7.4.1 二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

1.离散型随机变量的方差： 2.方差与标准差的性质： 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 温故知新： 人教A版2019选择性必修第三册 7.4.1 二项分布 第七章《随机变量及其分布》 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）． 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立． “重复”意味着各次试验成功的概率相同 思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少? (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X．进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列． 探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1，2，3)，用下图的树状图表示试验的可能结果： 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积. 由概率的加法公式和乘法公式得 思考：可以利用组合数来简化表示吗？ 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 同理可求中靶0次、1次、3次的概率. 于是，中靶次数X的分布列可表示为 连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有 中靶次数X的分布列为： 思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列. 我们把上面这种分布称为二项分布. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 1.二项分布的定义 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p). 追问1：对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 如果把p看成b ，1-p看成a，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布. 由二项式定理，可得 二项分布的分布列如下表： 追问2：二项分布和两点分布有什么联系？ 二项分布的分布列如下表： 当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表： 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式. 例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则 X～B(10，0.5). (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 (1)恰好出现5次正面朝上的概率为： 典例分析： 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1)每次试验都是在同一条件下进行的； (2)每一次试验都彼此相互独立； (3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 解： 2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： (1) 没有鸡感染病毒的概率； (2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率. 请看课本P77：练习2 例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布． 例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.   X的概率分布图如右图所示： 于是，X的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0009765625 0.009765625 0.0439453125 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.0439453125 0.009765625 0.0009765625 例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率． 例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解法1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0，3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 解法2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6)，所以甲最终获胜的概率为 同理，若采用5局3胜制，则X～B(5，0.6)，所以甲最终获胜的概率为 例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6， 乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n，p). 方法总结： 思考：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜. 探究：假设随机变量X服从二项分布 B(n，p)，那么X均值和方差各是什么? 我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上. (1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有 E(X)＝0×(1－p)+1×p＝p， D(X)＝02×(1－p)+12×p－p2 ＝p(1－p) (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2，P(X＝1)＝2p(1－p)，P(X＝2)＝p2 E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2 ＝2p D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p) 由此可猜想，若X～B(n，p)，则有 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想E(X)＝np. 若X~B(n，p)，则有 下面对均值进行证明. 证明： 2.二项分布的均值与方差 1.二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) 若X~B(n，p)，则有 2.二项分布的均值与方差： 课堂小结： 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； 所以X的分布列为： 请看课本P77：练习2 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； 请看课本P77：练习2 3.判断下列表述正确与否，并说明理由： (1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12，0.25)； (2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y～B(6，0.1). 请看课本P77：练习3 解： 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12，0.25). (1) 正确.理由如下： 每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2)错误.理由如下： 4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子． 例1：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，服从二项分布，X～B(10，0.7)； 例2：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X是一个随机变量，服从二项分布， Y～B(20，0.5) ． 请看课本P77：练习4 $$