第八单元数学广角——找次品·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 6 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 6 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加 1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员 和老师的总人数，也就是到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前 （n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的 2倍。 2. 根据总结发现，从第 1分钟到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数 看；第 1分钟，共有 2人，2=21；第 2分钟，共有 4人，4=22；第 3分钟，共有 8人，8=23；第 4分钟，共有 16人，16=24；第 5分钟，共有 32人，32=25；第 6分钟，共有 64人，64=26；第 7分钟，共有 128人，128=27…由此推得：到第 n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为 2n人，所有接到通知的队员的总 人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在 3瓶钙片中找岀 1瓶次品，可以利用天平 平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成 3份。 第 3 页 共 6 页 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成 3份，不能平均分的，也应该使 多的一份与少 的一份只相差 1。 【高频考题 01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队 30名同学来学校参加活动，如果用打电话 的最佳方式，每分钟通知到 1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么 7分钟最多能通知( )人。 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校 舞蹈队共有 30人，如果一对一进行传达，每分钟通知 1人。教导主任怎样才能 尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第 4 页 共 6 页 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知 30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都 ( )，所以用的时间最少。 【高频考题 02】找次品问题。 1．有 6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( ) 号。 2．有 28个乒乓球，其中有 1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只 利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻 还是重？ 3．有 61盒维生素 C，其中 1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证 找出这盒稍轻一些的维生素 C？ 第 5 页 共 6 页 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话 通知班上 48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接 着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递 一次信息需要 2秒钟，经过 12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称 至少要称( )次才能保证找出次品。 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有 20瓶，其中 19瓶质量相同，另外一瓶 质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一 瓶。 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知 10 名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知 1人，最少花( ) 分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有 15名队员，有个紧急排练通知，老师决 定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知 1人，那么至少 需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现 在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常 的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·山东济宁·期末）有 26盒饼干，其中的 25盒质量相同，另有 1盒少 了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 第 6 页 共 6 页 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果 用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的 过程表示出来） 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提 出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔 子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽 在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推， 在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数 1、1、2、3、 5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两 项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项 所得商都接近 0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、 ( )、… （2）这组数的第 100个数是奇数还是偶数？请说明理由。 第 1 页 共 8 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 8 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加 1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员 和老师的总人数，也就是到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前 （n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的 2倍。 2. 根据总结发现，从第 1分钟到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数 看；第 1分钟，共有 2人，2=21；第 2分钟，共有 4人，4=22；第 3分钟，共有 8人，8=23；第 4分钟，共有 16人，16=24；第 5分钟，共有 32人，32=25；第 6分钟，共有 64人，64=26；第 7分钟，共有 128人，128=27…由此推得：到第 n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为 2n人，所有接到通知的队员的总 人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在 3瓶钙片中找岀 1瓶次品，可以利用天平 平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成 3份。 第 3 页 共 8 页 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成 3份，不能平均分的，也应该使 多的一份与少 的一份只相差 1。 【高频考题 01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队 30名同学来学校参加活动，如果用打电话 的最佳方式，每分钟通知到 1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么 7分钟最多能通知( )人。 【答案】 5 127 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校 舞蹈队共有 30人，如果一对一进行传达，每分钟通知 1人。教导主任怎样才能 尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第 4 页 共 8 页 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知 30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都 ( )，所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【高频考题 02】找次品问题。 1．有 6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( ) 号。 【答案】⑤ 2．有 28个乒乓球，其中有 1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只 利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻 还是重？ 【答案】 先把 28个分为（9，9，10）：天平两端各放 9个，①平衡：则次品在 10个中， 把 10个的放在天平一端，然后把正品的两组 9个任意一组添上 1个，变成 10 个，和含有次品的 10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡： 则次品在 9个中，则余下的 10个是正品，把任意一组 9个，放在天平一端，再 把 10个一组的减去 1个，变成 9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。 所以至少要称 2次能知道这个次品球是轻还是重。 第 5 页 共 8 页 3．有 61盒维生素 C，其中 1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证 找出这盒稍轻一些的维生素 C？ 【答案】 第一次称量：将 61盒分成 20盒、20盒、21盒，天平两边各放 20盒，若天平平 衡，则较轻的在剩下的一份里，若天平不平衡，找出较轻的一份再称； 第二次称量：将 20盒分成 7盒、7盒、6盒，或者将 21盒分成 7盒、7盒、7 盒，天平两边各放 7盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：如果 6盒，则分成 2盒、2盒、2盒；如果 7盒，则分成 2盒、2 盒、3盒；天平两边各放 2盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第四次称量：天平两边各放一盒，找到 2盒或者 3盒里较轻的一盒。 答：至少称 4次，能保证找出这盒稍轻一些的维生素 C 第 6 页 共 8 页 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话 通知班上 48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接 着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 【答案】6 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递 一次信息需要 2秒钟，经过 12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称 至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有 20瓶，其中 19瓶质量相同，另外一瓶 质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一 瓶。 【答案】3 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知 10 名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知 1人，最少花( ) 分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 【答案】C 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有 15名队员，有个紧急排练通知，老师决 定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知 1人，那么至少 需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现 第 7 页 共 8 页 在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常 的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 8．（2024·山东济宁·期末）有 26盒饼干，其中的 25盒质量相同，另有 1盒少 了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果 用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的 过程表示出来） 【答案】 把 12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在 其中 4袋； 将 4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在 2 袋中； 将 2袋分成（1、1），再称 1次，轻的是次品，共 3次。 答：至少秤 3次才能保证找出这袋次品。 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提 出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔 子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽 在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推， 在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数 1、1、2、3、 5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两 项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项 所得商都接近 0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、 ( )、… 第 8 页 共 8 页 （2）这组数的第 100个数是奇数还是偶数？请说明理由。 【答案】 （1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每 3个数为一组，第 100个数刚好是一组 中的第一个数，所以是奇数。 第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加 1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员 和老师的总人数，也就是到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前 （n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的 2倍。 2. 根据总结发现，从第 1分钟到第 n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数 看；第 1分钟，共有 2人，2=21；第 2分钟，共有 4人，4=22；第 3分钟，共有 8人，8=23；第 4分钟，共有 16人，16=24；第 5分钟，共有 32人，32=25；第 6分钟，共有 64人，64=26；第 7分钟，共有 128人，128=27…由此推得：到第 n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为 2n人，所有接到通知的队员的总 人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在 3瓶钙片中找岀 1瓶次品，可以利用天平 平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成 3份。 第 3 页 共 13 页 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成 3份，不能平均分的，也应该使 多的一份与少 的一份只相差 1。 【高频考题 01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队 30名同学来学校参加活动，如果用打电话 的最佳方式，每分钟通知到 1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么 7分钟最多能通知( )人。 【答案】 5 127 【分析】根据题意，发现每分钟通知 1人，接到通知的人又可以通知下一个人， 这样最节省时间。 第 1分钟通知 1人；1＝21－1； 第 2分钟通知 2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第 3分钟通知 4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第 n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 据此找到规律，按规律解答。 【详解】规律：第 n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝30 2n＝30＋1 2n＝31 因为 24＝16，25＝32，16＜31＜32，所以 n＝5。 当 n＝7时 2n－1 ＝27－1 ＝128－1 ＝127（人） 每分钟通知到 1人，通知到所有同学至少要 5分钟。那么 7分钟最多能通知 127 第 4 页 共 13 页 人。 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校 舞蹈队共有 30人，如果一对一进行传达，每分钟通知 1人。教导主任怎样才能 尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知 30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都 ( )，所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 第 5 页 共 13 页 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知 1人，30人需通知 30分 钟。 （2）小南设计的分组法，30人分成 5组，每组一个组长和 5个组员，教导主任 先通知组长，组长再分别通知 5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出 所有人接到通知，一共需要的时间。 （3）小宇设计的方案： 第 1分钟新通知 1人； 第 2分钟新通知 2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22 －1； 第 3分钟新通知 4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23 －1； …… 规律：第 n分钟新通知 2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。 按此规律解答。 （4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。 【详解】（1）1×30＝30（分钟） 教导主任一个一个地通知需要 30分钟。 （2）①小南设计的分组法： ②所有人接到通知，一共需要 10分钟。 （3）小宇设计的方案： 第 6 页 共 13 页 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1 一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1 由上表可知，通知 30人只需要 5分钟。 （4）5＜10 小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的 时间最少。 【高频考题 02】找次品问题。 1．有 6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( ) 号。 【答案】⑤ 【分析】从右图可以看出，①＋④＝②＋⑥，所以这里面不存在次品，次品就是 ③或⑤，再看左图，图中的②和④都是正品可以忽略掉，只看③和⑤，③比⑤重， 因此，由于次品轻一些，那么⑤号就是次品。 【详解】有 6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是⑤。 【点睛】本题考查了找次品这个数学问题。根据图示进行合理的推断是解答本题 的关键。 2．有 28个乒乓球，其中有 1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只 利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻 还是重？ 【答案】2次 第 7 页 共 13 页 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使 用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边 的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】先把 28个分为（9，9，10）：天平两端各放 9个，①平衡：则次品在 10个中，把 10个的放在天平一端，然后把正品的两组 9个任意一组添上 1个， 变成 10个，和含有次品的 10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；② 不平衡：则次品在 9个中，则余下的 10个是正品，把任意一组 9个，放在天平 一端，再把 10个一组的减去 1个，变成 9个，放在天平另一端，从而确定次品 的轻重。所以至少要称 2次能知道这个次品球是轻还是重。 【点睛】本题主要考查找次品的实际应用，解题时注意本题不是找出次品而是确 定次品是轻还是重。 3．有 61盒维生素 C，其中 1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证 找出这盒稍轻一些的维生素 C？ 【答案】4次 【分析】找次品的最优策略：①把待分物品分成 3份；②每份数量尽量平均，如 果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1；据此分析解答。 【详解】第一次称量：将 61盒分成 20盒、20盒、21盒，天平两边各放 20盒， 若天平平衡，则较轻的在剩下的一份里，若天平不平衡，找出较轻的一份再称； 第二次称量：将 20盒分成 7盒、7盒、6盒，或者将 21盒分成 7盒、7盒、7 盒，天平两边各放 7盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：如果 6盒，则分成 2盒、2盒、2盒；如果 7盒，则分成 2盒、2 盒、3盒；天平两边各放 2盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第四次称量：天平两边各放一盒，找到 2盒或者 3盒里较轻的一盒。 答：至少称 4次，能保证找出这盒稍轻一些的维生素 C 第 8 页 共 13 页 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话 通知班上 48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接 着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 【答案】6 【分析】老师首先用 1分钟通知第一个学生；第二分钟由老师和 1个学生两人分 别通知 1个学生，现在通知的一共 1＋2＝3（个）学生；第三分钟后可以通知的 一共 3＋4＝7（个）学生。以此类推，第四分钟后通知的一共 7＋8＝15（个）学 生；第五分钟后可通知到 15＋16＝31（个）学生；第六分钟后最多通知到的一 共 31＋32＝63（个）学生。据此解答。 【详解】通过分析可得： 王老师一分钟通知 1个学生，2分钟一共通知 3个学生，3分钟可以通知 7个学 生，4分钟一共通知 15个学生，5分钟一共通知到 31个学生，6分钟最多通知 到 63个学生。31＜48＜63，则通知到所有的同学最短需要 6分钟。 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递 一次信息需要 2秒钟，经过 12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个 2秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁， 共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个 2秒，2只蚂蚁通知另 2只蚂蚁，共通知到（2×2） 只蚂蚁；第三个 2秒，4只蚂蚁通知另 4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁； 第四个 2秒，8只蚂蚁通知另 8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此 可知，第几个 2秒，通知到的蚂蚁只数为几个 2相乘。据此解答。 【详解】12÷2＝6（次） 2×2×2×2×2×2 ＝（2×2）×（2×2）×（2×2） ＝4×4×4 ＝16×4 第 9 页 共 13 页 ＝64（只） 经过 12秒，最多有 64只蚂蚁知道信息。 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称 至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成 2份或 3份；二是要尽量平均 分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差 1，这样不但能保证找出 次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有 10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。 第一次称重：先分成两份，天平两边各放 5件，次品在较重的 5件中； 第二次称重：把 5件分成 2件，2件和 1件，天平两边各放 2件，①若天平平衡， 则次品就是剩下的 1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那 2件中； 第三次称重：把较重的 2件分成两份，天平两边各放 1件，次品就是较重的 1 件。 10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称 3次才能保证找出 次品。 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有 20瓶，其中 19瓶质量相同，另外一瓶 质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一 瓶。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。 【详解】将 20瓶牛奶分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即 次品在多的里面，不平衡，次品在 7瓶中；将 7瓶分成（2、2、3），称（2、2）， 平衡，次品在 3瓶中；将 3瓶分成（1、1、1），称其中（1、1），无论平衡不 平衡都可确定次品，共 3次。 用没有砝码的天平至少称 3次就一定能找出轻的这一瓶。 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知 10 第 10 页 共 13 页 名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知 1人，最少花( ) 分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】最快的方法是：首先用第 1分钟通知第一个同学，第 2分钟由老师和 1 个同学两人分别通知 1个同学，现在通知的一共 1＋2＝3个同学，第 3分钟可以 推出通知的一共 3＋4＝7个同学，第 4分钟通知的一共 7＋8＝15个同学，以此 类推。据此解答即可。 【详解】第一分钟通知到第 1个学生，1＜10，没有通知完； 第二分钟最多可通知到 3个学生，3＜10，没有通知完； 第三分钟最多可通知到 7个学生，7＜10，没有通知完； 第四分钟最多可通知到 15个学生，15＞10，通知完了； 则最少花 4分钟就能通知完。 故答案为：C 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有 15名队员，有个紧急排练通知，老师决 定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知 1人，那么至少 需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【分析】接到通知的队员可以同时去通知其他队员，第 1分钟通知到 1人；第 2 分钟通知到（1＋2）人；第 3分钟通知到（3＋4）人……以此类推，只要通知到 的人数等于或大于 15人即可。 【详解】第 1分钟：1人 第 2分钟：1＋2＝3（人） 第 3分钟：3＋4＝7（人） 第 4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要 4分钟通知完。 故答案为：B 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现 第 11 页 共 13 页 在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常 的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻 重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称 的次数。 【详解】第 1次称量，将 12个羽毛球平均分为三份①②③（每份 4个），先把 ①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡， 则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第 2次称量，把①和②中的任意 一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛 球的轻重；第 3次称量，把有异常羽毛球的 4个球平均分成两份（每份 2个）， 把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里； 第 4次称量，再把有异常羽毛球的 2个球分成两份（每份 1个），把它们放在天 平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称 4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 8．（2024·山东济宁·期末）有 26盒饼干，其中的 25盒质量相同，另有 1盒少 了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】把 26盒饼干分成 3份，即（9，9，8）；第一次称，天平两边各放 9 盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的 9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的 8 盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的 9盒饼干平均分成 3 份，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放 3盒，如果天平不平衡，次品就 在较轻的 3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的 3盒中；把有次品的 3盒饼干分 成 3份，即（1，1，1），第三次称，天平两边各放 1盒，如果天平不平衡，次 品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品是剩下的那一盒。所以至少称 3次保 证找出较轻的这盒饼干。 第 12 页 共 13 页 【详解】 如果用天平称，至少称 3次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 故答案为：B 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果 用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的 过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。 【详解】把 12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确 定次品在其中 4袋； 将 4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在 2 袋中； 将 2袋分成（1、1），再称 1次，轻的是次品，共 3次。 答：至少秤 3次才能保证找出这袋次品。 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提 出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔 子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽 在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推， 在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数 1、1、2、3、 5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两 项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项 所得商都接近 0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、 ( )、… （2）这组数的第 100个数是奇数还是偶数？请说明理由。 第 13 页 共 13 页 【答案】（1）55；89； （2）100÷3＝33（组）……1（个） 这组数是按奇数、奇数、偶数……每 3个数为一组，第 100个数刚好是一组中的 第一个数，所以是奇数。 【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之 和，所以用前两项相加即可求出后一项； （2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数…… 的规律排列的，找出几个数为一组，求第 100个数是奇数还是偶数，用 100除以 几，如果没有余数，则第 100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则 看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。 【详解】（1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每 3个数为一组，第 100个数刚好是一组 中的第一个数，所以是奇数。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 【高频考题01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。 【答案】 5 127 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都( )，所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【高频考题02】找次品问题。 1．有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。 【答案】⑤ 2．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？ 【答案】 先把28个分为（9，9，10）：天平两端各放9个，①平衡：则次品在10个中，把10个的放在天平一端，然后把正品的两组9个任意一组添上1个，变成10个，和含有次品的10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡：则次品在9个中，则余下的10个是正品，把任意一组9个，放在天平一端，再把10个一组的减去1个，变成9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。所以至少要称2次能知道这个次品球是轻还是重。 3．有61盒维生素C，其中1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证找出这盒稍轻一些的维生素C？ 【答案】 第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，天平两边各放20盒，若天平平衡，则较轻的在剩下的一份里，若天平不平衡，找出较轻的一份再称； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，天平两边各放7盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：如果6盒，则分成2盒、2盒、2盒；如果7盒，则分成2盒、2盒、3盒；天平两边各放2盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第四次称量：天平两边各放一盒，找到2盒或者3盒里较轻的一盒。 答：至少称4次，能保证找出这盒稍轻一些的维生素C 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话通知班上48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 【答案】6 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一瓶。 【答案】3 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知10名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 【答案】C 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有15名队员，有个紧急排练通知，老师决定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知1人，那么至少需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 8．（2024·山东济宁·期末）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】 把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、( )、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    【答案】 （1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 【高频考题01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都( )，所以用的时间最少。 【高频考题02】找次品问题。 1．有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。 2．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？ 3．有61盒维生素C，其中1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证找出这盒稍轻一些的维生素C？ 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话通知班上48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一瓶。 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知10名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有15名队员，有个紧急排练通知，老师决定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知1人，那么至少需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·山东济宁·期末）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、( )、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：打电话问题。 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二：找次品问题。 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 【高频考题01】打电话问题。 1．周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。 【答案】 5 127 【分析】根据题意，发现每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。 第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 据此找到规律，按规律解答。 【详解】规律：第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝30 2n＝30＋1 2n＝31 因为24＝16，25＝32，16＜31＜32，所以n＝5。 当n＝7时 2n－1 ＝27－1 ＝128－1 ＝127（人） 每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要5分钟。那么7分钟最多能通知127人。 2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要( )分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要( )分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都( )，所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。 （2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。 （3）小宇设计的方案： 第1分钟新通知1人； 第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。 按此规律解答。 （4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。 【详解】（1）1×30＝30（分钟） 教导主任一个一个地通知需要30分钟。 （2）①小南设计的分组法： ②所有人接到通知，一共需要10分钟。 （3）小宇设计的方案： 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1 一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1 由上表可知，通知30人只需要5分钟。 （4）5＜10 小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的时间最少。 【高频考题02】找次品问题。 1．有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。 【答案】⑤ 【分析】从右图可以看出，①＋④＝②＋⑥，所以这里面不存在次品，次品就是③或⑤，再看左图，图中的②和④都是正品可以忽略掉，只看③和⑤，③比⑤重，因此，由于次品轻一些，那么⑤号就是次品。 【详解】有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是⑤。 【点睛】本题考查了找次品这个数学问题。根据图示进行合理的推断是解答本题的关键。 2．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？ 【答案】2次 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】先把28个分为（9，9，10）：天平两端各放9个，①平衡：则次品在10个中，把10个的放在天平一端，然后把正品的两组9个任意一组添上1个，变成10个，和含有次品的10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡：则次品在9个中，则余下的10个是正品，把任意一组9个，放在天平一端，再把10个一组的减去1个，变成9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。所以至少要称2次能知道这个次品球是轻还是重。 【点睛】本题主要考查找次品的实际应用，解题时注意本题不是找出次品而是确定次品是轻还是重。 3．有61盒维生素C，其中1盒稍轻一些，如果用天平称，至少称多少次能保证找出这盒稍轻一些的维生素C？ 【答案】4次 【分析】找次品的最优策略：①把待分物品分成3份；②每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此分析解答。 【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，天平两边各放20盒，若天平平衡，则较轻的在剩下的一份里，若天平不平衡，找出较轻的一份再称； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，天平两边各放7盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：如果6盒，则分成2盒、2盒、2盒；如果7盒，则分成2盒、2盒、3盒；天平两边各放2盒，找出轻的一盒在哪份里面； 第四次称量：天平两边各放一盒，找到2盒或者3盒里较轻的一盒。 答：至少称4次，能保证找出这盒稍轻一些的维生素C 一、填空题。 1．（2024·四川凉山·期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话通知班上48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 【答案】6 【分析】老师首先用1分钟通知第一个学生；第二分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共1＋2＝3（个）学生；第三分钟后可以通知的一共3＋4＝7（个）学生。以此类推，第四分钟后通知的一共7＋8＝15（个）学生；第五分钟后可通知到15＋16＝31（个）学生；第六分钟后最多通知到的一共31＋32＝63（个）学生。据此解答。 【详解】通过分析可得： 王老师一分钟通知1个学生，2分钟一共通知3个学生，3分钟可以通知7个学生，4分钟一共通知15个学生，5分钟一共通知到31个学生，6分钟最多通知到63个学生。31＜48＜63，则通知到所有的同学最短需要6分钟。 2．（2024·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个2秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个2秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个2秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁；第四个2秒，8只蚂蚁通知另8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个2秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘。据此解答。 【详解】12÷2＝6（次） 2×2×2×2×2×2 ＝（2×2）×（2×2）×（2×2） ＝4×4×4 ＝16×4 ＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 3．（2024·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成2份或3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。 第一次称重：先分成两份，天平两边各放5件，次品在较重的5件中； 第二次称重：把5件分成2件，2件和1件，天平两边各放2件，①若天平平衡，则次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那2件中； 第三次称重：把较重的2件分成两份，天平两边各放1件，次品就是较重的1件。 10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称3次才能保证找出次品。 4．（2023·湖北荆州·期末）一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一瓶。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将20瓶牛奶分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7瓶中；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 用没有砝码的天平至少称3次就一定能找出轻的这一瓶。 二、选择题。 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·期末）暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知10名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】最快的方法是：首先用第1分钟通知第一个同学，第2分钟由老师和1个同学两人分别通知1个同学，现在通知的一共1＋2＝3个同学，第3分钟可以推出通知的一共3＋4＝7个同学，第4分钟通知的一共7＋8＝15个同学，以此类推。据此解答即可。 【详解】第一分钟通知到第1个学生，1＜10，没有通知完； 第二分钟最多可通知到3个学生，3＜10，没有通知完； 第三分钟最多可通知到7个学生，7＜10，没有通知完； 第四分钟最多可通知到15个学生，15＞10，通知完了； 则最少花4分钟就能通知完。 故答案为：C 6．（2024·广东云浮·期末）舞蹈队共有15名队员，有个紧急排练通知，老师决定用打电话的方式尽快通知到每一名队员，如果每分钟可以通知1人，那么至少需要( )分钟通知完。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【分析】接到通知的队员可以同时去通知其他队员，第1分钟通知到1人；第2分钟通知到（1＋2）人；第3分钟通知到（3＋4）人……以此类推，只要通知到的人数等于或大于15人即可。 【详解】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要4分钟通知完。 故答案为：B 7．（2024·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称( )次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【详解】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 8．（2024·山东济宁·期末）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】把26盒饼干分成3份，即（9，9，8）；第一次称，天平两边各放9盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的8盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的9盒饼干平均分成3份，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的3盒中；把有次品的3盒饼干分成3份，即（1，1，1），第三次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品是剩下的那一盒。所以至少称3次保证找出较轻的这盒饼干。 【详解】 如果用天平称，至少称3次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 故答案为：B 三、解答题。 9．（2024·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 10．（2024·贵州六盘水·期末）八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、( )、( )、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    【答案】（1）55；89； （2）100÷3＝33（组）……1（个） 这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； （2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。 【详解】（1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$