第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 5 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 5 页 目 录 【课内精选】找次品 .................................................................................................................3 【奥数拓展一】确定轻重（一） ............................................................................................ 4 【奥数拓展二】确定轻重（二） ............................................................................................ 5 第 3 页 共 5 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才 能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【专项训练】 1．有 7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用 天平称，至少称（ ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清 楚地表示出称的过程。 2．有 16盒糖果，其中 15盒质量相同，另有 1盒少了一块。假如用天平称，至 少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了 28盒饼干，其余 27盒质量 相同，有 1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写 出称的过程。 第 4 页 共 5 页 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有 2005枚金币，其中 2004枚是真金币，只有 1枚是假金币，真假金币的轻重不 同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的 次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻 1克，为了找 出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 2. 现在有袋装的洗衣粉共 10堆(每堆不少于 10袋)，其中 9堆洗衣粉是合格产品， 每袋 1千克，只有一堆是不合格产品，每袋 0.9千克，从外形上看不出哪一堆是 不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只 称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 3. 有 23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几 次才能找到次品? 第 5 页 共 5 页 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有 A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球 D，请用 无砝码的天平称两次，确定 D依质量排在第几个? 【专项训练】 1. 从 1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同 的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出 31种质量.把它们从小 到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第 28个质量是多少克? 2. 如图，如果 3个大球的质量与 4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最 少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 3. 小华有糖 300克，他有一架天平及质量分别是 30克和 5克的两个砝码，问： 小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重 100 克，另一份重 200 克? 第 1 页 共 8 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 8 页 目 录 【课内精选】找次品 .................................................................................................................3 【奥数拓展一】确定轻重（一） ............................................................................................ 6 【奥数拓展二】确定轻重（二） ............................................................................................ 7 第 3 页 共 8 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才 能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】 把 12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在 其中 4袋； 将 4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在 2 袋中； 将 2袋分成（1、1），再称 1次，轻的是次品，共 3次。 答：至少秤 3次才能保证找出这袋次品。 【专项训练】 1．有 7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用 天平称，至少称（ ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清 楚地表示出称的过程。 【答案】 把 7个零件分成 2个、2个、3个，共 3份； 第一次称量： 把每份 2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在 3个中；如果不 平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在 3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如 果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 第 4 页 共 8 页 如果次品在 2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称 2次能保证找出这个次品。 2．有 16盒糖果，其中 15盒质量相同，另有 1盒少了一块。假如用天平称，至 少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】 一、首次称重： 将 16盒糖果分为三组，分别为 5盒、5盒和 6盒。选择两组各 5盒的糖果进行 称重。 情况 A：如果两边平衡，说明这 10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未 被称重的那组 6盒里。 情况 B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组 5盒里。 二、对于情况 A的后续称重： 第二次称重：将这 6盒糖果分为三组，每组 2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的 2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组 2盒中。 第三次称重：从疑似的 2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况 B的后续称重： 第二次称重：将这 5盒糖果分为三组，分别为 2盒、2盒和 1盒。选择两组各 2 盒的进行称重。 第 5 页 共 8 页 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那 1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组 2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在 2盒中，则第三次称重与情况 A中的 第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一 块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称 3次就能够保证找出这盒糖果。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了 28盒饼干，其余 27盒质量 相同，有 1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写 出称的过程。 【答案】 称第一次：把 28盒分成两组，每组 14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会 在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组 14盒分成两组，分别是 7盒，7盒，少几块的 盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组 7盒分成三组，分别是 2盒，2盒，3盒，天平 每边放 2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的 那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在 2盒中，把这 2盒分成两组，天平每边各放 1 盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在 3盒中，把这 3盒平均分成 3组，先称 2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在 轻的那一边。 答：至少称 4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 第 6 页 共 8 页 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有 2005枚金币，其中 2004枚是真金币，只有 1枚是假金币，真假金币的轻重不 同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的 次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 解析： 在天平的两端各放上 1002枚金币，如果天平恰好平衡，则剩下的一枚一定是假 币，我们只需把这枚假币和一枚真币再称一次，便可以知道谁轻谁重。 如果天平不平衡，那么就取下重的一端的 1002 枚金币，并将轻的一端的 1002 枚金币分放在两端，各 501枚，假设此时天平平衡，说明假币在取下的 1002枚 中，假金币比真金币重；如果此时天平仍不平衡，则说明假金币在较轻的 1002 枚中，较重的 1002枚全部是真金币，假金币比真金币轻。 因此，结合上面的各种可能，最少需要称两次便可以判断谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻 1克，为了找 出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 解析：两个轻球的编号是④和⑤。 2. 现在有袋装的洗衣粉共 10堆(每堆不少于 10袋)，其中 9堆洗衣粉是合格产品， 每袋 1千克，只有一堆是不合格产品，每袋 0.9千克，从外形上看不出哪一堆是 不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只 称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 解析： 先将 10 堆洗衣粉依次编上号，然后从每堆里依次取出 1 袋、2 袋、3 袋……10 第 7 页 共 8 页 袋，共 55袋，总质量是 1×55=55千克，如果少 0.1千克，第一堆就是要找的； 如果少 0.2千克，第二堆就是要找的；如果少 0.3千克，第三堆就是要找的…… 所以，如果少 1千克，第十堆就是要找的。 3. 有 23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几 次才能找到次品? 解析：至少需要 4次。 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有 A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球 D，请用 无砝码的天平称两次，确定 D依质量排在第几个? 解析： 先把 B、D放在天平的两端，如果天平平衡，那么 D与 B相等，都排在第二位， 如果 B>D，把 D与 C分放在天平两侧，若 D>C，那么 D排在第三位，若 D与 C相等，那么都排在第三位，若 D<C，那么 D最轻；如果 B<D，把 D与 A 放在天平两端，同样道理，可以知道 D的三种可能排法，这样就能确定 A、B、 C、D四个金属球的位置了。 【专项训练】 1. 从 1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同 的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出 31种质量.把它们从小 到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第 28个质量是多少克? 解析： 从小到大的第 31个质量是 1+3+9+27+81=121 克，第 30个是(121－1)克，第 29 个是(121－3)克，第 28个是 121－1－3=117(克)。 2. 如图，如果 3个大球的质量与 4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最 少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 解析：左盘中的 9个小球可以换成 6个大球和 1个小球，而右盘中已经有 2个大 第 8 页 共 8 页 球，所以，需要增加 4个大球和 1个小球，至少要增加 4+1=5(个)球才能使天平 平衡。 3. 小华有糖 300克，他有一架天平及质量分别是 30克和 5克的两个砝码，问： 小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重 100 克，另一份重 200 克? 解析： 第一次用 30克和 5克的两个砝码可以称出 35克糖，第二次用 30克的砝码和 35 克糖可称出 65克糖，这样就得到了 100克糖，剩下的还有 200克糖，所以，最 少称两次。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选】找次品 3 【奥数拓展一】确定轻重（一） 6 【奥数拓展二】确定轻重（二） 7 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【专项训练】 1．有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（     ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 2．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有2005枚金币，其中2004枚是真金币，只有1枚是假金币，真假金币的轻重不同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 2. 现在有袋装的洗衣粉共10堆(每堆不少于10袋)，其中9堆洗衣粉是合格产品，每袋1千克，只有一堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形上看不出哪一堆是不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 3. 有23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几次才能找到次品? 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球D，请用无砝码的天平称两次，确定D依质量排在第几个? 【专项训练】 1. 从1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出31种质量.把它们从小到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第28个质量是多少克? 2. 如图，如果3个大球的质量与4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 3. 小华有糖300克，他有一架天平及质量分别是30克和5克的两个砝码，问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选】找次品 3 【奥数拓展一】确定轻重（一） 6 【奥数拓展二】确定轻重（二） 7 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】 把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 【专项训练】 1．有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（     ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】 把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 2．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】 一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有2005枚金币，其中2004枚是真金币，只有1枚是假金币，真假金币的轻重不同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 解析： 在天平的两端各放上1002枚金币，如果天平恰好平衡，则剩下的一枚一定是假币，我们只需把这枚假币和一枚真币再称一次，便可以知道谁轻谁重。 如果天平不平衡，那么就取下重的一端的1002枚金币，并将轻的一端的1002枚金币分放在两端，各501枚，假设此时天平平衡，说明假币在取下的1002枚中，假金币比真金币重；如果此时天平仍不平衡，则说明假金币在较轻的1002枚中，较重的1002枚全部是真金币，假金币比真金币轻。 因此，结合上面的各种可能，最少需要称两次便可以判断谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 解析：两个轻球的编号是④和⑤。 2. 现在有袋装的洗衣粉共10堆(每堆不少于10袋)，其中9堆洗衣粉是合格产品，每袋1千克，只有一堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形上看不出哪一堆是不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 解析： 先将10堆洗衣粉依次编上号，然后从每堆里依次取出1袋、2袋、3袋……10袋，共55袋，总质量是1×55=55千克，如果少0.1千克，第一堆就是要找的；如果少0.2千克，第二堆就是要找的；如果少0.3千克，第三堆就是要找的……所以，如果少1千克，第十堆就是要找的。 3. 有23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几次才能找到次品? 解析：至少需要4次。 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球D，请用无砝码的天平称两次，确定D依质量排在第几个? 解析： 先把B、D放在天平的两端，如果天平平衡，那么D与B相等，都排在第二位，如果B>D，把D与C分放在天平两侧，若D>C，那么D排在第三位，若 D与C相等，那么都排在第三位，若D<C，那么D最轻；如果B<D，把D与A放在天平两端，同样道理，可以知道D的三种可能排法，这样就能确定A、B、C、D四个金属球的位置了。 【专项训练】 1. 从1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出31种质量.把它们从小到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第28个质量是多少克? 解析： 从小到大的第31个质量是1+3+9+27+81=121克，第30个是(121－1)克，第29个是(121－3)克，第28个是121－1－3=117(克)。 2. 如图，如果3个大球的质量与4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 解析：左盘中的9个小球可以换成6个大球和1个小球，而右盘中已经有2个大球，所以，需要增加4个大球和1个小球，至少要增加4+1=5(个)球才能使天平平衡。 3. 小华有糖300克，他有一架天平及质量分别是30克和5克的两个砝码，问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克? 解析： 第一次用30克和5克的两个砝码可以称出35克糖，第二次用30克的砝码和35克糖可称出65克糖，这样就得到了100克糖，剩下的还有200克糖，所以，最少称两次。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 9 页 目 录 【课内精选】找次品 .................................................................................................................3 【奥数拓展一】确定轻重（一） ............................................................................................ 7 【奥数拓展二】确定轻重（二） ............................................................................................ 8 第 3 页 共 9 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有 12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才 能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。 【详解】把 12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确 定次品在其中 4袋； 将 4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在 2 袋中； 将 2袋分成（1、1），再称 1次，轻的是次品，共 3次。 答：至少秤 3次才能保证找出这袋次品。 【专项训练】 1．有 7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用 天平称，至少称（ ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清 楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1，据此解答。 【详解】把 7个零件分成 2个、2个、3个，共 3份； 第一次称量： 把每份 2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在 3个中；如果不 第 4 页 共 9 页 平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在 3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如 果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在 2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称 2次能保证找出这个次品。 2．有 16盒糖果，其中 15盒质量相同，另有 1盒少了一块。假如用天平称，至 少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次 称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三 组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常 或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将 16盒糖果分为三组，分别为 5盒、5盒和 6盒。选择两组各 5盒的糖果进行 称重。 情况 A：如果两边平衡，说明这 10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未 被称重的那组 6盒里。 情况 B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组 5盒里。 二、对于情况 A的后续称重： 第二次称重：将这 6盒糖果分为三组，每组 2盒，任选两组进行称重。 第 5 页 共 9 页 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的 2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组 2盒中。 第三次称重：从疑似的 2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况 B的后续称重： 第二次称重：将这 5盒糖果分为三组，分别为 2盒、2盒和 1盒。选择两组各 2 盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那 1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组 2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在 2盒中，则第三次称重与情况 A中的 第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一 块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称 3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和 称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分 法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续 采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了 28盒饼干，其余 27盒质量 相同，有 1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写 出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些， 然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把 28盒分成两组，每组 14盒，天平每边各放一组，少几块 的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组 14盒分成两组，分别是 7盒，7盒，少几块的 第 6 页 共 9 页 盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组 7盒分成三组，分别是 2盒，2盒，3盒，天平 每边放 2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的 那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在 2盒中，把这 2盒分成两组，天平每边各放 1 盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在 3盒中，把这 3盒平均分成 3组，先称 2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在 轻的那一边。 答：至少称 4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 第 7 页 共 9 页 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有 2005枚金币，其中 2004枚是真金币，只有 1枚是假金币，真假金币的轻重不 同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的 次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 解析： 在天平的两端各放上 1002枚金币，如果天平恰好平衡，则剩下的一枚一定是假 币，我们只需把这枚假币和一枚真币再称一次，便可以知道谁轻谁重。 如果天平不平衡，那么就取下重的一端的 1002 枚金币，并将轻的一端的 1002 枚金币分放在两端，各 501枚，假设此时天平平衡，说明假币在取下的 1002枚 中，假金币比真金币重；如果此时天平仍不平衡，则说明假金币在较轻的 1002 枚中，较重的 1002枚全部是真金币，假金币比真金币轻。 因此，结合上面的各种可能，最少需要称两次便可以判断谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻 1克，为了找 出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 解析：两个轻球的编号是④和⑤。 2. 现在有袋装的洗衣粉共 10堆(每堆不少于 10袋)，其中 9堆洗衣粉是合格产品， 每袋 1千克，只有一堆是不合格产品，每袋 0.9千克，从外形上看不出哪一堆是 不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只 称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 解析： 先将 10 堆洗衣粉依次编上号，然后从每堆里依次取出 1 袋、2 袋、3 袋……10 第 8 页 共 9 页 袋，共 55袋，总质量是 1×55=55千克，如果少 0.1千克，第一堆就是要找的； 如果少 0.2千克，第二堆就是要找的；如果少 0.3千克，第三堆就是要找的…… 所以，如果少 1千克，第十堆就是要找的。 3. 有 23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几 次才能找到次品? 解析：至少需要 4次。 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有 A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球 D，请用 无砝码的天平称两次，确定 D依质量排在第几个? 解析： 先把 B、D放在天平的两端，如果天平平衡，那么 D与 B相等，都排在第二位， 如果 B>D，把 D与 C分放在天平两侧，若 D>C，那么 D排在第三位，若 D与 C相等，那么都排在第三位，若 D<C，那么 D最轻；如果 B<D，把 D与 A 放在天平两端，同样道理，可以知道 D的三种可能排法，这样就能确定 A、B、 C、D四个金属球的位置了。 【专项训练】 1. 从 1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同 的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出 31种质量.把它们从小 到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第 28个质量是多少克? 解析： 从小到大的第 31个质量是 1+3+9+27+81=121 克，第 30个是(121－1)克，第 29 个是(121－3)克，第 28个是 121－1－3=117(克)。 2. 如图，如果 3个大球的质量与 4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最 少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 解析：左盘中的 9个小球可以换成 6个大球和 1个小球，而右盘中已经有 2个大 第 9 页 共 9 页 球，所以，需要增加 4个大球和 1个小球，至少要增加 4+1=5(个)球才能使天平 平衡。 3. 小华有糖 300克，他有一架天平及质量分别是 30克和 5克的两个砝码，问： 小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重 100 克，另一份重 200 克? 解析： 第一次用 30克和 5克的两个砝码可以称出 35克糖，第二次用 30克的砝码和 35 克糖可称出 65克糖，这样就得到了 100克糖，剩下的还有 200克糖，所以，最 少称两次。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选】找次品 3 【奥数拓展一】确定轻重（一） 7 【奥数拓展二】确定轻重（二） 8 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元数学广角——找次品·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选】找次品。 有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 【专项训练】 1．有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（     ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【详解】把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 2．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 3．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 【奥数拓展一】确定轻重（一）。 有2005枚金币，其中2004枚是真金币，只有1枚是假金币，真假金币的轻重不同，但不知真、假金币谁轻谁重.现在只有一架没有砝码的天平，请你称最少的次数，辨别真、假金币谁轻谁重。 解析： 在天平的两端各放上1002枚金币，如果天平恰好平衡，则剩下的一枚一定是假币，我们只需把这枚假币和一枚真币再称一次，便可以知道谁轻谁重。 如果天平不平衡，那么就取下重的一端的1002枚金币，并将轻的一端的1002枚金币分放在两端，各501枚，假设此时天平平衡，说明假币在取下的1002枚中，假金币比真金币重；如果此时天平仍不平衡，则说明假金币在较轻的1002枚中，较重的1002枚全部是真金币，假金币比真金币轻。 因此，结合上面的各种可能，最少需要称两次便可以判断谁轻谁重。 【专项训练】 1. 有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，称了三次，结果如下： 第一次：①+②比③+④重； 第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻； 第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。 那么，两个轻球的编号是什么? 解析：两个轻球的编号是④和⑤。 2. 现在有袋装的洗衣粉共10堆(每堆不少于10袋)，其中9堆洗衣粉是合格产品，每袋1千克，只有一堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形上看不出哪一堆是不合格的，若用台秤一堆一堆去称，称的次数比较多，请大家想想办法，能否只称一次就能找出哪一堆是不合格产品? 解析： 先将10堆洗衣粉依次编上号，然后从每堆里依次取出1袋、2袋、3袋……10袋，共55袋，总质量是1×55=55千克，如果少0.1千克，第一堆就是要找的；如果少0.2千克，第二堆就是要找的；如果少0.3千克，第三堆就是要找的……所以，如果少1千克，第十堆就是要找的。 3. 有23个零件，其中有一个次品，不知道它比正品轻还是重，用天平至少称几次才能找到次品? 解析：至少需要4次。 【奥数拓展二】确定轻重（二）。 有A、B、C三个金属球，A最重，C最轻(A>B>C)，另外还有一个球D，请用无砝码的天平称两次，确定D依质量排在第几个? 解析： 先把B、D放在天平的两端，如果天平平衡，那么D与B相等，都排在第二位，如果B>D，把D与C分放在天平两侧，若D>C，那么D排在第三位，若 D与C相等，那么都排在第三位，若D<C，那么D最轻；如果B<D，把D与A放在天平两端，同样道理，可以知道D的三种可能排法，这样就能确定A、B、C、D四个金属球的位置了。 【专项训练】 1. 从1克、3克、9克、27克、81克这五种砝码中，每次取出一个或几个不同的砝码，放在天平的同一端来称物体的质量，一共可称出31种质量.把它们从小到大依次排列出来是：1克、3克、4克、9克、10克……请问：其中称出的第28个质量是多少克? 解析： 从小到大的第31个质量是1+3+9+27+81=121克，第30个是(121－1)克，第29个是(121－3)克，第28个是121－1－3=117(克)。 2. 如图，如果3个大球的质量与4个小球的质量相等，那么，在天平的右边最少需要增加几个球，才能使天平保持平衡?? 解析：左盘中的9个小球可以换成6个大球和1个小球，而右盘中已经有2个大球，所以，需要增加4个大球和1个小球，至少要增加4+1=5(个)球才能使天平平衡。 3. 小华有糖300克，他有一架天平及质量分别是30克和5克的两个砝码，问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克? 解析： 第一次用30克和5克的两个砝码可以称出35克糖，第二次用30克的砝码和35克糖可称出65克糖，这样就得到了100克糖，剩下的还有200克糖，所以，最少称两次。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$