g'（x）＝f（x），f（x）+f（﹣x）＝0，g（0）＝1，则f（x）＝ ，g（x）＝ ．
18．（2020•湖北模拟）已知函数f（x）＝xsinx+cosx，g（x）．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上零点的个数；
（2）设函数g（x）在区间（0，3π）上的极值点从小到大分别为x1，x2，…，xn，证明g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＜0成立．
六．简单复合函数的导数（共5小题）
19．（2025•昌黎县校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为f′（x），则f′（2025）等于（ ）
A． B．0 C． D．1
20．（2025春•青山湖区校级期中）已知函数f（x）＝esinx﹣3f′（0）x，其中f′（x）是f（x）的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
21．（2025春•邗江区校级月考）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
22．（2025春•常州校级月考）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（ ）
A．8 B．1 C．0 D．﹣8
23．（2025•辽宁一模）对任意x，y∈R，都有f（x+y）f（x﹣y）＝f′（x）﹣f′（y），且f（y）不恒为0，函数g（x）f（x），则g（2）+g（﹣2）＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
七．利用导数研究函数的单调性（共7小题）
24．（2025春•重庆期中）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有f′（x）＞2f（x），若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）
25．（2025春•盐城期中）设函数f（x）＝（ax﹣1）（b+lnx），若f（x）≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
26．（2025•天河区校级模拟）已知正实数a，b满足a﹣2lna＝2lnb﹣4b+4，则logab＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．
27．（2025•厦门模拟）已知集合，B＝{x|x2﹣x＜0}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，e2]
28．（2025春•历下区校级期中）设O为坐标原点，若曲线y＝x2+4和曲线y＝alnx（a＞0）上分别存在A，B两点，使得∠AOB＝45°，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．（2025•邵阳模拟）已知a，b∈R，若关于x的不等式xex﹣bx﹣aex+ab≥0恒成立，则的最大值为（ ）
A．e B．2 C．1 D．e2
30．（2025•芜湖二模）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设，证明：f（x）+g（x）≥0．
八．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共10小题）
31．（2025•菏泽三模）已知函数在R上单调递增，则b﹣a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
32．（2025春•三明期中）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的实数x都有f′（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣2m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2025春•济南月考）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（x＞0，a∈R）在区间（1，2）上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C．（﹣∞，2e2） D．（﹣∞，2e2]
34．（2025•鼓楼区校级模拟）设，则（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
35．（2025春•武汉期中）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x+1），f（0）＝2，则不等式f（x）＜8ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
36．（2025春•厦门期中）函数f（x）＝xln（2x）的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
37．（2025春•高邮市期中）设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣3ax+3a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2025•济南模拟）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）记f（x）的极小值为g（a），证明：g（a）≤ea﹣1．
39．（2025•江苏校级三模）已知函数f（x）＝m（x2+2x）﹣lnxex，（m∈R），．
（1）求函数g（x）在x＝0处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）单调性；
（3）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．
40．（2025春•北京校级期中）设函数f（x）＝emx+x2﹣mx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
九．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共1小题）
41．（2025春•石家庄期中）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx，m∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若4＜m＜5，且f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
一十．利用导数研究函数的极值（共1小题）
42．（2025•河南模拟）若函数f（x）＝x（a﹣ex）在区间（0，+∞）上有极大值m，则m﹣a的最小值是（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
一十一．利用导数求解函数的极值（共1小题）
43．（2025•咸阳三模）已知函数f（x）＝2bex+2xex﹣ax﹣ab，a∈R，b∈R．
（1）当a＝0时，函数f（x）在x＝e﹣1处取得极值，求实数b的值；
（2）当f（x）≥0恒成立时，求a（b+1）的最大值；
（3）在（1）的条件下，证明：当t＞e2时，t（et﹣lnt）＞b（t﹣et）．
一十二．由函数的极值求解函数或参数（共1小题）
44．（2025春•如皋市期中）已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
一十三．利用导数研究函数的最值（共2小题）
45．（2025•重庆校级模拟）函数f（x）＝（a﹣x）lnx+bx﹣ab，若f（x）≤0恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
46．（2025•辽宁模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣kx+1（k∈R）．
（1）当k＝1时，求f（x）的零点；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：．
一十四．利用导数求解函数的最值（共2小题）
47．（2025•黄冈二模）已知函数．
（1）若a＝0，求f（x）在的值域；
（2）证明：f（x）存在唯一的极值点x0，且；
（3）若f（x）≥1恒成立，证明：．
48．（2025春•北京校级期中）已知函数f（x）＝eax+1ln（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＝﹣1时，求证：f（x）有最大值；
（3）证明：当a＜0时，对任意m＞0，都存在正整数x0，使得0＜f（x0）＜m．
一十五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共4小题）
49．（2025春•辽宁期中）若函数的图象与函数g（x）＝txex的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数t＝（ ）
A． B．e2 C．或 D．或
50．（2025春•思明区校级期中）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
51．（2025春•菏泽期中）可与曲线y＝ex+1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x+ey+7＝0 B．ex+y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
52．（2025•辽宁模拟）曲线y＝ex与曲线的公切线方程为 ．
一十六．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共8小题）
53．（2025•江苏校级三模）过点（1，0）可以做三条直线与曲线f（x）＝ex+lnx﹣t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．（2025春•西昌市期中）已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．3x﹣4y+7＝0 C．3x+2y+1＝0 D．3x﹣4y﹣7＝0
55．（2025•南宁模拟）过点A（1，1）的直线l与曲线y＝ln（x﹣1）+2相切于点B，则|AB|＝（ ）
A．1 B． C．2 D．
56．（2025•五华区模拟）若直线l同时与曲线f（x）＝ex+t（t＞1）和曲线g（x）＝tex（t＞1）相切，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[e，+∞） C．[2e，+∞） D．[3e，+∞）
57．（2025•攀枝花模拟）已知A，B分别为曲线y＝ex+x+1和直线y＝2x﹣3上的点，则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
58．（2024秋•运城期末）若两曲线y＝lnx与y＝ax2+1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，2e]
C． D．[2e，+∞）
59．（2025•浙江模拟）已知函数f（x）＝x2+2x和g（x）＝﹣x2+a，如果直线l同时是f（x）和g（x）的切线，称l是f（x）和g（x）的公切线，若f（x）和g（x）有且仅有一条公切线，则a＝ ．
60．（2025•章丘区模拟）若曲线y＝ex﹣a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝ln（x+b）（b＞0）的切线，则的最小值为 ．
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