安徽省蒙城县第六中学2024-2025学年高二下学期周测数学试题(导数及其应用)

第二章《导数及其应用》周测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C B A D B AC AD AC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【解析】B ． 2. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. C. 1 D. 【解析】D 由题意可知， 则. 3. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．    B．   C．   D．   【解析】C 由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合. 4. 已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A. B. C. D. 【解析】C 设切点，故， 又切点在直线上，所以. 5. 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【解析】B 函数的定义域为，又， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间是. 6. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 8. 已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，所以， 令，得到，解得， 代回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故B正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】AC 由基本初等函数的导数公式可知，A正确； ，故B错误； ，故C正确； 令，则，则，， 则，故D错误. 10. 关于函数，以下说法正确的有（   ） A． B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递增 【解析】AD 因为，该函数的定义域为，则， 对于A选项，，A对； 对于BCD选项，由可得， 由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为，BC都错，D对. 11. 已知定义域为R的函数的导函数为，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【解析】AC 由，则或， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以，即. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则 ． 【解析】因为（且），则， 因为直线的斜率为， 又因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，，解得. 13. 试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【解析】设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 14. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【解析】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 【解析】（1）因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）因的定义域为， 令 得   ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 16. 求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）函数的定义域为，． 令，得，令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）函数的定义域为， ， 令，得；令，得或． ∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和. （3）函数的定义域为R， ， 令，得；令，得或． ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 17. （1）已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值. （2）已知（为自然对数的底数），.当时，若直线是与的公切线，求的方程. 【解析】（1）因为函数，， 所以，. 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 所以. 则，解得. （2）设与的切点 又 切线方程为：，即① 设与切点为 切线方程为：，即② 由题知，①，②都是的方程，则有 ， 消去得，即，解得或 当时切线方程为 当时切线方程为 综上，直线的方程为或. 18. 已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【解析】（1）易知. 因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立， 故. 经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是. （2）由（1），得. 因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为， 所以-1和1是方程的两个实根，所以. （3）由（1），得. 因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又函数在上的值域为，所以. 故实数a的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调减区间； （2）讨论函数的单调性. 【解析】（1）函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的， 当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《导数及其应用》周测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 测试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册第二章《导数及其应用》第1节至6.1《函数的单调性》. 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ） A.    B．   C．   D． 4. 已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 6. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 已知，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，以下说法正确的有（   ） A． B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递增 11. 已知定义域为R的函数的导函数为，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且），曲线在处的切线与直线垂直，则 ． 13. 试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 14. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 16. 求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)． 17. （1）已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值. （2） 已知（为自然对数的底数），.当时，若直线是与的公切线，求的方程. 18. 已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调减区间； （2）讨论函数的单调性. ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$