第八单元数学广角——找次品素养测评卷【C卷·思维拓展卷】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（A3+A4+解析卷）人教版

绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品素养测评卷 【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共22分） 1．（本题4分）已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。 2．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 3．（本题2分）有12块奖牌，其中有1块是样品，比较轻，至少称( )次能保证找出这块样品。 4．（本题2分）19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少( )次可找出这个次品。 5．（本题2分）有16瓶蜂蜜，其中有一瓶多装了5ml，用天平称，至少称( )次就一定能找出这瓶多装的蜂蜜。 6．（本题2分）在21个乒乓球中，有1个不合格，质量较轻，如果用天平称，至少称( )次一定可以找出这个不合格的乒乓球。 7．（本题2分）80个零件中只有一个轻一些，至少称( )次才能保证找出这个轻一些的零件。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 9．（本题2分）学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 10．（本题2分）寒假期间为联络方便，六年一班设计了一种联络方式。一旦有通知，先由班主任逐一通知各寝室长，各寝室长再通知同寝室的同学，得到消息的同寝室同学还要帮助通知寝室内其他没有得到通知的同学，依次类推，每通知1个人需要1分的时间。已知六年一班有5个寝室，寝室人数分别是8、8、8、7、6。最短需要用( )分可以顺利地完成一次通知。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）老师有事要电话通知全班14名同学，如果每分钟打电话通知1人，那么最快要4分钟可以通知完。( ) 12．（本题2分）老师要打电话通知15个兴趣小组的同学，每个电话需要1分钟，全部通知最少需要4分钟。( ) 13．（本题2分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 14．（本题2分）用无砝码的天平从12袋糖果中找出质量不足的那一袋，至少需要称3次。( ) 15．（本题2分）一架天平，只有5g和30g两个砝码，要把300g盐三等分，最少称3次。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称( )一定能找出这枚硬币。 A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定 17．（本题2分）9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称( )次能保证找出这盒月饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 18．（本题2分）16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（本题2分）土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这包土笋冻。 A．1 B．2 C．3 D．4 20．（本题2分）要保证3次就能测出待测的物品中的次品(次品只有一个，已知次品比正品略轻)，待测物品可能是( )个。 A．2～3 B．4～9 C．10～27 D．28～81 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共58分） 21．（本题8分）合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 22．（本题8分）消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数( )，通知的方式及用时( )，对于通知的要求( )。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用( )分钟。 23．（本题8分）有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 24．（本题8分）金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？ 25．（本题8分）有27枚金币，其中1枚是假金币（比真金币轻一些），称3次一定能找到这枚金币吗？ 26．（本题9分）有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？ 27．（本题9分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品素养测评卷 【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共22分） 1．（本题4分）已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。 【答案】 10 27 【分析】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻） 观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。 【详解】3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 所以这堆物品最少有10个，最多有27个。 【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。 2．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 【答案】3 【分析】把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5放在天平两端，分两种情况进行分析；当天平不平衡时，将5分为2、2、1，将两个2放在天平两端，利用与上一步相同的方法分析，直到找到次品为止，据此解答即可。 【详解】第一次称量：把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5的放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品就是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的5个中，继续称量。 第二次称量：将5个零件分为2、2、1，将两个2放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的2个中，继续称量。 第三次称量：将2个零件分别放在天平两旁，则次品在托盘上翘的一端。 综上可知，至少称3次可以保证把次品找出来。 【点睛】本题考查了找次品的应用，解答此题的关键是：将11个零件进行合理分组，进而逐步找出次品。 3．（本题2分）有12块奖牌，其中有1块是样品，比较轻，至少称( )次能保证找出这块样品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略： －是把待测物品分成3份，二 是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把12块奖牌平均分成3份，每份4块，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4块，如果天平不平衡，次品就在较轻的4块中；如果天平平衡，次品在剩下的4块中；再把有次品的4块奖牌分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1块，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一块；如果天平平衡，次品在剩下的2块中；最后把2块奖牌分成（1，1），第三次称，天平两边各放1块，次品就是较轻的那一块。所以至少称3次保证能找出质量较轻的那块。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 4．（本题2分）19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少( )次可找出这个次品。 【答案】3 【分析】将19个零件分成7、6、6三组，然后利用天平平衡原理解答即可。 【详解】第一次：把19个零件分成3份：6个、6个、7个，取6个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次：取含有较轻的零件（6个或7个）分成3份：2个、2个、2个（或3个），取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次；从含有较轻的一份（2个或3个）中取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，较轻的为次品。 所以用天平称，至少3次可找出这个次品。 【点睛】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 5．（本题2分）有16瓶蜂蜜，其中有一瓶多装了5ml，用天平称，至少称( )次就一定能找出这瓶多装的蜂蜜。 【答案】3 【分析】根据找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。据此解答。 【详解】将16瓶蜂蜜从1到16进行编号，再把16瓶蜂蜜尽可能地分成相等的3份，进行称量，可知至少称3次就一定能找出次品。 【点睛】本题考查运用优化策略解决找次品问题。 6．（本题2分）在21个乒乓球中，有1个不合格，质量较轻，如果用天平称，至少称( )次一定可以找出这个不合格的乒乓球。 【答案】3 【分析】把21个乒乓球分成（9－9－3）3组，第一次称重，分别在天平两端放9个，如平衡，则将剩下的3个中必有1个为不合格的乒乓球，把不合格的一组3个分成（1－1－1），分别放天平两端，进行第二次称重，如平衡，则剩下的1个就是不合格的，如不平衡，则天平翘起的一端那个乒乓球就是不合格的；如果两端放9个不平衡，把不合格的9个分成（3－3－3），进行第二次称重，在天平两端分别放3个，如果平衡，则剩下的3个就是不合格，将3分成（1－1－1）称一次就能找出不合格的乒乓球，如果天平不平衡，翘起的天平端3个就是不合格的一组；把不合格的一组3个分成（1－1－1），分别放天平两端，进行第三次称重，如平衡，则剩下的1个就是不合格的，如不平衡，则天平翘起的一端那个乒乓球就是不合格的。据此解答。 【详解】将21个乒乓球分成（9－9－3）3组。 第一次称重，两端各入9个，如平衡，则剩下的3个中有次品，再把3分成（1－1－1），称一次找出次品。如不平衡，将翘起的天平端的9个分成（3－3－3）进行第二次称重。 第二次称重：分别在天平两端放3个，如平衡，则剩下的3个中有次品，再把3分成（1－1－1），称一次找出次品，如不平衡，则翘起的天平端3个分成（1－1－1），进行第三次称重。 第三次称重：天平两端放1个，如平衡，则剩下1个的就是不合格的，如不平衡，则翘起的天平端的乒乓球就是不合格的。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 7．（本题2分）80个零件中只有一个轻一些，至少称( )次才能保证找出这个轻一些的零件。 【答案】4 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】 由上可知，80个零件中只有一个轻一些，至少称4次才能保证找出这个轻一些的零件。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【答案】4 【分析】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。先把81件平均分成3组，每组27件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的27件平均分成3组，每组9件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的9件平均分成3组，每组3件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的3件平均分成3组，每组1件，通过称量1次可找出次品。即至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【详解】81＝3×3×3×3＝34 所以至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。 9．（本题2分）学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知40人最快需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝40 2n＝40＋1 2n＝41 因为25＝32，26＝64，32＜41＜64，所以n＝6。 要通知到每一位队员最快至少需要6分钟。 【点睛】找出打电话的规律是解题的关键，明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 10．（本题2分）寒假期间为联络方便，六年一班设计了一种联络方式。一旦有通知，先由班主任逐一通知各寝室长，各寝室长再通知同寝室的同学，得到消息的同寝室同学还要帮助通知寝室内其他没有得到通知的同学，依次类推，每通知1个人需要1分的时间。已知六年一班有5个寝室，寝室人数分别是8、8、8、7、6。最短需要用( )分可以顺利地完成一次通知。 【答案】8 【分析】班主任分别通知寝室长要用时5分钟。寝室内想要时间最短，得到通知的人数每一分钟翻倍增加，每个寝室通知完所有同学至少用时3分钟。所以，当第5个寝室（6人）的同学通知完需要用时是：5分钟＋3分钟。 【详解】5＋3＝8（分钟） 所以，最短需要用8分可以顺利地完成一次通知。 【点睛】本题审题时需要注意，寝室长是由班主任单独通知，不要理解错题意。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）老师有事要电话通知全班14名同学，如果每分钟打电话通知1人，那么最快要4分钟可以通知完。( ) 【答案】√ 【分析】老师首先用1分钟通知第一名同学，第二分钟由老师和1名同学两人分别通知1名同学，现在通知了共l＋2＝3名同学，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7名同学，第四分钟可以通知7＋8＝15名同学，所以要通知到全班14名同学，需要4分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1名同学； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（名） 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（名） 第四分钟最多可以通知7＋8＝15（名） 所以要电话通知全班14名同学，最快要4分钟可以通知完。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是明确已通知同学的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 12．（本题2分）老师要打电话通知15个兴趣小组的同学，每个电话需要1分钟，全部通知最少需要4分钟。( ) 【答案】√ 【分析】先通知1个同学，然后再与这个同学一起给2个同学打电话，然后这2名再与前面已通知的同学一起给其他同学打电话，依此类推，进行计算即可求解。 【详解】第一分钟通知到1个同学； 第二分钟最多可通知到3个同学； 第三分钟最多可通知到7个同学； 第四分钟最多可通知到15个同学； 最少花4分钟才能通知到每个同学。 故答案为：√ 【点睛】解决此题要明确已通知的人数加上通知的人是下一次要通知的人数。 13．（本题2分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 【答案】√ 【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。 【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7； 先将第一组和第二组进行称量： （1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可； （2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可； 综上所述，至少称2次能保证把次品找出来； 故答案为：√。 【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。 14．（本题2分）用无砝码的天平从12袋糖果中找出质量不足的那一袋，至少需要称3次。( ) 【答案】√ 【分析】先把12袋糖果分成每6袋一组，用天平称，那么上翘一端的6袋中，有质量不足的那一袋。再把这6袋，分成3袋一组，用天平称，上翘的3袋中有质量不足的那一袋。再从这3袋中，随机拿两袋放在天平两边，上翘的那袋就是质量不足的那一袋；若两袋糖果平衡，那么剩下的那袋就是质量不足的那袋。 【详解】第一次：把12袋糖果分成每6袋一组，用天平称出轻的6袋糖果。 第二次：把轻的6袋再分成3袋一组，用天平称出轻的3袋糖果。 第三次：3袋糖果随机拿出两袋，天平称的轻的一袋就是质量不足的那一袋；若两袋平衡，剩下的那一袋就是质量不足的。 所以用无砝码的天平从12袋糖果中找出质量不足的那一袋，至少需要称3次。 故答案为：√ 【点睛】本题的关键是把12袋糖果进行分配，分次称量。 15．（本题2分）一架天平，只有5g和30g两个砝码，要把300g盐三等分，最少称3次。( ) 【答案】× 【分析】（1）称35g盐； （2）把35g盐放到35g砝码的那一端，称70g盐； （3）把这两份盐和在一起加个30的砝码（30＋70），称出100g盐； （4）用这100g盐作为砝码再称100g盐，就可以分成三等份了。 【详解】30＋5＝35（克） 35＋35＝70（克） 70＋30＝100（克） 100克＝100克 一架天平，只有5g和30g两个砝码，要把300g盐三等分，最少称4次。 故答案为：× 【点睛】本题考查了找次品方法的灵活应用，天平的特点是只要平衡，两边一样重。 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称（    ）一定能找出这枚硬币。 A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定 【答案】B 【分析】将这3枚硬币编号为1号、2号、3号，先将1号、2号称量，若平衡，3号就是要找的；若不平衡，3号为标准的，再将1号、3号称量，若平衡，2号就是要找的，若不平衡，1号就是要找的。 【详解】有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称2次一定能找出这枚硬币； 故答案选：B。 【点睛】需要注意的是，本题中并不知道这枚硬币是比标准硬币轻，还是比标准硬币重，所以并不用三分法的结论求解。 17．（本题2分）9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（    ）次能保证找出这盒月饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】将9盒月饼平均分成3份，每份3盒，任选其中的两份先称重，出现两种情况： 情况一：分成3组，每组3盒，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：1.拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。2.拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3盒里面找出次品，只需要1次就够了。 情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3盒月饼里，把剩下的3盒平均分成3份，每份1盒，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况： ①天平平衡，说明剩下的1盒是不一样的，共需称2次； ②天平不平衡，还需要拿下一盒再称一次，才能确定哪盒质量不同，共需称3次。 综上，至少称3次能保证找出这盒月饼。 故答案为：B 【点睛】本题考查找次品问题，因为质量不同的月饼不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。 18．（本题2分）16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可运用“三分法”及“尽量均分”的原则，将16个零件先分为3组，分别是5、5、6，接着逐次在天平上称量，直到找到重一些的那个零件，就是次品。 【详解】如图： 结合图示可知，至少称3次能保证找到次品。 故答案为：C。 【点睛】零件总数的数据稍大一些，在分配及称量的过程中可能会比较繁琐，故在完成称量时，要返回第一个步骤，仔细检查一遍；此外，经过一系列的思辨过程，能够理解“三分法”及“尽量均分”的优化策略是解题关键。 19．（本题2分）土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次才能保证找出这包土笋冻。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包， a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包， ①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的一边； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中， 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中， 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。 接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。 综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。 故答案为：D 【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 20．（本题2分）要保证3次就能测出待测的物品中的次品(次品只有一个，已知次品比正品略轻)，待测物品可能是(　 　)个． A．2～3 B．4～9 C．10～27 D．28～81 【答案】C 【解析】根据找次品的方法解答即可 【详解】A：2~3个物品1次保证能测出； B：4~9个物品2次保证能测出； C：10~27个物品3次保证能测出； D：28~81个物品4次保证能测出； 故答案为：C 【点睛】灵活运用找次品的方法是解答本题的关键。 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共58分） 21．（本题8分）合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 【答案】3分钟；见详解 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知7人至少需要的时间。 【详解】如图： 第1分钟通知1人； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 答：至少需要3分钟才能通知每个队员。 【点睛】明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 22．（本题8分）消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数（    ），通知的方式及用时（    ），对于通知的要求（    ）。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用（    ）分钟。 【答案】见详解 【分析】队长首先用1分钟通知第一名队员；1＋1＝2，第二分钟由队长和1名队员两人分别通知1名队员，现在通知的一共2＋2－1＝3名队员；第三分钟可以推出通知的一共4＋4－1＝7名队员；以此类推，第四分钟通知的一共8＋8－1＝15人，减去队长，刚好通知了15人，由此问题解决。 【详解】要通知的人数：15 通知的方式及用时：用打电话的方式，每分钟通知1人 对于通知的要求：尽快通知到每一队员； 电话方案图： 第一分钟通知到1个学生； 第二分钟最多可通知到3个学生； 第三分钟最多可通知到7个学生； 第四分钟最多可通知到15个学生； 答：至少用4分钟。 【点睛】解决此题的关键是利用已通知的队员的人数加上队长是下一次要通知的队员人数。 23．（本题8分）有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 【答案】能；3次 【分析】有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，我们把这1袋不是400克的糖称为次品。 将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较，即可得出次品在哪一份中；再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较，即可得出次品在哪一份中；最后将含有次品的2袋，任取一袋，称重与400克作比较，即可得出次品为哪一袋。 【详解】第一次称：将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较。如果这一份重量是1600克，则次品在未称重的4袋中，如果这一份重量不是1600克，则次品在称重的这4袋中。这样次品被锁定在了4袋中。 第二次称：再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较。如果这一份重量是800克，则次品在未称重的2袋中，如果这一份重量不是800克，则次品在称重的这2袋中。这样次品被锁定在了2袋中。 第三次称：将含有次品的2袋，任取1袋，称重与400克作比较，如果这一份重量是400克，则次品是未称重的那一袋，如果这一份重量不是400克，则次品就是称重的这一袋。这样次品被找到了。 因此，总共称3次就能找出来。 【点睛】本题考查找次品，关键是次品不知轻重，但是知道非次品的标准重量，本题可通过称重的比较的方式进行求解，会比常规找次品解法更简洁明了。 24．（本题8分）金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？ 【答案】3次；首先把24枚平均分成3份 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】把24枚平均分成3份，每份8枚； 第一次：天平两端各放8枚，如果平衡剩下的8枚中有次品，如果不平衡，上升那端的8枚中有次品； 第二次：把8枚分成3、3、2，在天平两端各放3枚，如果平衡剩下的2枚中有次品，如果不平衡，上升那端的3枚中有次品； 第三次：次品在2枚中或者在3枚中都能一次找出次品。 答：用天平称至少称3次保证找出这枚钻戒，首先把24枚平均分成3份。 【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，依据天平的平衡原理是解答本题的关键。 25．（本题8分）有27枚金币，其中1枚是假金币（比真金币轻一些），称3次一定能找到这枚金币吗？ 【答案】一定能找到 【分析】分找次品的最优策略有两点：一、分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一份只相差1。这样才能保证称的次数最少，就能找出次品。二、画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别在天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。 【详解】第一次，分成9、9、9三组，将其中2组分别放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一组总含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币；第二次，分成3、3、3三组，将其中2组分别放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一组总含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币；第三次，在3个中任取2个放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一个含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币。所以至少需要3次才能找到假金币。故称3次一定能找到这枚金币。 【点睛】熟悉找次品的步骤，会画“次品树形”分组图是解决此题的关键。 26．（本题9分）有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？ 【答案】4次 【分析】注意盐水的质量比水的质量重。找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。 【详解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶； 第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中； 第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次； ②把次品所在的10瓶分成3、3、4，称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1次找出次品，共称4次。 答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水。 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 27．（本题9分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品素养测评卷【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第八单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共22分） 1．（本题4分）已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。 2．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 3．（本题2分）有12块奖牌，其中有1块是样品，比较轻，至少称( )次能保证找出这块样品。 4．（本题2分）19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少( )次可找出这个次品。 5．（本题2分）有16瓶蜂蜜，其中有一瓶多装了5ml，用天平称，至少称( )次就一定能找出这瓶多装的蜂蜜。 6．（本题2分）在21个乒乓球中，有1个不合格，质量较轻，如果用天平称，至少称( )次一定可以找出这个不合格的乒乓球。 7．（本题2分）80个零件中只有一个轻一些，至少称( )次才能保证找出这个轻一些的零件。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 9．（本题2分）学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 10．（本题2分）寒假期间为联络方便，六年一班设计了一种联络方式。一旦有通知，先由班主任逐一通知各寝室长，各寝室长再通知同寝室的同学，得到消息的同寝室同学还要帮助通知寝室内其他没有得到通知的同学，依次类推，每通知1个人需要1分的时间。已知六年一班有5个寝室，寝室人数分别是8、8、8、7、6。最短需要用( )分可以顺利地完成一次通知。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）老师有事要电话通知全班14名同学，如果每分钟打电话通知1人，那么最快要4分钟可以通知完。( ) 12．（本题2分）老师要打电话通知15个兴趣小组的同学，每个电话需要1分钟，全部通知最少需要4分钟。( ) 13．（本题2分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 14．（本题2分）用无砝码的天平从12袋糖果中找出质量不足的那一袋，至少需要称3次。( ) 15．（本题2分）一架天平，只有5g和30g两个砝码，要把300g盐三等分，最少称3次。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称( )一定能找出这枚硬币。 A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定 17．（本题2分）9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称( )次能保证找出这盒月饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 18．（本题2分）16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（本题2分）土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这包土笋冻。 A．1 B．2 C．3 D．4 20．（本题2分）要保证3次就能测出待测的物品中的次品(次品只有一个，已知次品比正品略轻)，待测物品可能是( )个。 A．2～3 B．4～9 C．10～27 D．28～81 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共58分） 21．（本题8分）合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 22．（本题8分）消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数( )，通知的方式及用时( )，对于通知的要求( )。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用( )分钟。 23．（本题8分）有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？ 24．（本题8分）金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？ 25．（本题8分）有27枚金币，其中1枚是假金币（比真金币轻一些），称3次一定能找到这枚金币吗？ 26．（本题9分）有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？ 27．（本题9分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$