高一数学第二次月考仿真模拟试卷01（全国通用，测试范围：人教A版2019必修第二册第6-9章）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期第二次月考仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 1 4.在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无法确定 5.某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示： 毕业生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 起始月薪 2850 2950 3050 2880 2755 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880 则第85百分位数是（ ） A. 3325 B. 3130 C. 3050 D. 2950 6. 正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式，其中，均为正整数，且.如图所示，中，，三边对应的勾股数中，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 10.在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 11.如图，在矩形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCDE，若点M为线段PC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面PDE B. C. 点C到平面PDE的距离为 D. PC与平面BCDE所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为__________． 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 14.在中，是边中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为，的中点.求证： （1）； （2）平面. 16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17.如图，在等腰梯形中，是边的中点. （1）试用表示； （2）求的值. 18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19.材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： （1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； （2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； （3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第二次月考仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2.若向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，， 所以，而 所以与的夹角为. 故选：A. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】如图，不妨令直观图中正方形为，则， 所以， 由直观图可得如下平面图形，则，， 所以. 故选：A 4.在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无法确定 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 所以或， 又，所以，符合大边对大角原理， 所以满足条件的三角形个数为2个. 故选：A. 5.某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示： 毕业生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 起始月薪 2850 2950 3050 2880 2755 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880 则第85百分位数是（ ） A. 3325 B. 3130 C. 3050 D. 2950 【答案】B 【解析】将这12个数从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325. 又因为第， 所以第第85百分位数是第11个数据，为3130. 故选：B. 6. 正四棱锥所有棱长均为2，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，连接，取的中点，连接，则正面，则正四棱锥的外接球的球心在上，连接.取的中点，连接，， ∵，∴，.由勾股定理得 设正四棱锥的外接球的半径为，在中，， 即，解得. 则外接球的表面积为 故选：B. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 8. 根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式，其中，均为正整数，且.如图所示，中，，三边对应的勾股数中，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得，显然，， 所以在直角中，， 若，则，即， 此时，与矛盾，不符合题意； 若，则，即， 此时，符合. 综上所述，； 由，，，， 所以， 所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 【答案】AD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，其共轭复数的虚部为1，B错误； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，设，则， ，D正确. 故选：AD 10.在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 11.如图，在矩形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCDE，若点M为线段PC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面PDE B. C. 点C到平面PDE的距离为 D. PC与平面BCDE所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，取的中点，连接，，则，， 因为矩形，且是的中点，所以，, 所以,，所以四边形是平行四边形，所以, 又平面，平面，所以平面，故A正确； 选项B，取中点，连接，，因为，所以， 若，由于， 面， 则面， 面，所以，而是的中点，则，显然不成立， 所以不成立，即选项B错误； 选项C，因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为， 而，， 设点到平面的距离为，因为， 所以，即，解得：， 所以点到平面的距离为，即选项C正确； 选项D，因为平面，所以与平面所成角即为， 在中，，， 由余弦定理知， 所以，在中，， 所以PC与平面BCDE所成角的正切值为，即选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为__________． 【答案】 【解析】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故答案为： 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 依题意，解得. 故答案为：1 14.在中，是边中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则______ 【答案】4 【解析】在中，由，的面积为，得，则， 由是边的中点，是线段的中点，得， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 在中，由余弦定理得：， 所以. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为，的中点.求证： （1）； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面， 平面平面，在平面内， 所以平面， 因为在平面内，所以； （2）取的中点，连结，， 在△中，，分别是，的中点， 所以，且， 在矩形中，是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为在平面外，在平面内， 所以平面. 16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1）； （2）84； （3）平均值62，方差23. 【解析】（1）由每组小矩形的面积之和为1得， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 17.如图，在等腰梯形中，是边的中点. （1）试用表示； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】（1） 由向量加法和减法可得：， ， （2）因为， 所以， 又因为在等腰梯形中， 所以 即 18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 19.材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： （1）根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； （2）已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； （3）已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】（1）因为为直径，所以， 在中，， 又，所以， 连接，同理在中，， 又，所以， 连接并延长，交圆于点，连接，则， 在中，， 又，所以， 又，所以， 即； （2）不妨设，， 则， 上式可以看成点到，，的距离之和， 显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点， 在上取点，此时，故， 同理，故，所以， 点即为的费马点， 所以， 则的最小值为； （3）由于为直角三角形，故， 设，， 由得， 在中，由余弦定理得 ， 同理，在中，由余弦定理得， 在中，， 因为， 所以， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以，解得或（舍去）， 所以的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$