上海市上海中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海中学高二期中数学试卷

2025.04

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 直线的倾斜角是________．

2. 直线的一个法向量可以是________．

3. 圆的圆心坐标是________．

4. 抛物线的焦点到准线的距离是______.

5. 双曲线的一条渐近线方程为，则________．

6. 一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________．

7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条．

8. 直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________．

9. 两圆和的公共弦长为________．

10. 在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________．

11. 如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________.

12. 平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________．

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）条件

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要

14. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

15. 曲线，公共点的个数（   ）

A. 没有 B. 有，且为奇数个 C. 有，且为偶数个 D. 有，但不能确定几个

16. 在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（    ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．

18. 已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程．

19. 已知点，，动点满足．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围．

20. 椭圆中，动弦长为．

（1）请写出椭圆的参数方程；

（2）求面积的取值范围．

21. 如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；

（3）求的最小值及此时点的坐标．