平面向量的线性运算及数量积讲义-2024-2025学年高一下学期数学期末综合复习(广东省)

2024-2025学年度广东省高一下学期《平面向量的线性运算及数量积》专题期末综合复习 一、考点概述 1、向量的基本概念：包括向量的定义、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等。 2、向量的线性运算：加法、减法、数乘运算，以及它们的几何意义和运算律。 3、向量的数量积：定义、几何意义、运算律，以及数量积与向量夹角、模的关系。 4、向量的坐标表示：向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标表示，向量模的坐标公式。 5、向量的应用：用向量解决平面几何问题、物理问题等。 二、易错点分析 1、概念理解错误：如对零向量的方向、单位向量的模等概念模糊。零向量方向是任意的，单位向量模长为1。 2、运算错误：向量运算律的错误应用，例如向量乘法不满足结合律。在进行向量线性运算和数量积运算时，易出现符号、系数等计算错误。 3、夹角问题：求向量夹角时，要注意向量的方向，夹角范围是[0,\pi]。若两向量起点不同，需平移至同起点再求夹角。 4、忽略特殊情况：在讨论向量平行或垂直问题时，要考虑零向量的特殊情况。零向量与任意向量平行。 三、二级结论总结 1.极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 2.极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 3、鸡爪定理 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的鸡爪定理． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 4.等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 5、三角形“四心”的向量表示 （1）三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. ②为的重心，特别地为的重心； ③为的垂心； ④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤的内心 6.奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 四、解题策略 1、向量运算问题：可根据向量的运算法则，将向量用已知向量表示，再进行运算。若已知向量坐标，可直接利用坐标运算求解。 2、向量夹角与模的问题：求夹角可利用公式及向量平行与垂直问题： 3、向量应用问题：解决平面几何问题时，先将几何问题中的线段转化为向量，再利用向量的运算和性质求解；解决物理问题时，要明确向量在物理中的实际意义，如力、速度、位移等都是向量，根据物理情境建立向量模型求解。 考点一 平面向量共线定理 例1、（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 变式、（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 考点二 平面向量平行，垂直的坐标表示 例2、（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 变式1、（23-24高一下·广东惠州·期末）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 变式2、（23-24高一下·广东梅州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2、已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 考点三 平面向量数量积 例3、（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 变式1、（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 变式2、如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 考点四 向量夹角求参数问题 例4、已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 变式、已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 考点五 投影向量 例5、已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式、设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高一下·广东广州·期末）设,向量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高一下·广东·期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 7．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 8．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 三、填空题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 ． 13．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 14．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 16．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求与的夹角的余弦值. 17．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 18．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度广东省高一下学期《平面向量的线性运算及数量积》专题期末综合复习 一、考点概述 1、向量的基本概念：包括向量的定义、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等。 2、向量的线性运算：加法、减法、数乘运算，以及它们的几何意义和运算律。 3、向量的数量积：定义、几何意义、运算律，以及数量积与向量夹角、模的关系。 4、向量的坐标表示：向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标表示，向量模的坐标公式。 5、向量的应用：用向量解决平面几何问题、物理问题等。 二、易错点分析 1、概念理解错误：如对零向量的方向、单位向量的模等概念模糊。零向量方向是任意的，单位向量模长为1。 2、运算错误：向量运算律的错误应用，例如向量乘法不满足结合律。在进行向量线性运算和数量积运算时，易出现符号、系数等计算错误。 3、夹角问题：求向量夹角时，要注意向量的方向，夹角范围是[0,\pi]。若两向量起点不同，需平移至同起点再求夹角。 4、忽略特殊情况：在讨论向量平行或垂直问题时，要考虑零向量的特殊情况。零向量与任意向量平行。 三、二级结论总结 1.极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 2.极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 3、鸡爪定理 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的鸡爪定理． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 4.等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 5、三角形“四心”的向量表示 （1）三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. ②为的重心，特别地为的重心； ③为的垂心； ④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤的内心 6.奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 四、解题策略 1、向量运算问题：可根据向量的运算法则，将向量用已知向量表示，再进行运算。若已知向量坐标，可直接利用坐标运算求解。 2、向量夹角与模的问题：求夹角可利用公式及向量平行与垂直问题： 3、向量应用问题：解决平面几何问题时，先将几何问题中的线段转化为向量，再利用向量的运算和性质求解；解决物理问题时，要明确向量在物理中的实际意义，如力、速度、位移等都是向量，根据物理情境建立向量模型求解。 考点一 平面向量共线定理 例1、（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 变式、（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 考点二 平面向量平行，垂直的坐标表示 例2、（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 变式1、（23-24高一下·广东惠州·期末）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. （2）若，则，整理得， 解得或. 变式2、（23-24高一下·广东梅州·期中）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵向量，，，∴， ∵，∴，即得，解得， 故选：C． 变式2、已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 考点三 平面向量数量积 例3、（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 变式1、（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 /； . 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 变式2、如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 考点四 向量夹角求参数问题 例4、已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知， ∴． ∵与的夹角为锐角，∴， 解得或． 当时，与方向相同，其夹角为，不符合题意， 故实数的取值范围是． 故答案为： 变式、已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）由已知，，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， ，且，所以且． 考点五 投影向量 例5、已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 变式、设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 又因为，，所以 向量在向量上的投影向量为： 故选：D. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高一下·广东广州·期末）设,向量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高一下·广东·期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 7．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 8．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若O为的垂心，，则 D．若，则点O的轨迹经过的重心 三、填空题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 ． 13．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 14．（23-24高一下·广东佛山·期末）已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 16．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求与的夹角的余弦值. 17．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 18．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 参考答案 1．D 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 2．D 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论. 【详解】根据题意知，，， 则，解之可得 故选：D 3．A 【分析】利用向量共线的坐标表示求出值. 【详解】向量，，由，得，解得. 故选：A 4．B 【分析】由题意得出为的外接圆的直径以及，再根据投影向量的概念直接计算即可得解. 【详解】因为，所以O为BC边中点， 所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径）， 又，故， 所以，则在上的投影向量为. 故选：B. 5．A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 故选：A. 6．B 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示：    因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 7．D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 8．B 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 9．BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】对于A：根据向量的模长公式运算求解；对于D：根据向量的线性运算结合向量相等运算求解即可；对于C：根据三角函数值的定义结合诱导公式运算求解；对于D：结合向量投影运算求解. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：可得，故A错误； 对于选项B：因为， 若四边形OABP是平行四边形，则， 可得，解得， 所以四边形OABP有可能是平行四边形，故B正确； 对于选项C：设， 则，即， 可知， 则， ， 所以的坐标为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：在方向上的投影为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．ACD 【分析】利用向量数量积定义及运算律，结合垂心、正弦定理逐项公板判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则，为等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，整理得，角是锐角， 不能确保为钝角三角形，B错误； 对于C，由O为的垂心，得， 则，C正确； 对于D，令边中点为，由正弦定理得，即， 则，因此点的轨迹是直线上， 而直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，D正确. 故选：ACD 【点睛】易错点睛：与（或）的计算时，前者的夹角是，后者的夹角为. 12． 【分析】设，，得出关于实数，的关系，求解即可. 【详解】因为和是两个不共线的向量，，，与是共线向量， 设，，则， 所以，所以. 故答案为：. 13． 【分析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 14． 3 【分析】根据分析点轨迹，取中点，将转化为，然后结合图形可解. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 记的中点分别为， 则， 因为是边长为2的正三角形，，所以， 易知，当三点共线时取得最大值，此时， 所以的最大值为， 当重合时取得最小值，此时的最小值为. 故答案为：3;. 15．(1) (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据向量减法运算再根据共线计算求参即可； （2） 先得出向量坐标，再根据数量积公式结合二次函数值域求解； （3）根据向量加法及模长公式结合二次函数值域求解. 【详解】（1），               ，              三点共线，与共线，即，             ，            解得：． （2），               ，            ∴当时，                     取得最小值． （3）由题意，设，                 则，所以，             ，            因为，所以当时有最小值， 当时有最大值20，所以的取值范围为， 故的取值范围为． 16．(1), (2) 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可求解 （2）根据向量夹角公式即可求解； 【详解】（1）因为点是的中点，点，分别是，的四等分点 所以， 因为，. 所以 （2）因为，，， 所以， 所以 ， 令与的夹角为 ， 所以与的夹角的余弦值为. 17．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明； （2）根据题意结合（1）可求，进而结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. （2）由题意可知：， 由（1）可知：，即， 则， ，即， 所以与的夹角的余弦值. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    19．(1)，是定值，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【详解】（1）已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. （2）， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$