精品解析：山东省淄博第十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年淄博市十一中高一下学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号等填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号等，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 一、单选题 1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ） A. 1 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 B. 若，则 C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或 D. 若，则与的夹角是钝角 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则正确的是（ ） A. 对任意正整数n，为偶函数 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，的值域是 D. 对任意正整数n，的图象都关于直线对称 二、多选题 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题 12. 设z为复数，若=1，则最大值为__________. 13. 若非零向量满足，则夹角的余弦值为________． 14. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 四、解答题 15. 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 16. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求. 18. 如图，平面四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC面积； （2）求的值； （3）求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年淄博市十一中高一下学期期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号等填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号等，并将条形码粘贴在指定位置上. 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 一、单选题 1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化简，再根据模长的运算公式以及性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式计算即得. 【详解】. 故选：B 3. 已知向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 4. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得，进而可外接圆半径与面积. 【详解】由正弦定理得，， 解得，故， 则， 故所求外接圆的面积为， 故选：B. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 B. 若，则 C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底定义判断A；举例说明判断B；求得与垂直的单位向量坐标判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】选项A，，即，向量不能作为平面内所有向量的一组基底，A错误； 对于B，当时，不共线，也满足，B错误； 对于C，设与垂直的向量，则，取，得， 因此与垂直的单位向量为，其坐标为或，C正确； 对于D，由，得与的夹角是钝角或平角，D错误. 故选：C 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 7. 若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 8. 已知函数，则正确的是（ ） A. 对任意正整数n，为偶函数 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，的值域是 D. 对任意正整数n，的图象都关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用特值法可判断A的正误；利用整体法求出对应函数的增区间后可判断B的正误；根据三角变换公式结合余弦函数的性质可判断C的正误；根据可判断D的正误. 【详解】对于A，当时，， 故， 故此时不是偶函数，故A错误； 对于B，由A的分析可得， 令，解得， 故的增区间为，其中，故B错误； 对于C，时，， 故， 因为，故即的值域是，故C错误； 对于D，， 故对任意正整数n，的图象都关于直线对称，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设复数，利用共轭复数、模长定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可. 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 则在方向上的投影向量为，D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 13. 若非零向量满足，则夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由，，得，则， 因此， 所以夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值． 【详解】设，， 由于， 在和中应用余弦定理可得： ，整理可得：， 结合勾股定理可得的面积： ， 当且仅当时等号成立． 则面积的最大值为24． 故答案为：24. 四、解答题 15. 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【小问1详解】 由题设，， 所以，当时的最小值为. 【小问2详解】 由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则 16. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出，再由过点求出，代入求A，即可得出函数解析式； （2）根据图象平移得出解析式，利用三角恒等变换化简，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可. 【小问1详解】 由图象过与知为函数的对称轴， 所以，即， 所以， 又函数图象经过，所以，即， 又，所以， 因为图象过点，所以，解得， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 的图象向左平移个单位长度可得， 得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到， 所以 ， 当，即时，有最大值， 此时. 18. 如图，在平面四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由同角三角函数的基本关系求出，再在中由锐角三角函数定义求出，再由三角形的面积公式即可求得； （2）由题中条件得，在和中，由正弦定理及积化和差公式求出，最后由求得. 【小问1详解】 ，， 所以， 在中，， ， 的面积. 【小问2详解】 ，， ， ， 在中，，， 在中，由正弦定理有， 即， 由积化和差公式有， ， 将此结果代入式中化简可得：， 解得（舍负）， . 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【小问1详解】 由余弦定理 结合可知，△ABC的面积 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理， 所以，① 由于， 带入①式可知： 【小问3详解】 解法1： 设BC中点为D，则 所以 如下图所示， 设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故 设，则，由余弦定理： 由于函数在时单调递减，， 所以 解法2： 由余弦定理② 由定义 所以 设， 则 由正弦定理： 其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知 注意到， 所以 所以，②式变形为，故 从而， 此时函数单调递减，而， 所以 【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$