精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年高一下学期第一学段考试（期中）数学试卷

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高一数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：张磊 审题人：蓝浚涵 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. i B. C. D. 1 2. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. 若且，则 C. ，则与同向 D. 若，是非零向量，且，则与同向 5. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 7. 已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为 A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）． A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为12分钟 D. 当时，船的航行距离为 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 13. 在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 14. 在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 已知中，. （1）求的值； （2）为边的中点，若，求. 17. 如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 18. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高一数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：张磊 审题人：蓝浚涵 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. i B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据i的周期性可得复数，即可由复数除法运算法则求解. 【详解】由得， 故z的虚部为为， 故选：B 2. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分； （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分. （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分； 综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A. ，，则 B. 若且，则 C. ，则与同向 D. 若，是非零向量，且，则与同向 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的基本概念和相关运算法则对各选项进行判断即可. 【详解】对于A，若，则，，但不一定成立；、 对于B，因为，所以，即，无法推出（即当时原式也可以成立），故B错误； 对于C，因为，所以，即，所以，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为或，即与同向或异向，故C错误； 对于D，由平方得，化简得，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为，即与同向，故D正确. 故选:D 5. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台， 圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 设大圆锥的高为，所以，解得：， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积. 故选：B. 6. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合线面平行、线面垂直和面面平行的判定定理和性质分析判断. 【详解】对于A：若，，则或，所以A选项错误； 对于B：若，，，，如图， 则不一定成立，所以B选项错误； 对于C：若，，，，则或与相交，所以C选项错误； 对于D：若，，则，所以D选项正确． 故选：D． 7. 已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积． 【详解】由余弦定理得，解得， ，即． 为平面所在球截面的直径． 作平面，则为的中点， ， ． ． ． 故选：． 【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键． 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，     所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误； 对于B中，若，则，即， 可得或，所以，所以B项正确； 对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离， 所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合， 所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确； 对于D中，由是关于的方程的根， 故，即， 可得，所以，所以D项正确. 故选：BCD． 10. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）． A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为12分钟 D. 当时，船的航行距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确； 对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中（小时）， 又因为，，和的夹角为， 从而，故D错误. 故选：AB. 关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值. 【详解】A选项，在上分别取，使得，， 因为，所以， 因为，所以，即， 故，即， 所以三点共线， 因为，，所以， 故平面，故点为平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥， 又题意得， 则，B错误； C选项，取的中点，因为底面为菱形，， 故⊥， 以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，设， 则， 化简得， 点满足， 即点在正方形内，包括边界， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分， 如图所示： 因为，，故， 故为等腰直角三角形，， 故点的轨迹长度为，C正确； D选项，若且，， 即，即， 又，，设， 设，即， 解得，即， ， 如图所示， 设，且⊥，⊥， 在线段上取一点，设，则， 故， 显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为， 由勾股定理得， 故的最小值为， D正确. 故选：ACD 【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 13. 在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于M、O、N三点共线，可知， 所以， 故答案为：5. 14. 在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据余弦定理和基本不等式可求的最大值，再利用三角形的面积公式求最大值即可；第二空：在中，由正弦定理得，由，根据余弦定理表示方程，进而可将表示成关于角的三角函数，即可求的最小值. 【详解】第一空： 在中，由余弦定理得， 又，，所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立，所以， 又D是边上靠近B的三等分点，所以，即的面积的最大值为. 第二空：在中，，，由正弦定理，得， 又，所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以， 其中，当，即时，取得最小值， 因此，取得最小值. 故答案为：①；②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 16. 已知中，. （1）求的值； （2）为边的中点，若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可； （2）设，由余弦定理求解即可； 【小问1详解】 ， 即，由正弦定理角化边可得， 由余弦定理可得； 【小问2详解】 设，由余弦定理结合（1）得，即， 在中，，在中，， 所以，即，所以， 所以，等式两边同时除以可得， 解得或（舍去），所以. 17. 如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1） 连接BD，交AC于O，连接， ∵四边形是正方形，∴， 由棱台的性质可得， 由，， 可得，则，， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵平面， 平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由棱台的性质可证得，再根据线面平行的判定定理可得证； （2）根据条件，利用几何关系求得及面积公式求得，再利用等体积法，即可得出点到平面距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 取中点，连，，因为，且， 所以是平行四边形，则，而平面， 故平面，又平面，故， ，得， 又，所以， 所以， 所以， 设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为， 因为，所以， 所以 故直线到平面的距离为. 18. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，对角线为钝角的平分线， 所以， 解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 由题意，在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 方法一：在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 因为 ， 所以； 方法二：在中，由， 可得，所以， 所以，所以， 又由于，从而，即， 所以， ， 所以. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别表示三棱锥在各个顶点处的离散曲率，根据三角形内角和为，求得三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）①根据异面直线所成角的定义，作出直线与直线所成的角，根据余弦定理求得直线与直线所成角的余弦值；；②设，用直线 与平面 所成角的正弦值，结合二次函数的最值求法，求得直线与平面所成的角的最大值. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得： . 【小问2详解】 ①如图，分别取的中点，连接， 则，，所以为异面直线与所成角或其补角. 设，因为，所以，所以. 因为平面平面，所以，， 因为，所以平面，又因为平面，所以，所以. 由三棱锥在顶点处的离散曲率为，得. 所以. 所以，. 所以， 所以直线与直线所成的角为的补角，其余弦值为. ②设 由，且平面，得到平面的距离为， . 设直线 与平面所成的角为，则， 当且仅当，即，即与重合时，等号成立. 因为，所以，所以直线 与平面所成角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $