13.3.1三角形的内角 课件2025－2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.3.1三角形的内角 第十三章 三角形 人教版（2024） 1 素养目标 1.理解并掌握三角形的内角和定理； 2.能应用三角形内角和定理进行角度的计算； 重点 重难点 3.了解直角三角形两个锐角的关系； 4.掌握直角三角形的判定方法. 重点 2 新知导入 1.一个三角形的三个内角有怎样的数量关系呢？ 在小学我们就已经知道，三角形的内角和等于180°. 2.我们是怎样得到三角形内角和是180°的？ （1）度量法 （2）剪拼法 这样的方法获得的结论可靠吗？ 3 探究新知 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 4 探究新知 将三角形的任意两个内角剪下，试着拼拼看. 你有什么发现？ 5 探究新知 如图所示，∠B 和∠C 分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边BC有什么位置关系？ B B C C A l 直线 l 与边 BC 平行 你能由这个图发现证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？ 6 探究新知 启发：过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论. B B C C A l 探究新知 已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证法：过点A作l∥BC， ∵ l ∥BC ， ∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等） ． ∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）， ∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）． A B C 2 4 1 5 3 　 l 即∠A+∠B+∠C=180°. 归纳总结 三角形内角和定理：　 三角形的内角和等于180° . 符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° A B C 9 例题练习 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数 C B D A 解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线， 在△ABD中， ∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD =180°-75°-20°= 85° ∴∠BAD = ∠BAC =20° 例题练习 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 北 北 C A B D E 分析：∠ACB是△ABC的一个内角， 求∠ACB需先求 ∠CAB 、∠ABC. 例题练习 解： ∠CAB= ∠BAD - ∠CAD = 80°- 50°= 30° 由 AD//BE，得∠BAD + ∠ABE = 180° 所以∠ABE = 180°-∠BAD =180°- 80°=100° ∠ABC =∠ABE -∠CBE = 100°- 40°= 60° 在△ABC中，∠ACB = 180°-∠ABC -∠CAB = 180°- 60°- 30° = 90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 北 北 C A B D E 探究新知 【思考】如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少？ 三角形内角和定理 ∠A +∠B +∠C = 180° ∠A + ∠B = 90° ∠C = 90° ∠A +∠B +90° = 180° A B C 归纳总结 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角_____. 互余 几何语言： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． “Rt△” A B C 14 例题练习 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点E．比较∠CAE与∠DBE的大小． 解：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90°- ∠AEC. 在 Rt△BDE中，∠DBE = 90°- ∠BED. ∵∠AEC =∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. 探究新知 【思考】如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在 △ABC 中，∠A +∠B = 90°， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 三角形内角和定理 ∠A +∠B +∠C = 180° ∠C + 90°=180° ∠A +∠B=90° ∴△ABC 是直角三角形 ∠C = 90° A B C 归纳总结 直角三角形的判定： 有两个角_____的三角形是直角三角形. 互余 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B=90°， ∴△ABC 是直角三角形． A B C 17 C B B A B C 25 C D 小结 三角形的内角和等于180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形的内角 谢谢同学们的聆听 练习1 在 中,如果 ,那么 的形状是( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析： , , , , 即 , 为直角三角形 故答案为:C. 练习2 适合条件 的三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形 解析：设 ,则 , . 根据三角形的内角和定理,得： , , 则 ,所以该三角形是钝角三角形.故选B. 练习3 如图,在 中, , ,则 的度数为( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 解析： , , , .故选：B. 练习4 一个直角三角形，有一个锐角是 ，另一个锐角是______°. 解析：∵直角三角形的两个锐角互余， ∴另一个锐角是 ，故答案为： 练习5 如图, 的直角顶点C落在直线l上, ,,则的度数是( ) A. B. C. D. 解析：在 中, EMBED Equation.DSMT4 , , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , 故选C. 练习6 如图 中, , 是边 上的高,则 的度数是( ) A. B. C. D. 解析：在 中, , , ∴ , ∴ , ∴ . ∵ 是 边上的高, ∴ , ∴ .故选：D. 练习7 在 中,三角形各内角的度数如图所示,求 的度数. 解：由题意可得： , 解得 , ∴ . 练习8 如图,在中,,, 平分 ,求 的度数. 解：∵ , , ∴ (三角形内角和定义). ∵ 平分 , ∴ , ∴ . $$