第二讲 因数与倍数（讲义+强化训练）-2024-2025学年人教版五年级下册期末复习宝典

第二讲 因数与倍数 考点1 因数和倍数的意义 4 考点2 找一个数的因数的方法 7 考点3 找一个数的倍数的方法 10 考点4 2的倍数特征 14 考点5 3的倍数特征 17 考点6 5的倍数特征 20 考点7 合数与质数的初步认识 23 考点回顾 1．因数和倍数的意义 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4.2的倍数特征 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示；最小的奇数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 5.3的倍数特征 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 6.5的倍数特征 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7.合数与质数的初步认识 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 方法归纳 找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 考点1 因数和倍数的意义 典例 例1（2024春•花都区期末）下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和6 B．2.4和0.6 C．6和24 D．24和12 【答案】D 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为24÷12=2，符合题意，所以24是12的倍数。 故选：D。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 例2（2024春•济南期中）下面四组数中，有因数和倍数关系的是（　　） A．9和2 B．3.6和0.6 C．23和92 D．1.1和44 【答案】C 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为92÷23=4，因此有因数和倍数关系的是23和92。 故选：C。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 【变式练1】（2024春•黄石期末）在14=2×7中，2和7都是14的（　　） A．质数 B．因数 C．倍数 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数；据此解答。 【解答】解：在14=2×7中，2和7都是14的因数。 故选：B。 【变式练2】（2024春•天桥区期末）下面的数中，（　　）是14的倍数。 A．80 B．7 C．4.2 D．56 【答案】D 【分析】若整数a能够被b（b≠0）整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：80÷14=5......10 7÷14=0.5 4.2÷14=0.3 56÷14=4 故选：D。 【变式练3】（2024春•海口期末）因为8×9=72，所以72是 ______的倍数，也是 ______的倍数； ______和 ______都是72的因数。 【答案】8，9，8，9。 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【解答】解：因为8×9=72，所以72÷8=9，72÷9=8，所以72是8的倍数，也是9的倍数；8和9都是72的因数。 故答案为：8，9，8，9。 【变式练4】（2023秋•青岛期末）如果A是B的倍数，B是C的倍数，那么C是A的 ______。 【答案】因数。 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数A能被数B整除（B≠0），A就叫作B的倍数，B就叫作A的因数；由此解答即可。 【解答】解：如果A是B的倍数，B是C的倍数，那么C是A的因数。 故答案为：因数。 【变式练5】（2024春•东城区校级期中）24是6的倍数。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数A能被数B整除（B≠0），A就叫作B的倍数，B就叫作A的因数；由此解答即可。 【解答】解：24是6的倍数，说法正确。 故答案为：√。 【变式练6】（2024春•鄄城县期中）因为4÷0.5=8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数．______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答． 【解答】解：4÷0.5=8，只是4能被0.5除尽，不是整除； 倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非0自然数范围内，所以原题说法错误； 故答案为：×． 考点2 找一个数的因数的方法 典例 例1（2025春•西安期中）下面各数中，不是32的因数的数是（　　） A．12 B．8 C．16 【答案】A 【分析】32的因数有：1、2、4、8、16、32；由此解答即可。 【解答】解：32的因数有：1、2、4、8、16、32， 所以12不是32的因数． 故选：A。 【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法。 例2（2024秋•南安市期末）梦雨花店要把90朵百合花包成花束，不能正好分完的是（　　） A．5朵一束 B．6朵一束 C．8朵一束 D．18朵一束 【答案】C 【分析】根据找一个数的因数的方法，找出90的所以因数，即可得出结论。 【解答】解：90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。所以梦雨花店要把90朵百合花包成花束，不能正好分完的是8朵一束。 故选：C。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 【变式练1】（2024春•南昌期中）下列各数中，不是54的因数的是（　　） A．6 B．18 C．24 D．54 【答案】C 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此判断。 【解答】解：A．54÷6=9，商是整数，没有余数，所以6是54的因数； B．54÷18=3，商是整数，没有余数，所以18是54的因数； C．54÷24=2……6，商是整数2，有余数，所以24不是54的因数； D．54÷54=1，商是整数，没有余数，所以54是54的因数。 答：选项中的各数，24不是54的因数。 故选：C。 【变式练2】（2024•高唐县）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（　　）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【分析】根据完全数的特点“一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身”，可先列举出各个选项的所有因数，并通过求和的方法来验证。 【解答】解：A.8的因数有：1、2、4、8，1+2+4=7，7≠8，所以8不是完全数。 B.28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14=28，所以28是完全数。 C.36的因数有：1、2、4、6、9、18，1+2+4+6+9+18=41，41≠36，所以36不是完全数。 D.49的因数有1、7、49，1+7=8，8≠49，所以49不是完全数。 故选：B。 【变式练3】（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 ______。 【答案】49。 【分析】首先确定前两个因数为1和7，后面的因数是这个数本身，据此求解即可。 【解答】解：49=1×49=7×7 所以49的因数为1、7、49，因此这个两位数是49。 故答案为：49。 【变式练4】（2023秋•李沧区期末）用一根72厘米长的铁丝做一个高为9厘米的长方体模型，接头处不记且没有剩余，能做成 ______种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数） 【答案】4。 【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，那么长+宽+高=棱长总和÷4，据此求出长与宽的和，然后可以推出长与宽各是多少厘米。 【解答】解：72÷4-9 =18-9 =9（厘米） 9=8+1=7+2=6+3=5+4 答：能做成4种不同的长方体。 故答案为：4。 【变式练5】（2024春•永兴县校级期中）一个整数越大，它的因数个数就越多． ______．（判断对错） 【答案】× 【分析】根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数至少有3个因数”进而判断即可． 【解答】解：质数不管有多大，都只有1和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数； 而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有1、2和4共三个因数； 所以，一个数越大，它的因数的个数就越多，说法错误． 故答案为：×． 【变式练6】（2024•蓝山县）一个数的因数的个数是无限的，最小的因数是1。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】依据题意可知，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它自己，由此解答本题。 【解答】解：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它自己，本题说法错误。 故答案为：×。 考点3 找一个数的倍数的方法 例1（2024秋•市南区期末）一个数是8的倍数，那么它一定也是（　　）的倍数典例 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】因为8和2是倍数关系，8是2的4倍，所以一个数是8的倍数，就一定是2的倍数。 【解答】解：8÷2=4 所以，一个数是8的倍数，那么它一定也是2的倍数。 故选：A。 【点评】解答此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析解答即可。 例2（2024春•秦安县期中）要使1280是3的倍数，至少要加上（　　） A．1 B．3 C．4 【答案】A 【分析】根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可． 【解答】解：1+2+8+0=11，11+1=12，12能被3整除，所以至少加1； 故选：A． 【点评】解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 【变式练1】（2024春•灵宝市期中）仪仗队所有同学起排队。若排成每行5人的方阵，则多了4人；若排成每行7人的方阵，则恰好排完。这个仪仗队可能共有（　　）人。 A．21 B．24 C．35 D．84 【答案】D 【分析】因为若排成每行5人的方阵，则多了4人，那么人数减去4后是5的倍数，因为若排成每行7人的方阵，则恰好排完，那么人数是7的倍数；找出选项中是7的倍数，并且减去4之后是3的倍数的数即可。 【解答】解：A.因为21-4=17，17不能被5整除，17不是5的倍数，所以选项错误； B.因为24不能被7整除，所以24不是7的倍数，所以选项错误； C.因为35-4=31，31不能被5整除，31不是5的倍数，所以选项错误； D.因为84÷7=12，84是7的倍数，84-4=80，80÷5=16，80是5的倍数，所以这个仪仗队可能共有84人，选项正确。 故选：D。 【变式练2】（2023春•大丰区期中）五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（　　）人。 A．42 B．45 C．48 D．42或48 【答案】D 【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……，从中找出符合要求的倍数，即可解答。 【解答】解：在40～50之间3的倍数有：42，45，48，又因为五（1）的学生人数是偶数，所以这个班人数可能有42人或48人。 故选：D。 【变式练3】（2023春•蕉岭县期末）有一串七色珠子，每种颜色颗数相等，珠子的数量在120～130之间，算一算，有 ______颗珠子。 【答案】126。 【分析】因为每种颜色颗数相等，所以珠子的颗数是7的倍数，找出120～130之间的7的倍数即可。 【解答】解：在120～130之间，7的倍数只有126，所以珠子有126颗。 故答案为：126。 【变式练4】（2023春•丹江口市期末）100，98，96，94，……，8，6，4，2。这些数中每个数都是 ______的倍数，其中第10个数是 ______。 【答案】2，82。 【分析】仔细观察这一数列不难发现，个位数都是偶数，根据偶数的意义，每个偶数都是2的倍数，因而，这个数列中每个数都是2的倍数；这个等差数列，从第2个数开始，每个数都比前1个数少2，即第2个数比第一个数少1个2、第3个数比100少2个2，第4个数比100少3个2……，第10个数比100少9个2。 【解答】解：100，98，96，94，……，8，6，4，2。这列数中，每个数都是偶数，即2的倍数； 100-2×（10-1） =100-2×9 =100-18 =82 即第10个数是82。 故答案为：2，82。 【变式练5】（2024•金堂县）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数． ______（判断对错） 【答案】√． 【分析】把6分解因数发现，2和3都是6的因数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数． 【解答】解：6=2×3， 6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数． 原题说法正确． 故答案为：√． 【变式练6】100以内15的倍数有6个。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】求一个数倍数的方法：用这个数分别乘自然数：1、2、3、4、5……，就得到这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍……；据此求出100以内15的所有倍数即可。 【解答】解：15×1=15 15×2=30 15×3=45 15×4=60 15×5=75 15×6=90 15×7=105 100以内15的倍数有：15、30、45、60、75、90，共有6个，所以原题说法正确。 故答案为：√。 考点4 2的倍数特征 典例 例1（2024春•科左中旗期中）个位上是______的数，都是2的倍数． 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数． 【解答】解：个位上是偶数的数，都是2的倍数． 故答案为：偶数． 【点评】本题主要是考查2的倍数特征，属于基础知识，要记住． 例2（2023秋•寿县期中）56□是2的倍数，□中可以填数字有 ______。 【答案】0，2，4，6，8。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数字都是2的倍数，据此解答。 【解答】解：56□是2的倍数，□中可以填数字有0，2，4，6，8。 故答案为：0，2，4，6，8。 【点评】本题侧重考查2的倍数特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示；最小的奇数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 【变式练1】（2023春•保定期中）下面各数被2除余数都为0的一组是（　　） A．98，45，301 B．39，48，52 C．42，980，66 【答案】C 【分析】被2除余数都为0，即能被2整除，根据能被2整除的数的特征：该数的个位数是偶数；进而选择即可． 【解答】解：A、45、301个位数为奇数，这两个数不能被2整除； B、39的个位数为奇数，这个数不能被2整除； C、42、980、66的个位数都为偶数，能被2整除； 故选：C。 【变式练2】一个两位数是2的倍数，这个两位数最大可能是（　　） A．90 B．99 C．98 D．100 【答案】C 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，从所有的两位数中找出最大的且是2的倍数的数即可。 【解答】解：一个两位数是2的倍数，个位上最大应是8，十位上最大是9，所以这个两位数最大可能是98。 故选：C。 【变式练3】一个两位数是2的倍数，并且它的十位数是个位数的4倍，这个两位数是 ______。 【答案】82。 【分析】一个两位数是2的倍数，说明个位是0、2、4、6、8，它的十位数是个位数的4倍，个位只能是2，十位是8，由此解答。 【解答】解：一个两位数是2的倍数，并且它的十位数是个位数的4倍，这个两位数是82。 故答案为：82。 【变式练4】2的倍数中最小的三位数是______；最大的三位数是______． 【答案】见试题解答内容 【分析】是2的倍数的特征是个位上必须是0、2、4、6、8，是2的倍数的最小的三位数是100；最大的三位数是998． 【解答】解：2的倍数中最小的三位数是100；最大的三位数是998． 故答案为：100，998． 【变式练5】（2023春•伊犁州期末）4的倍数一定是2的倍数． ______．（判断对错） 【答案】√ 【分析】因为4和2是倍数关系，4是2的2倍；所以一个数是4的倍数，就一定是2的倍数；进而得出结论． 【解答】解：4÷2=2倍； 一个数是4的倍数，一定是2的倍数；所以4的倍数一定是2的倍数说法正确． 故答案为：√． 【变式练6】奇数加1后都是2的倍数． ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】根据偶数、奇数的性质：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，据此判断即可． 【解答】解：因为是2的倍数的数叫做偶数，所以任何奇数加1后得数是偶数，一定是2的倍数．这种说法是正确的． 故答案为：√． 考点5 3的倍数特征 典例 例1（2025春•宁乡市期中）下面各组数中，除以3没有余数的是（　　） A．345 B．373 C．991 【答案】A 【分析】能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除。 【解答】解：A．3+4+5=12，12能被3整除，符合题意； B．3+7+3=13，13不能被3整除，不符合题意； C．9+9+1=19，19不能被3整除，不符合题意。 故选：A。 【点评】解答本题的关键是，准确掌握3的倍数特征。 例2（2025春•太原期中）下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），（　　）一定是3的倍数。 B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY 【答案】B 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。 【解答】解：用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），XYXYXY一定是3的倍数。 故选：B。 【点评】本题主要考查3的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 【变式练1】（2024春•越秀区期末）在1至100的自然数中，3的倍数一共有（　　）个。 A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】在1～100的自然数中，3的倍数有3、6、9、12、15、……99，99=3×33，共有33个，据此解答即可。 【解答】解：100÷3=33……1 3的倍数共有33个。 故选：B。 【变式练2】（2024春•鄂城区期中）要使三位数“42□”是3的倍数，“□”里最大能填（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】解：4+2=6，要使三位数“42□”是3的倍数，“□”里可以填0、3、6、9，最大能填9。 故选：D。 【变式练3】（2024春•章丘区校级期中）385至少再加 ______是3的倍数。 【答案】2。 【分析】3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是 3 的倍数。 【解答】解：3+8+5=16 18-16=2 答：385至少再加2是3的倍数。 故答案为：2。 【变式练4】73□，要使这个数是3的倍数，□里最小可填 ______，最大能填 ______。 【答案】2；8。 【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】解：7+3=10 10+2=12 10+8=18 12和18是3的倍数。 答：73□，要使这个数是3的倍数，□里最小可填2，最大能填8。 故答案为：2；8。 【变式练5】（2025春•君山区校级期中）个位上是3、6、9的数都是3的倍数。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】3的倍数特征是每个数位上的数相加的和可以被3整除，举反例说明，16个位上的数是6，但16中1+6=7，7不能被3整除，因此16不是3的倍数，利用19，26，29等等，因此原题说法错误。 【解答】解：16，26，19，29.......不是3的倍数，因此原题说法错误。 故答案为：×。 【变式练6】（2024•綦江区）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】本题可设出三个连续自然数，然后求出它们的和，再分析和与3的倍数关系。 【解答】解：设这三个连续自然数分别为n-1，n,n+1 （n为自然数且n≥1 ）。将这三个数相加可得：（n-1）+n+（n+1）去括号：n-1+n+n+1= （n+n+n）+（-1+1）=3n。因为3n÷3=n,n是自然数，这表明3n能被3整除，也就是3n是3的倍数。所以，任意三个连续自然数的和都是3的倍数，原题说法正确。 故答案为：√。 考点6 5的倍数特征 典例 例1（2024春•巴楚县期中）下面各数中，除以5没有余数的是（　　） A．942 B．536 C．400 【答案】C 【分析】除数是一位数的笔算除法，要从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位不够商1，就对着这一位商0，除的过程中每一步的余数必须小于除数；据此先用选项中的数除以5，分别求出算式的结果，找出没有余数的即可求解。 【解答】解：A．942÷5=188……2 B．536÷5=107……1 C．400÷5=80 所以，上面各数中，除以5没有余数的是400。 故选：C。 【点评】此题考查了5的倍数特征，要求学生掌握。 例2（2023秋•威县期末）把一些巧克力每5块装一盒，正好装完，这些巧克力可能有（　　）块。 A．34 B．45 C．52 【答案】B 【分析】巧克力每5块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是5的倍数，5的倍数的特征是这个数个位上的数是0，5。 【解答】解：巧克力每5块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是5的倍数，这些巧克力可能有45块。 故选：B。 【点评】本题考查了5的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 【变式练1】（2023•武侯区）某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差4岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最大是（　　）岁。 A．45 B．50 C．55 D．无法计算 【答案】B 【分析】从题中条件看，较年轻的老师年龄的个位数至少是6（否则，如果个位数比6小，那么加4后，没有进位，这时，他俩年龄的各位数字的“和”仍是相差4，这两个“和”不可能都是5的倍数），而老师的年龄通常都是两位数，可见，较年轻的老师年龄只能是a6或b7或c8或d9（a、b、c、d表示年龄的十位数）。 【解答】解：因为两位老师年龄的各位数字的和都是5的倍数， 所以从上述分析可知：较年轻的老师的年龄是46或37或28或19， 于是较年长的老师的年龄应是50或41或32或23； 由此可见较年长的老师的年龄最多是50岁。 故选：B。 【变式练2】（2023春•兴仁市月考）被5除余数为0的数是（　　） A．90 B．78 C．162 【答案】A 【分析】求被5除余数为0的数也就是求5的倍数，也就是个位上是0或5的数，据此解答。 【解答】解：被5除余数为0的数是90。 故选：A。 【变式练3】（2023春•兖州区期末）有一个两位数，它是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数最小是 ______。 【答案】见试题解答内容 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解答】解：因为是5的倍数，个位只能是0或者5；当个位是0时，十位是：7-0=7，这个数是70；当个位是5时，十位是：7-5=2，这个数是25；25＜70，因此这个两位数最小是25。 故答案为：25。 【变式练4】一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是 ______。 【答案】25或70。 【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数都是5的倍数。一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是25或70。据此解答。 【解答】解：一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是25或70。 故答案为：25或70。 【变式练5】是5的倍数的数，个位上一定是0或5。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，判断即可。 【解答】解：被5整除特征：个位上是0或5的数，所以“是5的倍数的数，个位上一定是0或5”是正确的。 故答案为：√。 【变式练6】在一道没有余数的除法算式中，若被除数是除数的5倍，则商一定是5。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】因为被除数是除数的5倍，所以“被除数÷除数=5”，即商是5；由此判断即可。 【解答】解：因为没有余数，“被除数÷除数=5”，所以商是5。 因此题干中结论是正确的。 故答案为：√。 考点7 合数与质数的初步认识 典例 例1（2025春•莱阳市期中）在2、31、91、97、51、87、29这七个数中，质数有（　　）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。明确质数的定义，然后判断这七个数字中哪些是质数并统计个数。 【解答】解：91=7×31；51=3×17；87=3×29；91，51，87是合数，2、31、97、29是质数，质数一共有4个。 故选：C。 【点评】本题考查了质数、合数的特征。 例2（2025春•桓台县期中）如果A表示一个质数，B表示一个合数，那么下面（　　）的结果一定是合数。 A．A+B B．A÷B C．A×B D．A-B 【答案】C 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；对于A，如3+4=7，7是质数，据此即可判断A的正误，接下来根据质数与合数的定义，自己试着判断B、C、D。 【解答】解：A、3是质数，4是合数，3+4=7，7是质数，故A错误； B、5÷4=，不是合数，故B错误。 C、如果A表示一个质数，B表示一个合数，则×B一定是合数，故C正确； D、5是质数，4是合数，5-4=1，1既不是质数也不是合数，故D错误。 故选：C。 【点评】本题质数与合数的初步认识，解答本题的关键是掌握质数与合数的定义。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 【变式练1】（2024秋•长春期末）在1、2、6、21、137、2901这些数中有两个质数，它们是（　　） A．1和2 B．2和21 C．2和137 D．2和2901 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数。 【解答】解：在1、2、6、21、137、2901这些数中： 1既不是质数也不是合数； 质数是：2和137； 合数是：6、21和2901； 故选：C。 【变式练2】（2025•重庆模拟）有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，形如2n-1（n为质数）的数为梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数、是合数时就叫梅森合数，例如：22-1=3就是第一个梅森质数，那么第一个梅森合数是（　　） A．4 B．15 C．127 D．2047 【答案】D 【分析】根据新定义，对4个选项分别验证，即可得出结论。 【解答】解：选项A：2n-1=4，n无整数解； 选项B：2n-1=15，n为4，但n不是质数，故舍去； 选项C：2n-1=127，n为7，127不是合数，故舍去； 选项D：2n-1=2047，n为11，n为质数，且2047=23×89，是合数，满足条件。 故选：D。 【变式练3】（2025春•安溪县期中）李爷爷今年已过花甲之年（60岁），未到古稀之年（70岁），且年龄是合数，李爷爷今年最少 ______岁。 【答案】62。 【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”“1”既不是质数也不是合数。 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【解答】解：李爷爷今年已过花甲之年（60岁），未到古稀之年（70岁），且年龄是合数，李爷爷今年最少62岁。 故答案为：62。 【变式练4】（2025春•海口期中）一个四位数，千位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最大的一位数，个位上的数既不是质数，也不是合数，这个数是 ______。 【答案】4291。 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，最大的一位数是9，1既不是质数，也不是合数。 【解答】解：一个四位数，千位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最大的一位数，个位上的数既不是质数，也不是合数，这个数是4291。 故答案为：4291。 【变式练5】（2023秋•九台区期末）妈妈买回50颗糖果，请丁丁分成两份，要求每份的颗数都是质数。请你帮丁丁写出所有分法。（不能重复） 【答案】3和47，7和43，13和37，19和31。 【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。0和1既不是质数也不是合数。 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【解答】解：50可以分成3和47，7和43，13和37，19和31。 【变式练5】（2024春•合阳县期中）小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到188，请你帮助他纠正错误，看正确的结果是多少？ 【答案】376。 【分析】根据最小的合数是4，最小的质数是2，和乘与除的互逆运算，解答此题即可。 【解答】解：188÷2=94 94×4=376 答：正确的结果是376。 学科网（北京）股份有限公司 $$第二讲 因数与倍数 强化训练 一．选择题（共 12 小题） 1．下列各数中，（　　）是 42的因数。 A．4 B．12 C．14 D．84 2．如果 N=2×2×3×3，那么 N有（　　）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 3．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和 6 B．2.4和 0.6 C．6和 24 D．24和 12 4．用 5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是（　　） A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 5．下面各数中，（　　）既是 2的倍数，又是 3和 5的倍数。 A．225 B．350 C．240 D．745 6．下列哪个数是 100以内的质数？（　　） A．25 B．49 C．67 D．90 7．下列各组数中，三个连续自然数都是合数的是（　　） A．14，15，16 B．7，8，9 C．13，14，15 D．18，19，20 8．下面哪个数是 20的倍数？（　　） A．18 B．25 C．40 D．50 9．完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如：6的因数有 1，2， 3，6，这几个因数的关系就是：1+2+3=6，则 6是一个完全数。下面四个选项中是 完全数的是（　　） A．2 B．8 C．14 D．28 10．秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有 264个步兵佣。用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是（　　） A．2个 2个地数 B．3个 3个地数 C．4个 4个地数 D．5个 5个地数 11．五年级一班第一小组 20名同学围成一圈玩“3的倍数和尾数”这个游戏，游 戏规则是：从 1开始一个一个往后数，遇到 3的倍数或个位上是 3的数时要说 “过”。一圈数下来，一共要说（　　）次“过”字。 A．4 B．5 C．6 D．7 12．下面的▲代表一个相同的数字。由▲和 0组成的四位数中，一定是 2、3、5的 公倍数的数是（　　） A．▲0▲0 B．▲▲00 C．▲▲▲0 D．▲0▲▲ 二．填空题（共 5 小题） 13．小明用数字卡片组成了两个三位数 a34和 51a,要使 a34是 3的倍数，51a是 2 的倍数，a可能是 ______或 ______。 14．一个三位数 43□，既是 2的倍数又是 3的倍数，□里填 ______；若它是 5的 倍数，□里填 ______。 15．既是 3的倍数，又是 2和 5的倍数的最大三位数是 ______。 16．三个非 0自然数 a、b、c之间的关系是：a÷b=c。我们可以说，a是 b和 c的 ______，b和 c是 a的 ______。 17．猜密码．如图是一个密码宝箱，密码是一组数字．第一个数字是最小自然数； 第二个数字是 6的最小倍数；第三个数字是最小的质数；第四个数字只有一个因 数；第五个数字是小于 10的最大质数；第六个数字最大的因数是 9．宝箱密码 是：______． 三．判断题（共 4 小题） 18．质数一定是奇数，合数一定是偶数． ______（ 判断对错） 19．因为 48÷3=16，所以 48是倍数，3和 16是因数。 ______ 20．一个数是 15的倍数，它一定同时是 3和 5的倍数．______ 21．在 2、7、42这三个自然数中，42是倍数，2和 7是因数。 ______ 四．操作题（共 1 小题） 22．如图，从 2至 100的数中划掉 2的倍数，再依次划掉 3、5、7的倍数（但 2、 3、5、7本身不划掉）．剩下的数都是什么数？ 五．解答题（共 4 小题） 23．商店里有 237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用 “因数和倍数”单元的知识解答。 24．小兰在文具店买了一些文具（钢笔和笔记本都有购买，但是数量未知），如图 分别是它们的单价。她付给商家 100元，找回了 16元。商家找回的钱数对吗？为 什么？请你用学过的知识说明你的思考过程。 25．12个同学面向老师做游戏，报数的结果如图所示。老师请报到 2的倍数的同 学向后转，再让报到 3的倍数的同学向后转。 （1）转了两次的同学有多少个？ （2）转身的同学共有多少个？ 26．思琪的 QQ密码是一个七位数，这个七位数用字母表示为 ABCDEFG，猜猜思琪 的 QQ密码是多少。 A：4的最小倍数。 B：最小的自然数。 C：6的最大因数。 D：既是 4的倍数，又是 4的因数。 E：它的所有因数是 1，2，3，6。 F：最小的质数。 G：既不是质数，又不是合数的非零自然数。 第二讲 因数与倍数 考点1 因数和倍数的意义 4 考点2 找一个数的因数的方法 6 考点3 找一个数的倍数的方法 7 考点4 2的倍数特征 9 考点5 3的倍数特征 11 考点6 5的倍数特征 12 考点7 合数与质数的初步认识 14 考点回顾 1．因数和倍数的意义 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4.2的倍数特征 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示；最小的奇数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 5.3的倍数特征 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 6.5的倍数特征 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7.合数与质数的初步认识 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 方法归纳 找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 考点1 因数和倍数的意义 典例 例1（2024春•花都区期末）下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和6 B．2.4和0.6 C．6和24 D．24和12 【答案】D 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为24÷12=2，符合题意，所以24是12的倍数。 故选：D。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 例2（2024春•济南期中）下面四组数中，有因数和倍数关系的是（　　） A．9和2 B．3.6和0.6 C．23和92 D．1.1和44 【答案】C 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为92÷23=4，因此有因数和倍数关系的是23和92。 故选：C。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 【变式练1】（2024春•黄石期末）在14=2×7中，2和7都是14的（　　） A．质数 B．因数 C．倍数 D．以上都不对 【变式练2】（2024春•天桥区期末）下面的数中，（　　）是14的倍数。 A．80 B．7 C．4.2 D．56 【答案】D 【变式练3】（2024春•海口期末）因为8×9=72，所以72是 ______的倍数，也是 ______的倍数； ______和 ______都是72的因数。 【变式练4】（2023秋•青岛期末）如果A是B的倍数，B是C的倍数，那么C是A的 ______。 【变式练5】（2024春•东城区校级期中）24是6的倍数。 ______（判断对错） 【变式练6】（2024春•鄄城县期中）因为4÷0.5=8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数．______（判断对错） 考点2 找一个数的因数的方法 典例 例1（2025春•西安期中）下面各数中，不是32的因数的数是（　　） A．12 B．8 C．16 【答案】A 【分析】32的因数有：1、2、4、8、16、32；由此解答即可。 【解答】解：32的因数有：1、2、4、8、16、32， 所以12不是32的因数． 故选：A。 【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法。 例2（2024秋•南安市期末）梦雨花店要把90朵百合花包成花束，不能正好分完的是（　　） A．5朵一束 B．6朵一束 C．8朵一束 D．18朵一束 【答案】C 【分析】根据找一个数的因数的方法，找出90的所以因数，即可得出结论。 【解答】解：90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。所以梦雨花店要把90朵百合花包成花束，不能正好分完的是8朵一束。 故选：C。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 【变式练1】（2024春•南昌期中）下列各数中，不是54的因数的是（　　） A．6 B．18 C．24 D．54 【变式练2】（2024•高唐县）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（　　）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【变式练3】（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 ______。 【变式练4】（2023秋•李沧区期末）用一根72厘米长的铁丝做一个高为9厘米的长方体模型，接头处不记且没有剩余，能做成 ______种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数） 【变式练5】（2024春•永兴县校级期中）一个整数越大，它的因数个数就越多． ______．（判断对错） 【变式练6】（2024•蓝山县）一个数的因数的个数是无限的，最小的因数是1。 ______（判断对错） 考点3 找一个数的倍数的方法 例1（2024秋•市南区期末）一个数是8的倍数，那么它一定也是（　　）的倍数典例 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】因为8和2是倍数关系，8是2的4倍，所以一个数是8的倍数，就一定是2的倍数。 【解答】解：8÷2=4 所以，一个数是8的倍数，那么它一定也是2的倍数。 故选：A。 【点评】解答此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析解答即可。 例2（2024春•秦安县期中）要使1280是3的倍数，至少要加上（　　） A．1 B．3 C．4 【答案】A 【分析】根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可． 【解答】解：1+2+8+0=11，11+1=12，12能被3整除，所以至少加1； 故选：A． 【点评】解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 【变式练1】（2024春•灵宝市期中）仪仗队所有同学起排队。若排成每行5人的方阵，则多了4人；若排成每行7人的方阵，则恰好排完。这个仪仗队可能共有（　　）人。 A．21 B．24 C．35 D．84 【变式练2】（2023春•大丰区期中）五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（　　）人。 A．42 B．45 C．48 D．42或48 【变式练3】（2023春•蕉岭县期末）有一串七色珠子，每种颜色颗数相等，珠子的数量在120～130之间，算一算，有 ______颗珠子。 【变式练4】（2023春•丹江口市期末）100，98，96，94，……，8，6，4，2。这些数中每个数都是 ______的倍数，其中第10个数是 ______。 【变式练5】（2024•金堂县）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数． ______（判断对错） 【变式练6】100以内15的倍数有6个。 ______（判断对错） 考点4 2的倍数特征 典例 例1（2024春•科左中旗期中）个位上是______的数，都是2的倍数． 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数． 【解答】解：个位上是偶数的数，都是2的倍数． 故答案为：偶数． 【点评】本题主要是考查2的倍数特征，属于基础知识，要记住． 例2（2023秋•寿县期中）56□是2的倍数，□中可以填数字有 ______。 【答案】0，2，4，6，8。 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数字都是2的倍数，据此解答。 【解答】解：56□是2的倍数，□中可以填数字有0，2，4，6，8。 故答案为：0，2，4，6，8。 【点评】本题侧重考查2的倍数特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示；最小的奇数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 【变式练1】（2023春•保定期中）下面各数被2除余数都为0的一组是（　　） A．98，45，301 B．39，48，52 C．42，980，66 【变式练2】一个两位数是2的倍数，这个两位数最大可能是（　　） A．90 B．99 C．98 D．100 【变式练3】一个两位数是2的倍数，并且它的十位数是个位数的4倍，这个两位数是 ______。 【变式练4】2的倍数中最小的三位数是______；最大的三位数是______． 【变式练5】（2023春•伊犁州期末）4的倍数一定是2的倍数． ______．（判断对错） 【变式练6】奇数加1后都是2的倍数． ______（判断对错） 考点5 3的倍数特征 典例 例1（2025春•宁乡市期中）下面各组数中，除以3没有余数的是（　　） A．345 B．373 C．991 【答案】A 【分析】能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除。 【解答】解：A．3+4+5=12，12能被3整除，符合题意； B．3+7+3=13，13不能被3整除，不符合题意； C．9+9+1=19，19不能被3整除，不符合题意。 故选：A。 【点评】解答本题的关键是，准确掌握3的倍数特征。 例2（2025春•太原期中）下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），（　　）一定是3的倍数。 B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY 【答案】B 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。 【解答】解：用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），XYXYXY一定是3的倍数。 故选：B。 【点评】本题主要考查3的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 【变式练1】（2024春•越秀区期末）在1至100的自然数中，3的倍数一共有（　　）个。 A．32 B．33 C．34 D．35 【变式练2】（2024春•鄂城区期中）要使三位数“42□”是3的倍数，“□”里最大能填（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式练3】（2024春•章丘区校级期中）385至少再加 ______是3的倍数。 【变式练4】73□，要使这个数是3的倍数，□里最小可填 ______，最大能填 ______。 【变式练5】（2025春•君山区校级期中）个位上是3、6、9的数都是3的倍数。 ______（判断对错） 【变式练6】（2024•綦江区）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 ______（判断对错） 考点6 5的倍数特征 典例 例1（2024春•巴楚县期中）下面各数中，除以5没有余数的是（　　） A．942 B．536 C．400 【答案】C 【分析】除数是一位数的笔算除法，要从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位不够商1，就对着这一位商0，除的过程中每一步的余数必须小于除数；据此先用选项中的数除以5，分别求出算式的结果，找出没有余数的即可求解。 【解答】解：A．942÷5=188……2 B．536÷5=107……1 C．400÷5=80 所以，上面各数中，除以5没有余数的是400。 故选：C。 【点评】此题考查了5的倍数特征，要求学生掌握。 例2（2023秋•威县期末）把一些巧克力每5块装一盒，正好装完，这些巧克力可能有（　　）块。 A．34 B．45 C．52 【答案】B 【分析】巧克力每5块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是5的倍数，5的倍数的特征是这个数个位上的数是0，5。 【解答】解：巧克力每5块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是5的倍数，这些巧克力可能有45块。 故选：B。 【点评】本题考查了5的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 【变式练1】（2023•武侯区）某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差4岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最大是（　　）岁。 A．45 B．50 C．55 D．无法计算 【变式练2】（2023春•兴仁市月考）被5除余数为0的数是（　　） A．90 B．78 C．162 【变式练3】（2023春•兖州区期末）有一个两位数，它是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数最小是 ______。 【变式练4】一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是 ______。 【变式练5】是5的倍数的数，个位上一定是0或5。 ______（判断对错） 【变式练6】在一道没有余数的除法算式中，若被除数是除数的5倍，则商一定是5。 ______（判断对错） 考点7 合数与质数的初步认识 典例 例1（2025春•莱阳市期中）在2、31、91、97、51、87、29这七个数中，质数有（　　）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。明确质数的定义，然后判断这七个数字中哪些是质数并统计个数。 【解答】解：91=7×31；51=3×17；87=3×29；91，51，87是合数，2、31、97、29是质数，质数一共有4个。 故选：C。 【点评】本题考查了质数、合数的特征。 例2（2025春•桓台县期中）如果A表示一个质数，B表示一个合数，那么下面（　　）的结果一定是合数。 A．A+B B．A÷B C．A×B D．A-B 【答案】C 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；对于A，如3+4=7，7是质数，据此即可判断A的正误，接下来根据质数与合数的定义，自己试着判断B、C、D。 【解答】解：A、3是质数，4是合数，3+4=7，7是质数，故A错误； B、5÷4=，不是合数，故B错误。 C、如果A表示一个质数，B表示一个合数，则×B一定是合数，故C正确； D、5是质数，4是合数，5-4=1，1既不是质数也不是合数，故D错误。 故选：C。 【点评】本题质数与合数的初步认识，解答本题的关键是掌握质数与合数的定义。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 【变式练1】（2024秋•长春期末）在1、2、6、21、137、2901这些数中有两个质数，它们是（　　） A．1和2 B．2和21 C．2和137 D．2和2901 【变式练2】（2025•重庆模拟）有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，形如2n-1（n为质数）的数为梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数、是合数时就叫梅森合数，例如：22-1=3就是第一个梅森质数，那么第一个梅森合数是（　　） A．4 B．15 C．127 D．2047 【变式练3】（2025春•安溪县期中）李爷爷今年已过花甲之年（60岁），未到古稀之年（70岁），且年龄是合数，李爷爷今年最少 ______岁。 【变式练4】（2025春•海口期中）一个四位数，千位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最大的一位数，个位上的数既不是质数，也不是合数，这个数是 ______。 【变式练5】（2023秋•九台区期末）妈妈买回50颗糖果，请丁丁分成两份，要求每份的颗数都是质数。请你帮丁丁写出所有分法。（不能重复） 【变式练5】（2024春•合阳县期中）小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到188，请你帮助他纠正错误，看正确的结果是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第二讲 因数与倍数 考点 1 因数和倍数的意义............................................4 考点 2 找一个数的因数的方法........................................6 考点 3 找一个数的倍数的方法........................................7 考点 4 2 的倍数特征 ................................................9 考点 5 3 的倍数特征 ...............................................11 考点 6 5 的倍数特征 ...............................................12 考点 7 合数与质数的初步认识.......................................14 1．因数和倍数的意义 假如整数 n 除以 m，结果是无余数的整数，那么我们称 m 就是 n 的因子． 需 要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 过来说，我们称 n为 m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有： 1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24 的因数就有： 1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数 的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是 2的倍数． 2．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样． 3．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数． 4．最后一位是 5或 0的数是 5的倍数． 5．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍 数．注意：“0”可以被任何数整除． 4.2 的倍数特征 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用 2n 表示。； 最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用 2n-1 表示；最小的奇 数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 5.3 的倍数特征 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍 数。 举例子：判断 127是不是 3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10 不是 3的倍数，所以 127不是 3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的 3个自然数中，就会有一个是 3的倍数。 6.5 的倍数特征 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是 5的倍数，它的个位一定是 0或 5； 如果一个奇数是 5的倍数，它的个位一定是 5； 如果一个偶数是 5的倍数，它的个位一定是 0。 7.合数与质数的初步认识 合数：指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0” “1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有 1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、 方法归纳 3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24 的因数就有：1、24、 2、12、3、8、4、6． 找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个 数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是 2的倍数． 2．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样． 3．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数． 4．最后一位是 5或 0的数是 5的倍数． 5．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意： “0”可以被任何数整除． 考点 1 因数和倍数的意义 例1（2024春•花都区期末）下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和 6 B．2.4和 0.6 C．6和 24 D．24和 12 【答案】D 【分析】若整数 a能够被 b整除，a叫作 b的倍数，b就叫作 a的因数，因数与 倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为 24÷12=2，符合题意，所以 24是 12的倍数。 故选：D。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 例 2（2024春•济南期中）下面四组数中，有因数和倍数关系的是（　　） 典例 A．9和 2 B．3.6和 0.6 C．23和 92 D．1.1和 44 【答案】C 【分析】若整数 a能够被 b整除，a叫作 b的倍数，b就叫作 a的因数，因数与 倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为 92÷23=4，因此有因数和倍数关系的是 23和 92。 故选：C。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 假如整数 n除以 m，结果是无余数的整数，那么我们称 m就是 n的因子． 需要注意的是， 唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称 n 为 m的倍数． 【变式练 1】（2024春•黄石期末）在 14=2×7中，2和 7都是 14的（　　） A．质数 B．因数 C．倍数 D．以上都不对 【变式练 2】（2024春•天桥区期末）下面的数中，（　　）是 14的倍数。 A．80 B．7 C．4.2 D．56 【答案】D 【变式练 3】（2024春•海口期末）因为 8×9=72，所以 72是 ______的倍数， 也是 ______的倍数； ______和 ______都是 72的因数。 【变式练 4】（2023秋•青岛期末）如果 A是 B的倍数，B是 C的倍数，那么 C 是 A的 ______。 【变式练 5】（2024春•东城区校级期中）24是 6的倍数。 ______（判断对错） 【变式练 6】（2024春•鄄城县期中）因为 4÷0.5=8，所以 4是 0.5的倍数，0.5 是 4的因数．______（判断对错） 考点 2 找一个数的因数的方法 例 1（2025春•西安期中）下面各数中，不是 32的因数的数是（　　） A．12 B．8 C．16 【答案】A 【分析】32的因数有：1、2、4、8、16、32；由此解答即可。 【解答】解：32的因数有：1、2、4、8、16、32， 所以 12不是 32的因数． 故选：A。 【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法。 例 2（2024秋•南安市期末）梦雨花店要把 90朵百合花包成花束，不能正好分完 的是（　　） A．5朵一束 B．6朵一束 C．8朵一束 D．18朵一束 【答案】C 【分析】根据找一个数的因数的方法，找出 90的所以因数，即可得出结论。 【解答】解：90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。所 以梦雨花店要把 90朵百合花包成花束，不能正好分完的是 8朵一束。 故选：C。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、 2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、 2、12、3、8、4、6． 典例 【变式练 1】（2024春•南昌期中）下列各数中，不是 54的因数的是（　　） A．6 B．18 C．24 D．54 【变式练 2】（2024•高唐县）6的因数有 1，2，3，6，这几个因数的关系是： 1+2+3=6。像 6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。 下面的数中，（　　）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【变式练 3】（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因 数从小到大来排，排在中间的是 7，这个两位数是 ______。 【变式练 4】（2023秋•李沧区期末）用一根 72厘米长的铁丝做一个高为 9厘米 的长方体模型，接头处不记且没有剩余，能做成 ______种不同的长方体。（长、 宽均为整厘米数） 【变式练 5】（2024春•永兴县校级期中）一个整数越大，它的因数个数就越 多． ______．（判断对错） 【变式练 6】（2024•蓝山县）一个数的因数的个数是无限的，最小的因数是 1。 ______（判断对错） 考点 3 找一个数的倍数的方法 例 1（2024秋•市南区期末）一个数是 8的倍数，那么它一定也是（　　）的倍 数 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】因为 8和 2是倍数关系，8是 2的 4倍，所以一个数是 8的倍数，就一 定是 2的倍数。 【解答】解：8÷2=4 典例 所以，一个数是 8的倍数，那么它一定也是 2的倍数。 故选：A。 【点评】解答此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析解答即可。 例 2（2024春•秦安县期中）要使 1280是 3的倍数，至少要加上（　　） A．1 B．3 C．4 【答案】A 【分析】根据能被 3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被 3整除；进 行解答即可． 【解答】解：1+2+8+0=11，11+1=12，12能被 3整除，所以至少加 1； 故选：A． 【点评】解答此题的关键是：根据能被 3整除的数的特征，进行解答． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是 无限的． 1．末尾是偶数的数就是 2的倍数． 2．各个数位加起来能被 3整除的数就是 3的倍数．9的道理和 3一样． 3．最后两位数能被 4整除的数是 4的倍数． 4．最后一位是 5或 0的数是 5的倍数． 5．最后 3位数能被 8整除的数是 8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注意： “0”可以被任何数整除． 【变式练 1】（2024春•灵宝市期中）仪仗队所有同学起排队。若排成每行 5人 的方阵，则多了 4人；若排成每行 7人的方阵，则恰好排完。这个仪仗队可能共 有（　　）人。 A．21 B．24 C．35 D．84 【变式练 2】（2023春•大丰区期中）五（1）班的学生数是 40～50之间的一个 偶数，如果每 3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班 可能有（　　）人。 A．42 B．45 C．48 D．42或 48 【变式练 3】（2023春•蕉岭县期末）有一串七色珠子，每种颜色颗数相等，珠 子的数量在 120～130之间，算一算，有 ______颗珠子。 【变式练 4】（2023 春•丹江口市期末）100，98，96，94，……，8，6，4，2。 这些数中每个数都是 ______的倍数，其中第 10个数是 ______。 【变式练 5】（2024•金堂县）如果一个数是 6的倍数，那么它一定是 2和 3的 倍数． ______（判断对错） 【变式练 6】100以内 15的倍数有 6个。 ______（判断对错） 考点 4 2 的倍数特征 例 1（2024春•科左中旗期中）个位上是______的数，都是 2的倍数． 【分析】根据 2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是 2的倍 数． 【解答】解：个位上是偶数的数，都是 2的倍数． 故答案为：偶数． 【点评】本题主要是考查 2的倍数特征，属于基础知识，要记住． 例 2（2023秋•寿县期中）56□是 2的倍数，□中可以填数字有 ______。 【答案】0，2，4，6，8。 【分析】个位上是 0、2、4、6、8的数字都是 2的倍数，据此解答。 【解答】解：56□是 2的倍数，□中可以填数字有 0，2，4，6，8。 故答案为：0，2，4，6，8。 【点评】本题侧重考查 2的倍数特征。 典例 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。；最小的偶 数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用 2n-1表示；最小的奇数是 1。 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 【变式练 1】（2023春•保定期中）下面各数被 2除余数都为 0的一组是（　　） A．98，45，301 B．39，48，52 C．42，980，66 【变式练 2】一个两位数是 2的倍数，这个两位数最大可能是（　　） A．90 B．99 C．98 D．100 【变式练 3】一个两位数是 2的倍数，并且它的十位数是个位数的 4倍，这个两 位数是 ______。 【变式练 4】2的倍数中最小的三位数是______；最大的三位数是______． 【变式练 5】（2023春•伊犁州期末）4的倍数一定是 2的倍数． ______．（判 断对错） 【变式练 6】奇数加 1后都是 2的倍数． ______（判断对错） 考点 5 3 的倍数特征 典例 例 1（2025春•宁乡市期中）下面各组数中，除以 3没有余数的是（　　） A．345 B．373 C．991 【答案】A 【分析】能被 3整除的数的特征：各个数位上数的和能被 3整除。 【解答】解：A．3+4+5=12，12能被 3整除，符合题意； B．3+7+3=13，13不能被 3整除，不符合题意； C．9+9+1=19，19不能被 3整除，不符合题意。 故选：A。 【点评】解答本题的关键是，准确掌握 3的倍数特征。 例 2（2025春•太原期中）下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自 然数，X不为 0），（　　）一定是 3的倍数。 B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY 【答案】B 【分析】根据 3的倍数的特征：一个数各个数位上数的和是 3的倍数，这个数就 是 3的倍数，据此解答。 【解答】解：用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z 是自然数，X 不为 0）， XYXYXY一定是 3的倍数。 故选：B。 【点评】本题主要考查 3的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断 127是不是 3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7=10，10不是 3 的倍数，所以 127不是 3的倍数。 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的 3个自然数中，就会有一个是 3的倍数。 【变式练 1】（2024春•越秀区期末）在 1至 100的自然数中，3的倍数一共有 （　　）个。 A．32 B．33 C．34 D．35 【变式练 2】（2024春•鄂城区期中）要使三位数“42□”是 3的倍数，“□” 里最大能填（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式练 3】（2024春•章丘区校级期中）385至少再加 ______是 3的倍数。 【变式练 4】73□，要使这个数是 3的倍数，□里最小可填 ______，最大能填 ______。 【变式练 5】（2025 春•君山区校级期中）个位上是 3、6、9 的数都是 3 的倍数。 ______（判断对错） 【变式练 6】（2024•綦江区）任意三个连续自然数的和都是 3的倍数。 ______ （判断对错） 考点 6 5 的倍数特征 例 1（2024春•巴楚县期中）下面各数中，除以 5没有余数的是（　　） A．942 B．536 C．400 【答案】C 【分析】除数是一位数的笔算除法，要从被除数的最高位除起，除到被除数的哪 一位不够商 1，就对着这一位商 0，除的过程中每一步的余数必须小于除数；据 此先用选项中的数除以 5，分别求出算式的结果，找出没有余数的即可求解。 【解答】解：A．942÷5=188……2 B．536÷5=107……1 C．400÷5=80 所以，上面各数中，除以 5没有余数的是 400。 故选：C。 典例 【点评】此题考查了 5的倍数特征，要求学生掌握。 例 2（2023秋•威县期末）把一些巧克力每 5块装一盒，正好装完，这些巧克力 可能有（　　）块。 A．34 B．45 C．52 【答案】B 【分析】巧克力每 5块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是 5的倍数，5的 倍数的特征是这个数个位上的数是 0，5。 【解答】解：巧克力每 5 块装一盒，正好装完，说明巧克力的块数是 5 的倍数， 这些巧克力可能有 45块。 故选：B。 【点评】本题考查了 5的倍数的特征。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 如果一个数是 5的倍数，它的个位一定是 0或 5； 如果一个奇数是 5的倍数，它的个位一定是 5； 如果一个偶数是 5的倍数，它的个位一定是 0。 【变式练 1】（2023•武侯区）某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差 4 岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最大是（　　） 岁。 A．45 B．50 C．55 D．无法计算 【变式练 2】（2023春•兴仁市月考）被 5除余数为 0的数是（　　） A．90 B．78 C．162 【变式练 3】（2023春•兖州区期末）有一个两位数，它是 5的倍数，个位和十 位上的数字之和是 7，这个两位数最小是 ______。 【变式练 4】一个两位数是 5的倍数，个位和十位上的数字之和是 7，这个两位 数是 ______。 【变式练 5】是 5的倍数的数，个位上一定是 0或 5。 ______（判断对错） 【变式练 6】在一道没有余数的除法算式中，若被除数是除数的 5倍，则商一定 是 5。 ______（判断对错） 考点 7 合数与质数的初步认识 例 1（2025春•莱阳市期中）在 2、31、91、97、51、87、29这七个数中，质数 有（　　）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】质数是指在大于 1的自然数中，除了 1和它本身以外不再有其他因数的 自然数。明确质数的定义，然后判断这七个数字中哪些是质数并统计个数。 【解答】解：91=7×31；51=3×17；87=3×29；91，51，87是合数，2、31、 97、29是质数，质数一共有 4个。 故选：C。 【点评】本题考查了质数、合数的特征。 例 2（2025春•桓台县期中）如果 A表示一个质数，B表示一个合数，那么下面 （　　）的结果一定是合数。 A．A+B B．A÷B C．A×B D．A-B 【答案】C 【分析】一个自然数，如果只有 1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个 自然数如果除了 1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；对于 A，如 3+4=7，7是质数，据此即可判断 A的正误，接下来根据质数与合数的定义，自 典例 己试着判断 B、C、D。 【解答】解：A、3是质数，4是合数，3+4=7，7是质数，故 A错误； B、5÷4= 5 4 ， 5 4 不是合数，故 B错误。 C、如果 A表示一个质数，B表示一个合数，则×B一定是合数，故 C正确； D、5是质数，4是合数，5-4=1，1既不是质数也不是合数，故 D错误。 故选：C。 【点评】本题质数与合数的初步认识，解答本题的关键是掌握质数与合数的定义。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 合数：指自然数中除了能被 1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1” 既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有 1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 【变式练 1】（2024秋•长春期末）在 1、2、6、21、137、2901这些数中有两个 质数，它们是（　　） A．1和 2 B．2和 21 C．2和 137 D．2和 2901 【变式练 2】（2025•重庆模拟）有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的， 形如 2n-1（n为质数）的数为梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数、是合数 时就叫梅森合数，例如：22-1=3就是第一个梅森质数，那么第一个梅森合数是 （　　） A．4 B．15 C．127 D．2047 【变式练 3】（2025春•安溪县期中）李爷爷今年已过花甲之年（60岁），未到 古稀之年（70岁），且年龄是合数，李爷爷今年最少 ______岁。 【变式练 4】（2025春•海口期中）一个四位数，千位上的数是最小的合数，百 位上的数是最小的质数，十位上的数是最大的一位数，个位上的数既不是质数， 也不是合数，这个数是 ______。 【变式练 5】（2023秋•九台区期末）妈妈买回 50颗糖果，请丁丁分成两份，要 求每份的颗数都是质数。请你帮丁丁写出所有分法。（不能重复） 【变式练 5】（2024春•合阳县期中）小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小 的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到 188，请你帮助 他纠正错误，看正确的结果是多少？ 第二讲 因数与倍数 强化训练 一．选择题（共12小题） 1．下列各数中，（　　）是42的因数。 A．4 B．12 C．14 D．84 2．如果N=2×2×3×3，那么N有（　　）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 3．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和6 B．2.4和0.6 C．6和24 D．24和12 4．用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是（　　） A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 5．下面各数中，（　　）既是2的倍数，又是3和5的倍数。 A．225 B．350 C．240 D．745 6．下列哪个数是100以内的质数？（　　） A．25 B．49 C．67 D．90 7．下列各组数中，三个连续自然数都是合数的是（　　） A．14，15，16 B．7，8，9 C．13，14，15 D．18，19，20 8．下面哪个数是20的倍数？（　　） A．18 B．25 C．40 D．50 9．完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如：6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：1+2+3=6，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是（　　） A．2 B．8 C．14 D．28 10．秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵佣。用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是（　　） A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 11．五年级一班第一小组20名同学围成一圈玩“3的倍数和尾数”这个游戏，游戏规则是：从1开始一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”。一圈数下来，一共要说（　　）次“过”字。 A．4 B．5 C．6 D．7 12．下面的▲代表一个相同的数字。由▲和0组成的四位数中，一定是2、3、5的公倍数的数是（　　） A．▲0▲0 B．▲▲00 C．▲▲▲0 D．▲0▲▲ 二．填空题（共5小题） 13．小明用数字卡片组成了两个三位数a34和51a,要使a34是3的倍数，51a是2的倍数，a可能是 ______或 ______。 14．一个三位数43□，既是2的倍数又是3的倍数，□里填 ______；若它是5的倍数，□里填 ______。 15．既是3的倍数，又是2和5的倍数的最大三位数是 ______。 16．三个非0自然数a、b、c之间的关系是：a÷b=c。我们可以说，a是b和c的 ______，b和c是a的 ______。 17．猜密码．如图是一个密码宝箱，密码是一组数字．第一个数字是最小自然数；第二个数字是6的最小倍数；第三个数字是最小的质数；第四个数字只有一个因数；第五个数字是小于10的最大质数；第六个数字最大的因数是9．宝箱密码是：______． 三．判断题（共4小题） 18．质数一定是奇数，合数一定是偶数． ______（ 判断对错） 19．因为48÷3=16，所以48是倍数，3和16是因数。 ______ 20．一个数是15的倍数，它一定同时是3和5的倍数．______ 21．在2、7、42这三个自然数中，42是倍数，2和7是因数。 ______ 四．操作题（共1小题） 22．如图，从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．剩下的数都是什么数？ 五．解答题（共4小题） 23．商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 24．小兰在文具店买了一些文具（钢笔和笔记本都有购买，但是数量未知），如图分别是它们的单价。她付给商家100元，找回了16元。商家找回的钱数对吗？为什么？请你用学过的知识说明你的思考过程。 25．12个同学面向老师做游戏，报数的结果如图所示。老师请报到2的倍数的同学向后转，再让报到3的倍数的同学向后转。 （1）转了两次的同学有多少个？ （2）转身的同学共有多少个？ 26．思琪的QQ密码是一个七位数，这个七位数用字母表示为ABCDEFG，猜猜思琪的QQ密码是多少。 A：4的最小倍数。 B：最小的自然数。 C：6的最大因数。 D：既是4的倍数，又是4的因数。 E：它的所有因数是1，2，3，6。 F：最小的质数。 G：既不是质数，又不是合数的非零自然数。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 因数与倍数 强化训练 一．选择题（共12小题） 1．下列各数中，（　　）是42的因数。 A．4 B．12 C．14 D．84 【答案】C 【分析】根据因数的定义：如果a×b=c（a,b,c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。判断每个选项能否整除42，能整除42的数就是42的因数。 【解答】解：选项 A：42÷4=10.5，因为结果不是整数，所以4不是42的因数。 选项 B：42÷12=3.5，因为结果不是整数，所以12不是42的因数。 选项 C：42÷14=3，结果是整数，所以14是42的因数。 选项 D：84÷42=2，说明42是84的因数，而不是84是42的因数。 故选：C。 2．如果N=2×2×3×3，那么N有（　　）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】如果N=2×2×3×3，那么N=36，36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，据此解答即可。 【解答】解：如果N=2×2×3×3，那么N=36，36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，N有9个因数。 故选：C。 3．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（　　） A．16和6 B．2.4和0.6 C．6和24 D．24和12 【答案】D 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：因为24÷12=2，符合题意，所以24是12的倍数。 故选：D。 4．用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是（　　） A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【解答】解：用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。 故选：B。 5．下面各数中，（　　）既是2的倍数，又是3和5的倍数。 A．225 B．350 C．240 D．745 【答案】C 【分析】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 【解答】解：是2和5的倍数，这个数的末尾是0； 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 240既是2的倍数，又是3和5的倍数。 故选：C。 6．下列哪个数是100以内的质数？（　　） A．25 B．49 C．67 D．90 【答案】C 【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【解答】解：25，49，90都是合数，只有67是质数。 故选：C。 7．下列各组数中，三个连续自然数都是合数的是（　　） A．14，15，16 B．7，8，9 C．13，14，15 D．18，19，20 【答案】A 【分析】合数除了1和它本身还有别的因数，质数只有1和它本身，以此即可得答案。 【解答】解：A、14，15，16都是合数； B、7、8、9，7是质数不是合数； C、13，14，15，13是质数； D、18，19，20，19是质数。 故选：A。 8．下面哪个数是20的倍数？（　　） A．18 B．25 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据找一个数倍数的方法，进行列举即可。 【解答】解：20 倍数：20、40、60、80......。 故选：C。 9．完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如：6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：1+2+3=6，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是（　　） A．2 B．8 C．14 D．28 【答案】D 【分析】先确定出各个选项中每个数的所有因数，然后看除了这个数本身以外的因数之和是否等于这个数即可。 【解答】解：选项A，2的因数有1、2，1≠2，2不是一个完全数； 选项B，8的因数有1、2、4、8，1+2+4≠8，则8不是一个完全数； 选项C，14的因数有1、2、7、14，1+2+7≠14，则14不是一个完全数； 选项D，28的因数有1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数。 故选：D。 10．秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵佣。用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是（　　） A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 【答案】D 【分析】分别判断264是否是2、3、4、5的倍数，若是则能正好数完。 一个数的个位是0、2、4、6、8，这个数就是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。 【解答】解：A．264的个位是4，所以264是2的倍数，因此2个2个地数，能正好数完； B．264各个数位上数字之和为：2+6+4=12，12能被3整除，所以264是3的倍数，因此3个3个地数，能正好数完； C．264÷4=66，264能被4整除，所以264是4的倍数，因此4个4个地数，能正好数完； D．264的个位是4，所以264不是5的倍数，因此5个5个地数，不能正好数完。 故选：D。 11．五年级一班第一小组20名同学围成一圈玩“3的倍数和尾数”这个游戏，游戏规则是：从1开始一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”。一圈数下来，一共要说（　　）次“过”字。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据3的倍数的特征是：各个数位的数字之和是3的倍数答：3的倍数的特征是各个数位的数字之和是3的倍数；据此选择。 【解答】解：20以内是3的倍数和尾数是3的数有：3、6、9、12、13、15、18，所以每人说1次，一圈下来，一共要说7次“过”字。 故选：D。 12．下面的▲代表一个相同的数字。由▲和0组成的四位数中，一定是2、3、5的公倍数的数是（　　） A．▲0▲0 B．▲▲00 C．▲▲▲0 D．▲0▲▲ 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 2、3、5的公倍数的数是个位数字是0，各个数位上的数字之和是3的倍数。 【解答】解：根据分析可得：一定是2、3、5的公倍数的数是C.▲▲▲0。 故选：C。 二．填空题（共5小题） 13．小明用数字卡片组成了两个三位数a34和51a,要使a34是3的倍数，51a是2的倍数，a可能是 ______或 ______。 【答案】2；8、 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8。 【解答】解：a不能是0，0不能在最高位上； a是2，2+3+4=9，9是3的倍数，234是3的倍数，512是2的倍数； a是4，4+3+4=11，11不是3的倍数，434不是3的倍数，514是2的倍数； a是6，6+3+4=13，13不是3的倍数，634不是3的倍数，516是2的倍数； a是8，8+3+4=15，15是3的倍数，834是3的倍数，512是2的倍数； 答：要使a34是3的倍数，51a是2的倍数，a可能是2或8。 故答案为：2；8、 14．一个三位数43□，既是2的倍数又是3的倍数，□里填 ______；若它是5的倍数，□里填 ______。 【答案】2、8；0、5。 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征；各个数位上的数字之和3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【解答】解：个位数字是0，4+3+0=7，7不是3的倍数，430是2的倍数不是3的倍数； 个位数字是2，4+3+2=9，9是3的倍数，432既是2的倍数又是3的倍数； 个位数字是4，4+3+4=7，11不是3的倍数，434是2的倍数不是3的倍数； 个位数字是6，4+3+6=13，13不是3的倍数，436是2的倍数不是3的倍数； 个位数字是8，4+3+8=15，15是3的倍数，438既是2的倍数又是3的倍数。 个位数字是0或5，430和435是5的倍数。 答：一个三位数43□，既是2的倍数又是3的倍数，□里填2、8；若它是5的倍数，□里填0、5。 故答案为：2、8；0、5。 15．既是3的倍数，又是2和5的倍数的最大三位数是 ______。 【答案】990。 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。要求既是3的倍数，又是2和5的倍数的最大三位数，推断末尾数字即个位一定是0，百位数字要大，那只能是9，十位上的数字要被3整除的最大一位数，只能是9。据此可解答。 【解答】解：根据分析可知：既是3的倍数，又是2和5的倍数的最大三位数是990。 故答案为：990。 16．三个非0自然数a、b、c之间的关系是：a÷b=c。我们可以说，a是b和c的 ______，b和c是a的 ______。 【答案】倍数，因数。 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b=c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【解答】解：三个非0自然数a、b、c之间的关系是：a÷b=c,即b×c=a,我们可以说，a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 故答案为：倍数，因数。 17．猜密码．如图是一个密码宝箱，密码是一组数字．第一个数字是最小自然数；第二个数字是6的最小倍数；第三个数字是最小的质数；第四个数字只有一个因数；第五个数字是小于10的最大质数；第六个数字最大的因数是9．宝箱密码是：______． 【答案】见试题解答内容 【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数叫作偶数；据此进行求解即可． 【解答】解：第一个数字是最小自然数是0； 第二个数字是6的最小倍数是6； 第三个数字是最小的质数是2； 第四个数字只有一个因数是1； 第五个数字是小于10的最大质数是7； 第六个数字最大的因数是9，这个数是9． 所以宝箱密码是062179． 故答案为：062179． 三．判断题（共4小题） 18．质数一定是奇数，合数一定是偶数． ______（ 判断对错） 【答案】× 【分析】根据偶数、奇数、质数、合数的意义：是2的倍数的数叫作偶数；不是2都不是的数叫作奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；由此解答． 【解答】解：2是质数，但不是奇数，是偶数，9是合数，但不是偶数， 所以原题说法错误； 故答案为：×． 19．因为48÷3=16，所以48是倍数，3和16是因数。 ______ 【答案】×。 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b=c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【解答】解：因为48÷3=16，所以48是3和16的倍数，3和16是48的因数，所以原题说法错误。 故答案为：×。 20．一个数是15的倍数，它一定同时是3和5的倍数．______ 【答案】见试题解答内容 【分析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数；所以一个数是15的倍数，同时是3和5的倍数的数，一定既是3的倍数，又是5的倍数，据此判断即可． 【解答】解：因为这个数能被3和5同时整除， 所以这个数一定既是3的倍数，又是5的倍数， 所以一个数是15的倍数，“它一定同时是3和5的倍数”的说法是正确． 故答案为：√． 21．在2、7、42这三个自然数中，42是倍数，2和7是因数。 ______ 【答案】×。 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数和倍数是相互依存的，由此解答即可。 【解答】解：因为42÷7=6，所以7是42是因数，42是7的倍数。 因为42÷2=21，所以2是42是因数，42是2的倍数。 所以本题说法错误。故答案为：×。 四．操作题（共1小题） 22．如图，从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．剩下的数都是什么数？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据2、3、5、7的倍数的特征，但2、3、5，7本身不划掉，那么剩下的数是质数． 【解答】解： 剩下的数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．这些数是质数． 五．解答题（共4小题） 23．商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 【答案】第一种。 【分析】利用237除以每一种的个位，可以整除的即可选择包装方法。 【解答】解：237÷3=79 237÷4=59.....1 237÷5=47....2 因此选择第一种包装能正好把这些鸡蛋装完。 24．小兰在文具店买了一些文具（钢笔和笔记本都有购买，但是数量未知），如图分别是它们的单价。她付给商家100元，找回了16元。商家找回的钱数对吗？为什么？请你用学过的知识说明你的思考过程。 【答案】不对，16，84不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【分析】5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 本子和钢笔的单价分别是5元和10元，不论数量是多少，总价是5的倍数，找回的钱数也应该是5的倍数。小兰付给商家100元，找回了16元。花了100-16=84（元），16，84不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【解答】解：100-16=84（元）。16，84不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 25．12个同学面向老师做游戏，报数的结果如图所示。老师请报到2的倍数的同学向后转，再让报到3的倍数的同学向后转。 （1）转了两次的同学有多少个？ （2）转身的同学共有多少个？ 【答案】（1）2个。 （2）8个。 【分析】个位上是2，4，6，8，0的数是2的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数，又是3的倍数，这样的数是2和3的公倍数。 【解答】解：（1）2和3的公倍数有6和12。 答：转了两次的同学有2个。 （2）2的倍数有2，4，6，8，10，12；3的倍数有3，6，9，12；2和3的公倍数有6和12。 4+2+2=8（个） 答：转身的同学共有8个。 26．思琪的QQ密码是一个七位数，这个七位数用字母表示为ABCDEFG，猜猜思琪的QQ密码是多少。 A：4的最小倍数。 B：最小的自然数。 C：6的最大因数。 D：既是4的倍数，又是4的因数。 E：它的所有因数是1，2，3，6。 F：最小的质数。 G：既不是质数，又不是合数的非零自然数。 【答案】4064621。 【分析】4的最小倍数是4；最小的自然数是0；6的最大因数是6；4既是4的倍数，又是4的因数。6的所有因数是1，2，3，6。2是最小的质数。1既不是质数，又不是合数的非零自然数。 【解答】解：思琪的QQ密码是4064621。 学科网（北京）股份有限公司 $$