第八章《立体几何初步》章末综合质量检测（能力提升）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章《立体几何初步》章末综合质量检测（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C B A D C C BC ACD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 正三棱锥的每个面都是正三角形 B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【解析】C 对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 2. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得， 则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 3. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【解析】C 在直观图中，，，取中点，连接， 则，而，于是， 则，，， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，所以. 4. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 【解析】B 对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，,,,或异面，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 5. 在直三棱柱中，，过点C作直线与和所成的角均为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】A因为//，则为异面直线和所成的角， 由题意可得：，则， 过点作直线的平行线，则与的角平分线重合时，取得最小值． 6. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 【解析】D连接交于,连接, ∥平面,平面 平面平面, ∥, 故: ① 又∥,为的中点, ② 由①②可得: 7. 已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（    ） A. B. C. D. 【解析】C 取的中点为，连接，如下图所示： 因为是棱的中点，所以由长方体性质可得， 所以四点共面， 根据长方体性质，与相似，相似比为，且平面平面， 所以交于同一点， 所以长方体被平面割成的体积较小部分为三棱台， 设长方体的各棱长为，则长方体的体积为， 再由棱台体积公式可得 ， 较大部分的体积为； 所以体积较大部分与体积较小部分的体积之比为. 8. 如图，在菱形中，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中错误的是（ ） A. B. 不存在某个位置，使得//平面 C. 存在某个位置，使得 D. 与的夹角为 【解析】C设，对于A：因为四边形为菱形，， 所以，则是等边三角形， 又因为为中点，所以，即， 因为，又因为，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 对于B：连接，，设交，连接，当//平面时， 平面，平面，所以//， 因为为的中点，所以为的中点，又//，所以∽， 所以，矛盾，所以不存在某个位置，使得//平面，故B正确； 对于D：取的中点，连接，， 则//，则（或补角）就是与所成的角， 又//，，所以四边形为平行四边形，所以//， 所以，因为平面，平面，所以， ，，所以， 所以， 所以， 因为，所以，则与所成角为，故D正确； 对于C，连接，若，则，又， 所以，在中，，所以， 又，则，矛盾，故不存在某个位置，使得，故C错误. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示三个不同平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】BC 对于A，若，，则可能相交，A选项错误. 对于B，若，，则，B选项正确. 对于C，若，，则，C选项正确. 对于D，若，，则可能相交，D选项错误. 10. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ） A. 该圆台轴截面面积为； B. 与的夹角60°； C. 该圆台的体积为； D. 沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为5cm. 【解析】ACD 对于A，由，且，得， 圆台高为， ∴圆台轴截面面积为，故A正确； 对于B，由已知及题图知，且， ∴，与的夹角120°，故B错误； 对于C，圆台的体积，故C正确； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中，且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形，且， ∵， ∴在中，， 即到中点的最短距离为5cm，故D正确. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4 【解析】ABD A： 当与重合时，由题可知，， 四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确； B： 连接，平面，平面，， 又， 故， 又平面，平面， 又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确； C： 由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误； D： 由正方体的特征可得， ， 所以点到直线的距离，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为__________． 【解析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________. 【解析】如图，连接，过D作平行线，交于E点，连接DE. 又//，则四边形为平行四边形. 又由题，，，则. 又，，则. 则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为. 则由棱台体积公式，棱台体积为：. 14. 已知三棱锥四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______. 【解析】由题意可知，三棱锥的四个面是全等的等腰三角形， 且，如图①所示， 则有， 把三棱锥扩成长方体， 则有， 解得， 则长方体外接球半径， 所以三棱锥的外接球半径； 点为三棱锥的外接球球面上一动点， 当时，如图③所示， 所以为等腰三角形， 所以 故动点的轨迹是半径为的圆，轨迹长度为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面 （1）证明：为的中点； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又底面为平行四边形，所以为的中点， 所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 16. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小. 【解析】（1）连接与相交于点，如下图所示 在直棱柱中，平面平面， ， 又，平面， 所以，平面， 又平面， ，四边形为菱形，即 又，且平面， 平面，又平面， . （2）取的中点，连接.如下图所示； ， 又平面平面， 又，且平面， 平面， 是在面内的射影，是与平面所成角的平面角. 在中，易知， ， 即与平面所成的角的大小为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【解析】（1）在直三棱柱中 底面，底面,． 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面； （2）证明：取的中点，连接，． ，，分别是，，的中点， ，且，． ，且，，且， 四边形为平行四边形， ,平面,平面，所以平面， 取中点，连接，，则， 平面,平面，所以平面， 平面， 故平面平面． 在棱上存在中点，使得平面平面． （3），，，． 三棱锥为： ． 18. 在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点． （1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； （2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【解析】（1）在图（1）中，，四边形是正方形， 在图（2）中，，，，平面， 平面， 分别取的中点为,，连接, 则,平面,平面, 所以平面， 同理平面，由于平面， 故平面平面， 平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形， 由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角， 故， 由于 ， 因此 ， 故点F的轨迹长度为 （2）在线段取点使得 由于平面，平面， ， ，， ， 易得，， 从而有，则 则 19. 如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示. （1）求证：AD⊥CG； （2）若AH⊥CD，试求直线CH与平面ABCD所成角的正弦值； （3）若二面角的大小为，M是线段CG上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由 【解析】（1）如图，连接EC交AD于N，则N为CE的中点， 由正六边形的性质，⊥，可知AD⊥NG，AD⊥NC， 因为，NG，平面GNC. 故AD⊥平面GNC. 而平面GNC，所以AD⊥CG. （2）如图，连接AC，在正六边形中， ， 故， 又，， 则有， 即AC⊥CD，又因AH⊥CD，故CD⊥平面AHC， 连接FD，同理AF⊥FD，即AH⊥HD，即有AH⊥平面CDH. 所以AH⊥CH. 因为，，所以， 设点到平面的距离为， 由，有， 解得. 设CH与平面ABCD所成的角为，则. 所以CH与平面ABCD所成角的正弦值为. （3）由（1）知AD⊥平面GNC， 所以∠GNC就是二面角的平面角，即， 过M作⊥NC，垂足为点，过M作，垂足为点. 因为AD⊥平面GNC，平面GNC， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面ABCD，平面ADGH， 设梯形的面积为，梯形的面积为， 所以 在△GNC中，，， 所以，， 得. 故. 即四棱锥M-ABCD与四棱锥M-ADGH的体积之和是定值. ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章《立体几何初步》章末综合质量检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 正三棱锥的每个面都是正三角形 B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 5. 在直三棱柱中，，过点C作直线与和所成的角均为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 7. 已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中错误的是（ ） A. B. 不存在某个位置，使得//平面 C. 存在某个位置，使得 D. 与的夹角为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示三个不同平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ） A. 该圆台轴截面面积为； B. 与的夹角60°； C. 该圆台的体积为； D. 沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为5cm. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为__________． 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________. 14. 已知三棱锥四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面 （1）证明：为的中点； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 16. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面； （3）求三棱锥的体积． 18. 在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点． （1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； （2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 19. 如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH，CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示. （1）求证：AD⊥CG； （2）若AH⊥CD，试求直线CH与平面ABCD所成角的正弦值； （3）若二面角的大小为，M是线段CG上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由 ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$