高一数学第二次月考仿真模拟试卷02（全国通用，测试范围：人教A版2019必修第二册第6-9章）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期第二次月考仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴. 故选：C. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 3.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 【答案】C 【解析】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 4.已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：A 5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形. 故选：C 6. 如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】由题意知，， 则 ， 所以 . 故选：C. 7. 已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 8. 设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理可得，得， 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中正确的是（ ） A. 平面内两个非零向量与，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D. 若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 【答案】BD 【解析】对于A，设，，则，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定相等，故C错误； 对于D，若，且点四点不共线， 则，、、、四点能构成平行四边形； 若，且点四点共线， 则，、、、四点不能构成平行四边形，故D正确； 故选：BD． 10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. D. 【答案】ABD 【解析】已知，根据二倍角公式，可得，则，即. 因为，所以，可得. 则，可得. 因为，所以，，两边同时除以，可得，故A选项正确. 由，可知与同号，又因为，所以B,C都是锐角. ，所以也是锐角，因此为锐角三角形，故B选项正确. 因为，所以（当且仅当时取等号）. ，因为在上单调递增，且，所以，故C选项错误. 根据余弦定理，由，可得. ，因（当且仅当时取等号），所以. 又因为，所以，当且仅当且时取等号，而不成立，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】ABC 【解析】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B正确； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________ 【答案】1 【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根， 由根与系数的关系可知：，所以，． 所以 故答案为：1． 13.如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为________ 【答案】 【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG， 因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故答案为：． 14.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后就会对人体产生危害．在100条鱼的样本中发现汞含量（乘百万分之一）统计得到频率分有直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计该样本数据的平均值和中位数（假设各组数据在组内均匀分布）； 【答案】（1）0.3 （2）平均值为1.075，中位数为1 【解析】（1）．解得． （2）． 估计该样本数据的平均值为1.075． 因中位数左右两边的直方图面积相等，由， 所以估计该样本数据的中位数为1． 16.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面, 所以平面． 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 18.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 19. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，…，与；，，，…，，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． （1）求：，，的正交点列； （2）判断：，，，是否存在正交点列？并说明理由； （3）证明：，，都存整点列无正交点列． 【答案】（1），， （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）设点列，，的正交点列是，，， 由正交点列的定义可知，， 设，， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列，，的正交点列是，，. （2）由题可得， 设点列，，，是点列，，，的正交点列， 则可设，，， 因为与，与相同，所以有 因为，，，得方程，显然不成立， 所以有序整点列，，，不存在正交点列； （3），，都存整点列无正交点列. ，，设，其中，是一对互质整数， 若有序整点列，，，是点列，，，正交点列， 则， 则有 当为偶数时，取，. 由于，，，是整点列，所以有，. 等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列，，，无正交点列； 当为奇数时，取，，，， 由于，，，是整点列，所以有，. 等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列，，，无正交点列. 综上所述，，，都存在无正交点列的有序整数点列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第二次月考仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 4.已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 6. 如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 8. 设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中正确的是（ ） A. 平面内两个非零向量与，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D. 若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. D. 11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________ 13.如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为________ 14.已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后就会对人体产生危害．在100条鱼的样本中发现汞含量（乘百万分之一）统计得到频率分有直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计该样本数据的平均值和中位数（假设各组数据在组内均匀分布）； 16.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 17. 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 18.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：，，，…，与；，，，…，，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． （1）求：，，的正交点列； （2）判断：，，，是否存在正交点列？并说明理由； （3）证明：，，都存整点列无正交点列． 学科网（北京）股份有限公司 $$