专题5 期末复习题题组——不等式（组）的实际应用（35题）2024-2025学年人教版七年级数学下册 （高效学习）

专题5 期末复习题题组——不等式（组）的实际应用（35题） （原卷版） 目录 类型一 得分问题 1 类型二 分配问题 2 类型三 销售、购买问题 3 类型四 运输问题 5 类型五 租车问题 6 类型六 分段计费问题 8 类型七 方案问题 9 类型八 其他问题 12 类型一 得分问题 1．（2025二道区校级模拟）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分、小强有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？ 2．（2025开原市一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． （1）在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； （2）如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 3．某校举行消防安全知识竞赛，竞赛试卷有选择和填空两种题型，共道，选择题每题分，填空题每题分，满分分． (1)求选择题和填空题各有多少道？ (2)竞赛规定，答对一道选择题得分，答对一道填空题得分，答错或不答一道题扣分、在这次竞赛中，小红填空题全部正确，被评为优秀（分或分以上），小红至少答对了几道选择题？ 4．（2025龙岩模拟）为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分． （1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？ （2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？ 类型二 分配问题 5．（2025春天长市期中）实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，求参加研学的学生人数． 6．（2025春莲湖区校级期中）为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 7．学校为家远的学生安排住宿，现有房间若干间，若每间住5人，还剰14人安排不下，若每间住7人，则有一间不满也不空，问学校可能有多少房间安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 8．一幢学生宿舍楼有一些空房间，现要安排一批学生入住．若每间住4人，则有20人无法入住；若每间住8人，则有1间房间还剩余一些空床位． （1）求空房间的间数和这批学生的人数； （2）这批学生入住后，男生房间的间数恰好是女生房间间数的2倍，每间房间都有8个床位，每间女生房间都空出数量相同的床位，问：男女学生各多少人？ 类型三 销售、购买问题 9．（2025陵川县一模）【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． （1）求购买三类球各多少个． （2）学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 10．（2025龙华区二模）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元． （1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？ （2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？ 11．（2025春新郑市期中）近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花、簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，她挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 12．（2025万柏林区一模）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表： 型号 数量（台） 进价（元/台） A 10 150元 B 5 350元 为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润＝售价﹣进价） 13．（2025灞桥区校级模拟）为了抓住五一旅游黄金时间，某设计公司打算用3万元购进一台机器，生产印有西安大雁塔，大唐芙蓉园等标志性logo的文化衫，在各大旅游景点销售．已知产品的成本是每个6元，售价是每个10元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每天能生产、销售2000个产品，那么至少几天后这个公司开始盈利？ 14．（2025春怀宁县期中）教室护眼灯是目前性价比较高的LED灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 （1）若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ （2）若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ （3）在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 类型四 运输问题 15．（2025春雁塔区校级月考）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．怎样调运蔬菜才能使运费最少？最少的总费用是多少？ 16．红星运输公司要将800吨“新疆棉花”从仓储中心运往某纺织厂．现有A、B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每辆可装30吨，B型车每辆可装25吨．现公司已确定调用12辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把800吨棉花一次性运完，至少需要调用B型车多少辆？ 17．（2024黑龙江二模）某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 第一次 第二次 大货车的车辆数（辆） 2 5 小货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货台数（台） 21 48 （1）求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ （2）该公司现计划再租用大、小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15750元，请你列出所有货车租用方案． （3）在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 18．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 类型五 租车问题 19．（2025春嵩县期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如下表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． （1）最多能租用多少辆A型号客车？ （2）若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 20．某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 21．（2025坪山区二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；B校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 类型六 分段计费问题 22．（2024秋萍乡期末）下表是中国移动两种“5G优惠套餐”的计费方式． 套餐A 套餐B 每月基本服务费 38元（包含通话时间100分钟，上网流量8G） 59元（包含通话时间300分钟，上网流量10G） 套餐外通话 0.15元/分 0.1元/分 不足一分钟按一分钟计算 套餐外流量 5元/G，不足1G时按1G计算 （1）若小丽的妈妈某月通话时间为320分钟，上网流量为5G，则她的妈妈按套餐A计费需付　　 元，按套餐B计费需付　　 元； （2）小丽某月上网流量不超过8G，通话时间不超过300分钟，当通话时间为　 　 分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同； （3）若小丽每月通话时间不超过100分钟，上网流量为aG（9＜a≤11），那么小丽选择哪种套餐更优惠？ 23．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0＜x≤200 a 200＜x≤400 b x＞400 0.92 （1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值． （2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？ 24．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 0＜x≤180 a 二档 180＜x≤280 b 三档 x＞280 0.82 （1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； （2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 类型七 方案问题 25．（2025春南山区期中）新学年，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下： 羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球． （1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费　 　 元． （2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）． （3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？ 26．（2025成都模拟）发奋识遍天下字，立志读尽人间书.2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 27．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 28．（2025春九龙坡区月考）某科技公司训练DeepSeek AI模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据集包含800个字符，图片数据每一个数据集包含200张图片．处理一个文本数据集需要3秒，处理一个图片数据集需要2秒． （1）某次训练任务中，AI总共处理了50个数据集，且处理的总字符数比总图片数多16000．求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？ （2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理100个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过221秒．求有哪几种处理方案？ 29．（2025开福区校级模拟）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里!”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 30．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 31．（2025普宁市一模）2025年春晚名为《秧BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 32．（2025春永寿县校级期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． （1）学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ （2）甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 类型八 其他问题 33．（2025庐江县模拟）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A 3 5 B 5 9 已知农作物种植人员共40位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金不超过68万元，问：A种农作物的种植面积最少是多少公顷？ 34．（2025成都模拟）2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本、提高分拣准确性对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，发现每台机器人和每个人1小时分拣快递量如下表： 每台机器人 每人 合计（件） 1小时分拣快递量/件 5x+10 x 730 （1）分别求每个人和每台机器人1小时分拣快递的数量； （2）若该快递公司每天需要使用机器人分拣10万件快递，一台机器人每天的工作时间为15小时，则至少需要购买多少台机器人才能满足快递公司的需求？ 35．（2025春市南区校级期中）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人800元．经协商，甲旅行社可给每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其他游客八折．该单位计算后发现选择乙旅行社比较划算，请问该单位可能有多少名员工参加这次旅游？（请用不等式的知识予以解答） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 期末复习题题组——不等式（组）的实际应用（35题） （解析版） 目录 类型一 得分问题 1 类型二 分配问题 3 类型三 销售、购买问题 5 类型四 运输问题 8 类型五 租车问题 11 类型六 分段计费问题 13 类型七 方案问题 16 类型八 其他问题 23 类型一 得分问题 1．（2025二道区校级模拟）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分、小强有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？ 【解答】解：设小强答对了x道题，则答错了（20﹣2﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为14． 答：他至少要答对14道题，总分才不会低于60分． 2．（2025开原市一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． （1）在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； （2）如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【解答】解：（1）设小明答对x道题，则答错或不答（25﹣x）道题， 根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝60， 解得：x＝17． 答：小明答对了17道题； （2）设小明答对y道题，则答错或不答（25﹣y）道题， 根据题意得：4y﹣（25﹣y）＞90， 解得：y＞23， ∵y为正整数， ∴y的最小值为24． 答：他至少需要答对24道题． 3．某校举行消防安全知识竞赛，竞赛试卷有选择和填空两种题型，共道，选择题每题分，填空题每题分，满分分． (1)求选择题和填空题各有多少道？ (2)竞赛规定，答对一道选择题得分，答对一道填空题得分，答错或不答一道题扣分、在这次竞赛中，小红填空题全部正确，被评为优秀（分或分以上），小红至少答对了几道选择题？ 【解答】（1）解：设选择题和填空题分别为道，道，依题意，得，解得， ∴竞赛试卷有选择题道，填空题有道． （2）解：设答对选择题道，则答错或不答的选择题为道，依题意，得，解不等式得， ∵为正整数， ∴， ∴小星答对选择题至少道． 4．（2025龙岩模拟）为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分． （1）A班球队在某场比赛中，上半场共投中12个球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？ （2）A班球队预想在下半场比赛中投中12个球，若在没有罚球的情况下，且下半场所得总分不少于29分，则该班级下半场比赛中至少投中多少个3分球？ 【解答】解：（1）设该球队上半场比赛罚球得分是x分，则投中3分球的得分是（23﹣2×5﹣x）分， 根据题意得：x+512， 解得：x＝4． 答：该球队上半场比赛罚球得分是4分； （2）设该班级下半场比赛中投中y个3分球，则投中（12﹣y）个2分球， 根据题意得：3y+2（12﹣y）≥29， 解得：y≥5， ∴y的最小值为5． 答：该班级下半场比赛中至少投中5个3分球． 类型二 分配问题 5．（2025春天长市期中）实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，求参加研学的学生人数． 【解答】解：设共有x间宿舍，则参加研学的学生人数为（8x+120）人， 根据题意得：， 解得：60＜x＜65， ∴600＜8x+120＜640， 又∵报名人数超过630人，且x为正整数， ∴x＝64， ∴8x+120＝8×64+120＝632（人）． 答：参加研学的学生人数为632人． 6．（2025春莲湖区校级期中）为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分2本，还剩48本；如果前面每人分3本，那么最后一名学生得到的图书少于3本（但至少分得1本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【解答】解：设八年级（1）班有x名学生，则这批图书有（2x+48）本， 由题意得：， 解得：48＜x≤50， ∴八年级（1）班最少有49名学生，最多有50名学生， 答：八年级（1）班最多有50名学生． 7．学校为家远的学生安排住宿，现有房间若干间，若每间住5人，还剰14人安排不下，若每间住7人，则有一间不满也不空，问学校可能有多少房间安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 【解答】分析：本题须先设宿舍有间，再表示出学生总数，然后根据每间宿舍住7人的情况列出不等式组即可． 详解：设可能有房间x间,则住宿学生的人数为(5x+14)人， 根据题意得： 解得7<x<10.5. 因为x取正整数，所以x取8，9或10. 当x=8时，住宿的人数为54人； 当x=9时，住宿的人数为59人； 当x=10时，住宿的人数为64人. 8．一幢学生宿舍楼有一些空房间，现要安排一批学生入住．若每间住4人，则有20人无法入住；若每间住8人，则有1间房间还剩余一些空床位． （1）求空房间的间数和这批学生的人数； （2）这批学生入住后，男生房间的间数恰好是女生房间间数的2倍，每间房间都有8个床位，每间女生房间都空出数量相同的床位，问：男女学生各多少人？ 【解答】解：（1）设空房间有x间， 根据题意，得：8(x-1)＜4x+20＜8x， 解得：5＜x＜7， ∵x为整数，∴x=6， 这批学生人数为4×6+20=44(人) 答：空房间的间数为6间，这批学生的人数为44人. （2）设女生房间为m间，则男生房间为2m间， 由m+2m=6，得：m=2，2m=4， 又设每间女生房间都空出a个床位，其中a＞0 则44-(8×2-2a)≤8×4，解得：a≤2， ∴0＜a≤2，且a为整数，则a为1或2， ∴当a=1时，女生人数为16-2=14(人)，男生人数为44-14=30(人)； 当a=2时，女生人数为16-4=12(人)，男生人数为44-12=32(人) 类型三 销售、购买问题 9．（2025陵川县一模）【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． （1）求购买三类球各多少个． （2）学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 【解答】解：（1）设购买足球x个，则购买排球x个，篮球（160﹣2x）个， 由题意得：55x+40x+120（160﹣2x）＝10500， 解得：x＝60， ∴160﹣2x＝160﹣2×60＝40， 答：购买足球60个，排球60个，篮球40个； （2）设该校可以购买m个篮球，则购买（40﹣m）个排球， 由题意得：120m+40（40﹣m）≤3000， 解得：m≤17.5， ∵m为正整数， ∴m的最大值为17， 答：该校最多可以购买17个篮球． 10．（2025龙华区二模）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元． （1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？ （2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？ 【解答】解：（1）设甲类科普读物的单价是x元，则乙类科普读物的单价是（x﹣5）元， 由题意得：x+2（x﹣5）＝80， 解得：x＝30， ∴x﹣5＝30﹣5＝25， 答：甲类科普读物的单价是30元，则乙类科普读物的单价是25元； （2）设购买甲类科普读物m本，则购买乙类科普读物（100﹣m）本， 由题意得：30m+25（100﹣m）≤2800， 解得：m≤60， ∴m的最大值为60， 答：甲类科普读物最多可以买60本． 11．（2025春新郑市期中）近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花、簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，她挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 【解答】解：（1）设石榴花的单价是x元，则玫瑰花的单价是y（x+3）元， 根据题意得：16（x+3）+15x＝203， 解得：x＝5， ∴x+3＝5+3＝8（元）． 答：石榴花的单价是5元，玫瑰花的单价是8元； （2）设选m朵玫瑰花，则选（45﹣m）朵石榴花， 根据题意得：8m+5（45﹣m）≤300， 解得：m≤25， ∴m最大值为25． 答：李阿姨最多能选25朵玫瑰花． 12．（2025万柏林区一模）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表： 型号 数量（台） 进价（元/台） A 10 150元 B 5 350元 为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润＝售价﹣进价） 【解答】解：设每台A型家用净水器售价为x元，根据题意可得： 10（x﹣150）+5（2x﹣350）≥1650， 解得：x≥245， 故x的最小值为245， 答：每台A型号家用净水器的售价至少245元． 13．（2025灞桥区校级模拟）为了抓住五一旅游黄金时间，某设计公司打算用3万元购进一台机器，生产印有西安大雁塔，大唐芙蓉园等标志性logo的文化衫，在各大旅游景点销售．已知产品的成本是每个6元，售价是每个10元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每天能生产、销售2000个产品，那么至少几天后这个公司开始盈利？ 【解答】解：已知产品的成本是每个6元，售价是每个10元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每天能生产、销售2000个产品，设x天后这个公司开始盈利， ∴[10×（1﹣10%）﹣6]×2000x≥30000， 解得：x≥5， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 答：至少5天后这个公司开始盈利． 14．（2025春怀宁县期中）教室护眼灯是目前性价比较高的LED灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 （1）若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ （2）若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ （3）在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 【解答】解：（1）设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，则乙种型号护眼灯购进（200﹣x）只， 根据题意得：80x+100（200﹣x）＝17000， 解得：x＝150， ∴200﹣x＝200﹣150＝50， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯150只，乙种型号护眼灯50只； （2）设甲型号护眼灯进m只，则乙种型号护眼灯进（200﹣m）只， ∵学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯， ∴80m+100（200﹣m）≤16800， 解得：m≥160， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只； （3）设甲型号护眼灯进m只，则乙种型号护眼灯进（200﹣m）只， ∵盈利不低于4250元， ∴（80﹣60）m+（100﹣75）（200﹣m）≥4250， 解得：m≤150， 即学校从商场购进甲种型号护眼灯至多150只，商场才可以盈利不低于4250元， 由（2）知学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只， ∴该商场销售给学校这200只护眼灯后不能实现盈利不低于4250元的目标． 类型四 运输问题 15．（2025春雁塔区校级月考）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．怎样调运蔬菜才能使运费最少？最少的总费用是多少？ 【解答】解：设总运费为W元，A地运往甲地x吨，则A地运往乙地（14﹣x）吨，B地运往甲地（15﹣x）吨，B地运往乙地（x﹣1）吨，由题意，得 W＝50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1）， ＝5x+1275． ∴k＝5＞0， ∴W随x的增大而增大． ∵， ∴1≤x≤14． ∴x＝1时，W最小＝1280元． ∴A地运往甲地1吨，则A地运往乙地13吨，B地运往甲地14吨，B地运往乙地0吨的运费最少，最少运费为1280元． 16．红星运输公司要将800吨“新疆棉花”从仓储中心运往某纺织厂．现有A、B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每辆可装30吨，B型车每辆可装25吨．现公司已确定调用12辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把800吨棉花一次性运完，至少需要调用B型车多少辆？ 【解答】解：设需要调用辆型车，根据题意，得 ． 解得：． ∵为正整数， ∴的最小值为18． 答：至少需要调用型车18辆． 17．（2024黑龙江二模）某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 第一次 第二次 大货车的车辆数（辆） 2 5 小货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货台数（台） 21 48 （1）求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ （2）该公司现计划再租用大、小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15750元，请你列出所有货车租用方案． （3）在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 【解答】解：（1）设每辆大货车能装载教学设备m台，每辆小货车能装载教学设备n台， 根据题意得：， 解得：， ∴每辆大货车能装载教学设备6台，每辆小货车能装载教学设备3台； （2）设租用大货车x辆，则租用小货车（12﹣x）辆， ∵运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15750元， ∴， 解得6≤x＜9， ∵x为整数， ∴x取6，7，8， ∴有3种货车租用方案：①租用大货车6辆，租用小货车6辆；②租用大货车7辆，租用小货车5辆；③租用大货车8辆，租用小货车4辆； （3）①租用大货车6辆，租用小货车6辆费用为6×1500+6×750＝13500（元）； ②租用大货车7辆，租用小货车5辆的费用为7×1500+5×750＝14250（元）； ③租用大货车8辆，租用小货车4辆的费用为8×1500+4×750＝15000（元）； ∴租用大货车6辆，租用小货车6辆费用最少，所需运输费用为13500元． 18．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 【解答】（1）解：设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆， 根据题意得，解得， ∵是整数， ∴可取，，，           ∴运输方案有种： ①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆． （2）解：设过路费总和为元，则，                 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取最小值，最小值为（元）， ∴安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 类型五 租车问题 19．（2025春嵩县期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如下表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． （1）最多能租用多少辆A型号客车？ （2）若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 【解答】解：（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车（10﹣x）辆， 依题意，得600x+520（10﹣x）≤5800， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最大值为7， 答：最多能租用7辆A型号客车； （2）依题意，得50x+45（10﹣x）≥480， 解得：x≥6， 又∵x为整数，且， ∴x＝6或7， ∴有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆； 方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆． 20．某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 【解答】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得： , 解得：. ∴（人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ， 解这个不等式组，得． ∵y取正整数， ∴y = 2. ∴4－y= 4－2 = 2. ∴320×2＋400×2 = 1440（元）. 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． 21．（2025坪山区二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前A校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；B校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 【解答】解：（1）设一辆大型客车的租金为x元，一辆中型客车的租金为y元， 由题意得：， 解得：， 答：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元； （2）设租用m辆大型客车，则租用（10﹣m）辆中型客车， 由题意得：， 解得：8≤m， ∵m为正整数， ∴m＝8，9， ∴有2种租车方案： ①租用8辆大型客车，2辆中型客车； ②租用9辆大型客车，1辆中型客车； 租用8辆大型客车，2辆中型客车的费用：8×500+2×350＝4700（元）， 租用9辆大型客车，1辆中型客车的费用：9×500+1×350＝4850（元）， ∵4700＜4850， ∴花费最少的方案比预算节省的费用为：4900﹣4700＝200（元）． 类型六 分段计费问题 22．（2024秋萍乡期末）下表是中国移动两种“5G优惠套餐”的计费方式． 套餐A 套餐B 每月基本服务费 38元（包含通话时间100分钟，上网流量8G） 59元（包含通话时间300分钟，上网流量10G） 套餐外通话 0.15元/分 0.1元/分 不足一分钟按一分钟计算 套餐外流量 5元/G，不足1G时按1G计算 （1）若小丽的妈妈某月通话时间为320分钟，上网流量为5G，则她的妈妈按套餐A计费需付　　 元，按套餐B计费需付　　 元； （2）小丽某月上网流量不超过8G，通话时间不超过300分钟，当通话时间为　 　 分钟时，按套餐A和套餐B的费用相同； （3）若小丽每月通话时间不超过100分钟，上网流量为aG（9＜a≤11），那么小丽选择哪种套餐更优惠？ 【解答】解：（1）套餐A计费：38+（320﹣100）×0.15＝71（元）， 套餐B计费：59+（320﹣300）×0.1＝61（元）， 故答案为：71，61； （2）设当通话时间为x（100＜x≤300）分钟时，套餐A和套餐B的费用相同， 38+（x﹣100）×0.15＝59， ∴x＝240， 故答案为：240； （3）套餐A计费：38+（a﹣8）×5＝5a﹣2， ∵9＜a≤11， ∴43＜5a﹣2≤53， 套餐B计费：9＜a≤10时，59元， 10＜a≤11时，59+（11﹣10）×5＝64（元）， ∵53＜59＜64， ∴小丽选择A套餐更优惠． 23．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0＜x≤200 a 200＜x≤400 b x＞400 0.92 （1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值． （2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？ 【答案】（1）；（2）450度 【分析】（1）根据题意即可得到方程组：，然后解此方程组即可求得答案； （2）根据题意即可得到不等式：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解此不等式即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设李叔家六月份用电x度， 根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300， 解得：x≤450． 答：李叔家六月份最多可用电450度． 24．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）. 阶梯 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 0＜x≤180 a 二档 180＜x≤280 b 三档 x＞280 0.82 （1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值； （2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？ 【答案】（1）a的值是0.52，b的值是0.57；（2）小华家六月份最多可用电350度. 【解答】（1）由题意得：，解得：，            答：a的值是0.52，b的值是0.57；        …………5分 （2）因为当小华家用电量x=280时，      180×0.52+（280﹣180）×0.57=150.6＜208，      所以小华家用电量超过280度.             …………7分      设小华家六月份用电量为m度，根据题意得：      0.52×180+（280﹣180）×0.57+（m﹣280）×0.82≤208，      解得：m≤350                            …………11分      答：小华家六月份最多可用电350度. 类型七 方案问题 25．（2025春南山区期中）新学年，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下： 羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球． （1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费　 　 元． （2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）． （3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【解答】解：（1）∵30×100+30×（100）＝3000+30×85＝5550（元）， ∴选择方案二共需花费5550元； 故答案为：5550； （2）选择方案一购买，需要花费（30×100+30a）×0.9＝（27a+2700）元， 选择方案二购买，需要花费30×100+30（a）＝（30a+2550）元， 故答案为：（27a+2700），（30a+2550）； （3）由27a+2700＜30a+2550，解得a＞50， ∴当a＞50时，选择方案一更省钱； 由27a+2700＝30a+2550，解得a＝50， ∴当a＝50时，选择两种方案相同； 由27a+2700＞30a+2550，解得a＜50， ∴当a＜50时，选择方案二更省钱． 26．（2025成都模拟）发奋识遍天下字，立志读尽人间书.2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【解答】解：（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是（x+5）元， 根据题意得：6（x+5）＝7x， 解得：x＝30， ∴x+5＝30+5＝35（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； （2）设购买y本A种图书，则购买（70﹣y）本B种图书， 根据题意得：， 解得：y≤25， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 27．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【答案】(1)甲种书柜每个的价格为180元，乙种书柜每个的价格为240元 (2)见解析 【分析】（1）设甲种书柜每个的价格为x元，乙种书柜每个的价格为y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，进行求解即可； （2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，再根据m为整数，求得m的值，即可得出结果． 【解答】（1）解：设甲种书柜每个的价格为x元，乙种书柜每个的价格为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：甲种书柜每个的价格为180元，乙种书柜每个的价格为240元． （2）解：设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个， 依题意，得：， 解得：． ∵m为整数， ∴m可以取的值为：8，9，10． 学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 28．（2025春九龙坡区月考）某科技公司训练DeepSeek AI模型时，需要处理大量文本和图片数据．已知文本数据每一个数据集包含800个字符，图片数据每一个数据集包含200张图片．处理一个文本数据集需要3秒，处理一个图片数据集需要2秒． （1）某次训练任务中，AI总共处理了50个数据集，且处理的总字符数比总图片数多16000．求此次训练任务中，处理的文字数据集和图片数据集各多少个？ （2）为提高训练效率，公司又进行了第二次训练，一共需要处理100个数据集，总字符数不低于总图片数，总耗时不超过221秒．求有哪几种处理方案？ 【解答】解：（1）设此次训练任务中，处理了x个文字数据集，则处理了（50﹣x）个图片数据集， 根据题意得：800x﹣200（50﹣x）＝16000， 解得：x＝26， ∴50﹣x＝50﹣26＝24（个）． 答：此次训练任务中，处理了26个文字数据集，24个图片数据集； （2）设处理y个文字数据集，则处理（100﹣y）个图片数据集， 根据题意得：， 解得：20≤y≤21， 又∵y为正整数， ∴y可以为20，21， ∴共有2种处理方案， 方案1：处理20个文字数据集，80个图片数据集； 方案2：处理21个文字数据集，79个图片数据集． 29．（2025开福区校级模拟）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里!”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 【解答】解：（1）设购进1件甲种农机m万元，1件乙种农机n万元， ∵购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元， ∴， 解得， ∴购进1件甲种农机0.5万元，1件乙种农机1.5万元； （2）设购进甲种农机x件，则购进乙种农机（10﹣x）件， ∵投入资金不少于9.5万元且不超过12万元， ∴9.5≤0.5x+1.5（10﹣x）≤12， 解得3≤x≤5.5， ∵x为整数， ∴x可取3或4或5， ∴有3种方案：①购进甲种农机3件，购进乙种农机7件，所需资金为3×0.5+7×1.5＝12（万元）； ②购进甲种农机4件，购进乙种农机6件，所需资金为4×0.5+6×1.5＝11（万元）； ③购进甲种农机5件，购进乙种农机5件，所需资金为5×0.5+5×1.5＝10（万元）； ∴购买方案需要的资金最少的是购进甲种农机5件，购进乙种农机5件，最少资金为10万元． 30．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元 (2)当购进A型汽车4辆，B型汽车6辆是成本最低，需要280万元 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【解答】（1）设A型与B型汽车每辆的进价分别是x万元、y万元   解得， ∴A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元； （2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，   解得， 又a为正整数，所以a取2、3、4 因为，所以当a取4时成本最低 最低价为：（万元） 即最低需要280万元 31．（2025普宁市一模）2025年春晚名为《秧BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台， 由题意得：80a+60（10﹣a）≤700， 解得：a≤5， 设每天分拣快递w件， 则w＝22a+18（10﹣a）＝22a+180﹣18a＝4a+180， ∵4＞0， ∴当a＝5时，w最大， 此时10﹣a＝5， ∴该企业需要购买A型智能机器人5台，则需要购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 32．（2025春永寿县校级期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． （1）学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ （2）甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【解答】解：（1）设购买x套甲型号“文房四宝”，则购买（100﹣x）套乙型号“文房四宝”， 根据题意得：， 解得：25＜x≤29， 又∵x为正整数， ∴x可以为26，27，28，29， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购买27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购买28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购买29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）选择方案1按原价购买所需费用为80×26+50×74＝5780（元）， ∵3000+（5780﹣3000）×90%＝5502（元），4420+（5780﹣4420）×80%＝5508（元），5502＜5508， ∴按方案1购买时选择甲商场合算； 选择方案2按原价购买所需费用为80×27+50×73＝5810（元）， ∵3000+（5810﹣3000）×90%＝5529（元），4420+（5810﹣4420）×80%＝5532（元），5529＜5532， ∴按方案2购买时选择甲商场合算； 选择方案3按原价购买所需费用为80×28+50×72＝5840（元）， ∵3000+（5840﹣3000）×90%＝5556（元），4420+（5840﹣4420）×80%＝5556（元），5556＝5556， ∴按方案3购买时选择甲、乙两商场所需费用相同； 选择方案4按原价购买所需费用为80×29+50×71＝5870（元）， ∵3000+（5870﹣3000）×90%＝5583（元），4420+（5870﹣4420）×80%＝5580（元），5580＜5583， ∴按方案4购买时选择乙商场合算． 答：当按方案1、2购买时，选择甲商场合算；当按方案3购买时，选择甲、乙两商场所需费用相同；当按方案4购买时，选择乙商场合算． 类型八 其他问题 33．（2025庐江县模拟）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A 3 5 B 5 9 已知农作物种植人员共40位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金不超过68万元，问：A种农作物的种植面积最少是多少公顷？ 【解答】解：设A种农作物的种植面积为x公顷，则所需人数为3x人，参与B种农作物的人数为（40﹣3x）人，B种农作物的种植面积为公顷， 由题意得：， 解得：x≥10， 答：A种农作物的种植面积最少是10公顷． 34．（2025成都模拟）2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本、提高分拣准确性对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，发现每台机器人和每个人1小时分拣快递量如下表： 每台机器人 每人 合计（件） 1小时分拣快递量/件 5x+10 x 730 （1）分别求每个人和每台机器人1小时分拣快递的数量； （2）若该快递公司每天需要使用机器人分拣10万件快递，一台机器人每天的工作时间为15小时，则至少需要购买多少台机器人才能满足快递公司的需求？ 【解答】解：（1）根据题意得：5x+10+x＝730， 解得：x＝120， ∴5x+10＝5×120+10＝610（件）． 答：每个人1小时分拣快递的数量为120件，每台机器人1小时分拣快递的数量为610件； （2）设需要购买y台机器人， 根据题意得：610×15y≥100000， 解得：y， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为11． 答：至少需要购买11台机器人才能满足快递公司的需求． 35．（2025春市南区校级期中）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人800元．经协商，甲旅行社可给每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其他游客八折．该单位计算后发现选择乙旅行社比较划算，请问该单位可能有多少名员工参加这次旅游？（请用不等式的知识予以解答） 【解答】解：设甲旅行社收费y1元、乙旅行社收费y2元，参加旅游的人数x人， 根据题意得：y1＝800×75%×x＝600x，（10≤x≤25），y2＝800×80%（x﹣1）＝640x﹣640，（10≤x≤25）， 当600x＞640x﹣640时， 解得：x＜16． 即10≤x＜16时，乙旅行社费用较少． ∴当人数10≤x＜16时选择乙旅行社． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$