精品解析：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：D. 2. 下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ） A. 人的身高与受教育的程度 B. 人的体重与眼睛的近视程度 C. 企业员工的工号与工资 D. 儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关关系的定义判断即可. 【详解】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误. 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确. 故选：D 3. 两平行直线和之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 4. 先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，先求解基本事件总数，然后再分别列出满足三角形为等腰三角形的情况，然后按照古典概型的计算方法进行计算即可. 【详解】由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为， 当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况； 当时，时，符合要求，有种情况； 所以能够构成等腰三角形的共有种情况，因此所求概率为：. 故选：C. 5. 以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径. 【详解】由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数周期性及奇偶性可得，由周期性可得，据此可得答案. 【详解】由函数的周期为4，有.又由函数奇函数， 有.可得，故， 又由，可得. 故选：D. 7. 已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量定义以及已知条件直接计算即可求解. 【详解】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是： . 故选：B. 8. 甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式和独立重复试验的概率公式计算． 【详解】由题意知，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为．若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率． 由上知乙战胜甲的概率为：． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误， 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误， 对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确 对于D，向量的模为，故D正确， 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则的可能取值为6 B. 已知，则的可能取值为7 C. 在的二项展开式中，常数项是45 D. 在的二项展开式中，常数项是210 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，根据得到方程，求出AB正确；CD选项，利用展开式的通项公式得到，C正确，D错误. 【详解】因为，故或，解得或，故A，B正确； 根据二项展开式的通项公式， 令，解得，则，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 满足为等腰三角形的点有2个 C. 若，则的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出椭圆方程，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，即可判断A，根据的范围判断B，利用余弦定理及椭圆的定义求出焦点三角形的面积，即可判断C，根据焦点弦的性质判断D. 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图： 由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，复数，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法及乘方运算化简复数，从而得到其共轭复数，再代入计算可得； 【详解】解：因为 所以，所以， 所以 故答案为： 13. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中， 所以不同的排队方法种数为（种）． 故答案为：. 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可. 【详解】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求和的值． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可； （2）由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 故； 【小问2详解】 由（1）已得， 所以，. 即，. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点， 则，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则， 以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的大小； （2）若，，求周长的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理边化角，再由两角和正弦公式即可进一步求出角B. （2）先由确定角B，然后用正弦定理边化角得，再利用和三角恒等变换公式化为一角一函数，接着利用三角函数的有界性即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. 【小问2详解】 若，则, 所以由（1），又， 所以由正弦定理得， 所以 ， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 18. 有三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.6，引种树苗，的自然成活率均为. （1）任取树苗，，各一株，设自然成活的株数为，求的分布列及； （2）将（1）中的取得最小值时的的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种株种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.5，其余的树苗不能成活. ①求一株种树苗最终成活的概率； ②若每株树苗引种最终成活后可获利400元，不成活的每株亏损60元，该农户为了获利不低于30万元，应至少引种种树苗多少株? 【答案】（1）分布列见解析，期望为； （2）①0.76；②1036株. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答. （2）①利用（1）的结论求出p，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率作答； ②利用二项分布的期望公式，结合期望的性质求出获利的期望，列出不等式求解作答. 【小问1详解】 依题意，的所有可能值为0，1，2，3， 则， ， ，， 由此得的分布列如下表： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 因为，由（1）知，则当时，取得最小值， ①一株种树苗最终成活的概率为； ②记为株种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则. ， ， 要使，即，解得，而，则 ， 所以该农户应至少种植1036株种树苗，就可获利不低于30万元. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程; （2）已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出焦点到渐近线的距离,再利用渐近线的斜率为,写出双曲线方程即可; （2）设出直线方程和两点坐标,联立方程组写出坐标,根据三点共线,得出和直线参数之间的关系,解出参数,将参数代入直线可看出直线过定点. 【小问1详解】 解:由题知设右焦点F的坐标为, 双曲线C的渐近线方程为, 右焦点F到其中一条渐近线的距离为, 可得, 又由, 可得, 有, 故双曲线C的标准方程为; 【小问2详解】 证明:由（1）知,双曲线C的方程为,右焦点, 因直线l与x轴不垂直且斜率不为0, 设直线l与x轴交于点, 直线l的方程为, 设,则, 由 消去并整理得, 显然有且, 化简得且, 则, , 而三点共线,即, 则, 因此, 又,有, 整理得, 于是得 , 化简得, 即直线过定点, 所以直线l经过x轴上的一个定点． 【点睛】(1)焦点到渐近线的距离为; (2)设直线方程联立方程组,(注意斜率存在不存在,是否为0这些特殊情况,本题已说明,所以不需要考虑);设点坐标,判别式大于0;三点共线问题采用向量,得到关于直线参数的式子即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ） A. 人的身高与受教育的程度 B. 人的体重与眼睛的近视程度 C. 企业员工的工号与工资 D. 儿子的身高与父亲的身高 3. 两平行直线和之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则的可能取值为6 B. 已知，则的可能取值为7 C. 在的二项展开式中，常数项是45 D. 在的二项展开式中，常数项是210 11. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 满足为等腰三角形的点有2个 C. 若，则的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，复数，则________． 13. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答） 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）求和的值． 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的大小； （2）若，，求周长的取值范围. 18. 有三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.6，引种树苗，的自然成活率均为. （1）任取树苗，，各一株，设自然成活的株数为，求的分布列及； （2）将（1）中的取得最小值时的的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种株种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.5，其余的树苗不能成活. ①求一株种树苗最终成活的概率； ②若每株树苗引种最终成活后可获利400元，不成活的每株亏损60元，该农户为了获利不低于30万元，应至少引种种树苗多少株? 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程; （2）已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $