临考押题卷（北京专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍

临考押题卷（北京专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共2个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直角三角板的直角顶点落在直线上的点处，，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 5．小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（    ） A． B． C． D．1 6．据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 7．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 8．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（　　） A． 甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150m 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．方程 的解是 ． 12．若点都在反比例函数的图象上，将按照从小到大的顺序排列： ． 13．为推荐一项作品参加“科技创新比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：            作品 评价指标 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 14．如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 3、 解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 22．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 23．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标，某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位：）； b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）； c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：），数据分为六组（图2）． 不同标准下实测续航里程统计表（单位：） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 400.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中，______，在六组数据中，b所在的组是______（只填写中的相应代号即可）；判断a与b的大小关系为a______b（填“＞”，“＝”或“＜”）． （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例．晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于的车型中，符合他要求的车型所对应的点． 24．已知：如图，点A，C，D在上，且满足，连接．过点A作直线，交的延长线于点B． （1）求证：是的切线； （2）如果，求边的长． 25．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 26．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． (1)当，时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 27．在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF． (1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系； (2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 28．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷（北京专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共2个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市第五十中学2024-2025学年下学期4月九年级数学检测试卷 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； D．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意． 故选：D． 2．如图，直角三角板的直角顶点落在直线上的点处，，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市文汇中学2024-2025学年九年级下学期模拟考试数学试题 【分析】利用，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查角的和差运算，掌握数形结合思想是解题的关键． 3．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市第五十中学2024-2025学年下学期4月九年级数学检测试卷 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴及可得，，进而根据实数的运算法则逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴，， ∴，，，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 4．若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是  （    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【来源】北京市第五十五中学2024—2025学年下学期期中调研九年级数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】解：关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 5．小颖、小亮玩掷硬币游戏，约定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推．若出现(正，正)小颖赢，若出现(反，反)小亮赢，那么在这个游戏中小颖赢的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【来源】2025年北京市第二中学九年级数学中考零模试卷 【分析】本题考查利用树状图求概率，按照利用树状图求概率的一般步骤求解即可． 【详解】画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中出现(正，正)的结果有1种， ∴出现(正，正)的概率为， 故选小颖赢的概率是． 故选：A． 6．据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市第五十五中学2024—2025学年下学期期中调研九年级数学试题 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，有理数除法运算的应用，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据题意列出算式，进行计算，并用科学记数法表示结果即可． 【详解】解：观影人数为：（人）． 故选：A． 7．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【答案】A 【来源】2025年北京市北京师范大学附属实验中学九年级中考零模数学试卷 【分析】本题考查了作图——作垂线，菱形的判定和性质，掌握基本作图方法是解题关键．由作法可知，从而得出四边形是菱形，，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知，， 四边形是菱形， ， 小红的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直， 故选：A． 8．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（　　） A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150m 【答案】C 【来源】北京市文汇中学2024-2025学年九年级下学期模拟考试数学试题 【分析】结合2个图象分析即可. 【详解】A.根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上共行驶时间为：，故正确. B.3段弧的长度都是：从F口出比从G口出多行驶40m，正确. C.分析图2可知甲车从G口出，乙车从F口出，故错误. D.立交桥总长为：故正确. 故选C. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】 北京理工大学附属中学2024—2025学年下学期九年级中考数学模拟练习 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【来源】2025年北京市首都师范大学附属中学育鸿学校中考数学零模数学试卷（3月） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式． 故答案为：． 11．方程 的解是 ． 【答案】x＝﹣4 【来源】北京市回民学校2024-2025学年九年级下学期零模数学试卷（4月） 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：x＝2x+4， 解得：x＝﹣4， 经检验x＝﹣4是分式方程的解， 故答案为x＝﹣4 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12．若点都在反比例函数的图象上，将按照从小到大的顺序排列： ． 【答案】 【来源】北京市海淀区北京航空航天大学实验学校中学部2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由题意，∵反比例函数， ∴图象分布在第一、三象限，y随x的增大而减小． ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．为推荐一项作品参加“科技创新比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：            作品 评价指标 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 【答案】乙 【来源】北京市东城区汇文中学2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试题 【分析】利用加权平均数计算总成绩，比较总成绩高低判断即可． 【详解】解：根据题意,得: 甲：90×60%+90×40%=90； 乙：95×60%+90×40%=93； 丙：90×60%+95×40%=92； 丁：90×60%+85×40%=88； ∵乙总成绩＞丙总成绩＞甲总成绩＞丁总成绩． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 14．如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 【答案】 【来源】2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【来源】北京市海淀区北京航空航天大学实验学校中学部2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴， ∴， 而， ∴点E为弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60． 16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【来源】北京市第五十五中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份） 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 3、 解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 【答案】 【来源】 北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．解不等式组：． 【答案】 【来源】北京市第八中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 19．已知，求代数式的值． 【答案】 【来源】 北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把原分式的分子和分母都分解因式，然后约分化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20．如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市第二中学2024~2025学年下学期3月月考九年级数学试卷 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 21．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【来源】北京市海淀区北京理工大学附属中学2024~2025学年下学期3月月考九年级数学试卷 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 22．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市海淀区十一学校2024--2025学年九年级下学期3月月考数学试卷 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴． 23．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标，某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位：）； b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）； c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：），数据分为六组（图2）． 不同标准下实测续航里程统计表（单位：） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 400.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中，______，在六组数据中，b所在的组是______（只填写中的相应代号即可）；判断a与b的大小关系为a______b（填“＞”，“＝”或“＜”）． （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例．晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于的车型中，符合他要求的车型所对应的点． 【答案】（1）补图见解析；（2）403.7；C；＞；（3）作图见解析． 【来源】北京市海淀区北京交通大学附属中学2025年九 年级中考零模数学练习 【分析】(1)根据图1和图2，A~F六组数据中的范围，即可得出结论； (2) 根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据即为中位数，即可得出结论； (3)根据续航里程达成比不低于75%，即可得出结论． 【详解】（1）根据图1和图2 ，A~F六组数据中的范围， 由数据可得，在C组范围内的有4个数据，在D组范围内的有1个数据 ∴补图如图所示: （2）根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据即为中位数， ∴，b在300~350之间即C组；； （3）∵续航里程达成比为y∶x， ∴画出y=0.75x的直线，再直线上方的点符合要求，如图所示 【点睛】本题主要考查读频率直方图的能力和统计图获取信息的能力，正确读懂题意是解题的关键． 24．已知：如图，点A，C，D在上，且满足，连接．过点A作直线，交的延长线于点B． （1）求证：是的切线； （2）如果，求边的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【来源】北京市西城区第十三中学分校2024~2025学年下学期3月月考九年级数学试题 【分析】(1)连接，根据圆周角的性质和平行线性质证∠OAB=90°即可； (2) 连接，作于H，根据题意求出∠CAD=30°，再解直角三角形即可． 【详解】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴OA⊥AB， ∴是的切线； （2）连接，作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的证明、圆周角的性质、解直角三角形，解题关键是准确把握题意，构建直角三角形和等边三角形解决问题． 25．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)d，h (2)见解析 (3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【来源】北京市海淀区师达中学2024~2025学年九年级下学期练习二（3月考）数学试题 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； （2）解：描点，连线，画出图象如图： ； （3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 26．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． (1)当，时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2)或 【来源】北京师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【详解】（1）解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； （2）解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 27．在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF． (1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系； (2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 【来源】北京市第一七一中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷 【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可； （2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可． 【详解】（1）解：，． 理由如下：由题意知三点重合 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴为线段的中点 ∵是中点 ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴． （2）解：，的关系仍成立． 证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于， 由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设， ∴，，，，，，，，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度． 28．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，是；②； (2)或 【来源】北京市昌平区第一中学2024—2025学年下学期九年级开学考数学试卷 【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解； ②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上的点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标； （2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点， ∵的半径为2， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴点是点关于弦的“等边旋转点” 故答案为：，是； ②根据新定义可得，则是等边三角形， ∴到的距离最小值即的长， ∵，， ∴的最小值为； 如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部， 如图所示，连接，则， 当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环 ∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点， ∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形， ∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意， 如图所示， 当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内， 当与重合，且时，在半径为的上，此时 当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点， ∵是等边三角形，，， ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内， 先求得最小值，即的最大值，则重合， 如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值， 如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述：的取值范围为：或 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$