精品解析：四川省达州市高级中学校2025届高三下学期模拟预测数学试题

数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列结论中，错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 3. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，，，且，延长至点，使得，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 或 7. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 11. 已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 若对恒成立，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.双空题，第一空2分，第二空3分. 12. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 13. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L=___________（用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为__________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知． （1）求角C的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 17. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 18. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 19. 设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”． （1）若数列为“数列”，求数列的通项公式； （2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列为“数列”，，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可. 【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误； 对于选项B：因为，可知， 所以满足条件的有2个，故B错误； 对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确； 对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边， 所以不存在，故D错误； 故选：C. 2. 下列结论中，错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定选项A正确，利用全称命题的否定形式判定选项B、D正确；从集合的角度判定选项C错误. 【详解】对于A：将代入成立，所以“”是“”的充分条件， 因为的解为或，所以“”不是“”的必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B：已知命题“，”，则该命题的否定为“，”，正确； 对于C：因为的解集为或，所以“”是“”的必要不充分条件，错误； 对于D：命题“，”的否定是“，”，正确. 故选：C. 3. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，判断的元素是否在集合中，可得. 【详解】因为，又，故， 易验证0，1，2均是的解，所以，所以． 故选：B． 5. 在中，内角所对的边分别为，，，且，延长至点，使得，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再由余弦定理，得到，求得，再中，由余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】因为，可得， 由正弦定理得，即， 所以，又因为，所以， 如图所示，由，且，， 在中，由余弦定理得， 解得或（负值舍去）. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式经三角恒等变换，再两边同除以可得关于的方程，即可得解. 【详解】由，可得 ，， 两边同时除以并整理可得：，解得：或， 当时，，，不符合题意，所以. 故选：A 7. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即， 当时，，又， 因为在上有且仅有个零点，所以， 所以，即，得， 所以， 因为，所以， 所以； 对于A：函数的最小正周期，故A错误； 对于B：当时，，又在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C：因为， 所以函数的一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为，为奇函数，故D正确. 故选：BCD 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 【答案】BC 【解析】 【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得. 【详解】对于选项A，，，， ，不满足是等差数列，故选项A错误； 对于选项B，当时，， 当时，， 因为时也满足上式，所以，则， 所以是等比数列，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以， 因为，所以， 因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确； 对于选项D，设数列的公差为，因为，所以， 即，当时，没有最小值，故选项D错误. 故选：BC． 11. 已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 若对恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，对抽象函数的等式分别赋值和即可判断是奇函数；对于B，利用函数的单调性定义推理即得；对于C，利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即可；对于D，利用C的结论得出函数在上的最大值，将等价转化为在上恒成立，结合关于的一次函数的图象即得参数的范围. 【详解】对于，令，得，所以，令，则，即，则， 所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误； 对于，设，则，又当时，，则有， 即，则，故在上单调递增，故B正确； 对于，根据选项可知，函数在上单调递增，又因为是定义在上的奇函数， ，所以，则的解集为，故C正确； 对于，因为在上单调递增，所以当时，， 又对恒成立，所以，即在上恒成立， 将看成关于的一次函数，则需, 由① 可得或，由② 可得或，故的范围为或，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.双空题，第一空2分，第二空3分. 12. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出，最后通过代入最高点坐标去求即可. 【详解】 由题知：，，，即， 又，，故，即． 故答案为：. 13. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L=___________（用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式； 第二空：根据第一空的表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案. 【详解】作出示意图，铁棒，， 在中，， 在中，， 所以； 当时， 令，因为，， 所以，， 所以，且在上单调递增， 所以当时，即时，L的最小值为， 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为. 故答案为：； 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的奇偶性与对称性，得到的周期，结合，求出的值，再利用导数的奇偶性与周期性，结合，求出的值，则切线可求． 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且为奇函数， 所以，， 因此可得 可得，即周期为8，且， 对和分别求导可得，， 所以 ， 所以在点处的切线方程为：， 即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知． （1）求角C的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边化角即可结果； （2）利用正弦定理可得.若选条件①：根据题意可得，进而分析其唯一性即可；若选条件②：利用余弦定理可得，，进而求，进而可得面积；若选条件③：根据周长可得，利用余弦定理并分析其唯一性. 【小问1详解】 因为，即， 可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，，由正弦定理可得， 可得. 若选条件①：因为，，即， 可得，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意； 若选条件②：因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 则，， 因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一， 又因为， 所以的面积； 若选条件③：因为的周长是， 则，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，且， 可知方程有2个不相等的实根， 且，可知方程有2个不相等的正实根， 即边a不唯一，不合题意. 综上，只有选条件②符合题意. 16. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由可得，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 17. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 18. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 【答案】（1）有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与的大小关系，即可作出判断； （2）（ⅰ）记事件为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事件包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解； （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况，结合题中条件进行求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 北方 南方 合计 汤圆 16 36 52 元宵 24 24 48 合计 40 60 100 原假设：吃汤圆或元宵与地域无关． ， 故拒绝，即有95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关． 【小问2详解】 （ⅰ）记事件A为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”， 则． （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况， 则， 由甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，则 由定义：若是两点分布，且，则， 则． 19. 设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”． （1）若数列为“数列”，求数列的通项公式； （2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列为“数列”，，设，证明：． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得，再利用与的关系分类讨论，即可得数列为等比数列，从而可得通项公式． （2）利用反证法可得不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”． （3）由数列为“数列”，可得到对任意正整数恒成立，于是可得，然后根据错位相减法求得，故得，即，即结论成立． 【小问1详解】 因为数列为“数列”，所以 当时，，得， 当时，，则，即， 经检验，当时，， 故对任意的恒成立，即， 故数列为是首项为1，公比为2的等比数列，故. 【小问2详解】 假设存在这样的数列，由是“数列”，则有，故有， 两式相减得：，故有， 同理：由是“数列”可得， 所以对任意恒成立，故 所以，即， 又，即， 两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”． 【小问3详解】 因为数列为“数列”，所以， 故，故， 又当时，，故， 又，故满足， 所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：， 故， 所以， 两式相减得 ， 显然，， 故，即. 【点睛】（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论． （2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $