选择性必修第三册综合检测-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）

人教A版（2019）选择性必修第三册综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C C A B D C BCD BCD ABD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为事件A，B相互独立，所以， 所以. 2. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 【解析】B ， . 3. 已知两个变量和之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，求得经验回归直线分别为和，老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是.则下列说法正确的是（ ） A. 和必定重合 B. 与必定平行 C. 和一定有公共点 D. 与相交，但交点不一定是 【解析】C 已知甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，所以甲、乙两组数据的样本中心点都是. 因为经验回归直线方程一定过样本中心点，那么甲求得的经验回归直线过样本中心点，乙求得的经验回归直线也过样本中心点. 所以和一定有公共点. 4. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】C 设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 80 B. 64 C. 32 D. 16 【解析】A 因为的二项式系数之和为32，则，解得， 所以二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得， 解得 ， 所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为 ，， 令，解得， 则展开式中的系数为. 6. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 【解析】B 该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 7. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解析】D 对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故C错误； 对于D，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故D正确. 8. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 【解析】C 选项A： 设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球” 则 ， 故A选项正确. 选项B： 设为“第二次取号球”，则 ， 故，， ， 所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确. 选项C：，所以C选项错误. 选项D： 将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个， 先将个球分成组，有，，三种分法. 对于，有种方法； 对于，有种方法； 对于，有种方法. 所以不同的分配方法共有种，D选项正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应的残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 【解析】BCD由对应数据可知，增大，减小，所以相关系数 ，， 由，得，所以， 即， 所以相关系数，故A错误，C正确； 由回归直线方程，当时，， 所以第一个样本点对应的残差为，故B正确； 当时，，故D正确. 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【解析】BCD A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D，D正确. 11. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 【解析】ABD 对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确， 对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂， 故共有种涂法，B正确； 对于C，当时，涂有种， 当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误； 对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂， 故共有种涂法， 当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有， 只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法， 综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则_________．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【解析】， . 13. 已为的展开式中的系数为10，则实数_________． 【解析】因为， 因为的展开式的通项公式为：， 可得的展开式中，的系数分别为：，， 故的展开式中的系数为：， 又的展开式中的系数为10， 所以，解得． 14. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【解析】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种. 综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 端午节吃粽子是我国传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望. 【解析】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为； （2）X的可能取值为 则， ， ， . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . 16. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 【解析】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以， 故. 即，二项式系数最大项为第5项：； （2）令，得， 所以. （3）令，得， 令，得. 两式相加可得. 17. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【解析】（1）根据题目数据可完善列联表： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 15 45 B社区 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为居民满意度与所在社区无关. （2）已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 18. 为全面贯彻党的教育方针，实施素质教育，某校开设了多种多样的知识讲座和校本课程，既丰富了学生的学习生活，又满足了不同学生的需求.已知该校在每周三的课外活动时间都开设“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”“古代文明的起源”“历史与现实”这五个讲座（每次每个讲座只开设一场），每位同学在课外活动时间，可以自由活动，也可以去听自己感兴趣的讲座（一人一座，全部坐满即为满座，讲座开始后，同学们不得再随意走动或进出）.通过连续10周的统计，得到如下数据（各讲座间是否满座互不影响）： 讲座 古诗词鉴赏 红楼梦中主要人物剖析 三国演义中的计谋 古代文明的起源 历史与现实 讲座次数 10 10 10 10 10 满座次数 5 8 7 5 5 把统计得到的频率看作概率，解答下列问题. （1）“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”这三个讲座中，在某周三满座的讲座个数设为，求的分布列和数学期望. （2）连续统计的10周中，以第周和第周各为一个统计单元，如果在一个统计单元中，某一讲座有4次或4次以上满座，就在该统计单元的最后一周的周末邀请相关专家来校开设该主题的专家讲座一次.在下一个连续10周中的两个统计单元中， （i）求“古代文明的起源”这个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率； （ii）求“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率. 【解析】（1）由题意知可能取值为， 因为“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”三个讲座满座的概率分别为，且各讲座间是否满座互不影响， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为； （2）（i）由题意知“古代文明起源”讲座每次满座概率为， 所以该讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率为； （ii）在下一个连续10周中的两个统计单元中，“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座，则“古代文明的起源”开设2次，“历史与现实”开设1次，或者“古代文明的起源”开设1次，“历史与现实”开设2次， 因为“历史与现实”每次满座的概率为， 所以由（2）（i）知“古代文明的起源”“历史与现实”每个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率均为， “古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率为. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 【解析】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. （2）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第三册综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 3. 已知两个变量和之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，求得经验回归直线分别为和，老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是.则下列说法正确的是（ ） A. 和必定重合 B. 与必定平行 C. 和一定有公共点 D. 与相交，但交点不一定是 4. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 80 B. 64 C. 32 D. 16 6. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 7. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．第二次取到3号球的概率为 B．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C．在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D．如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应的残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则_________．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 13. 已为的展开式中的系数为10，则实数_________． 14. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 端午节吃粽子是我国传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望. 16. 已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求值及二项式系数最大项； （2）求（用数值作答）； （3）求的值（用数值作答）. 17. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 为全面贯彻党的教育方针，实施素质教育，某校开设了多种多样的知识讲座和校本课程，既丰富了学生的学习生活，又满足了不同学生的需求.已知该校在每周三的课外活动时间都开设“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”“古代文明的起源”“历史与现实”这五个讲座（每次每个讲座只开设一场），每位同学在课外活动时间，可以自由活动，也可以去听自己感兴趣的讲座（一人一座，全部坐满即为满座，讲座开始后，同学们不得再随意走动或进出）.通过连续10周的统计，得到如下数据（各讲座间是否满座互不影响）： 讲座 古诗词鉴赏 红楼梦中主要人物剖析 三国演义中的计谋 古代文明的起源 历史与现实 讲座次数 10 10 10 10 10 满座次数 5 8 7 5 5 把统计得到的频率看作概率，解答下列问题. （1）“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”这三个讲座中，在某周三满座的讲座个数设为，求的分布列和数学期望. （2）连续统计的10周中，以第周和第周各为一个统计单元，如果在一个统计单元中，某一讲座有4次或4次以上满座，就在该统计单元的最后一周的周末邀请相关专家来校开设该主题的专家讲座一次.在下一个连续10周中的两个统计单元中， （i）求“古代文明的起源”这个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率； （ii）求“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 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