（期末复习）第八单元《数学广角——找次品》(知识梳理+易错点拨+1个考点讲练+压轴题训练 共24题）2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第八单元《数学广角-找次品》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+1个考点讲练+压轴题专练 共24题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点梳理01：问题背景与核心目标 1. 次品定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（已知次品比合格品轻或重），且待测物品中仅有一个次品。 2. 核心目标 通过天平称重，用最少次数找出次品，渗透化归思想（复杂问题简单化）和优化思想（寻找最优策略）。 知识点梳理02：基本操作原理 1. 天平平衡原理 平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中； 不平衡：次品在较轻（或较重）的一侧，具体方向由已知条件确定（如次品更轻）。 2. 关键策略 尽可能均分三组：将物品分成3组，利用天平称量快速缩小次品范围。 例：8个零件分为3、3、2三组，而非4、4分组。 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 1. 分组原则 能均分则均分：如9个物品分为3、3、3； 不能均分时：前两组数量相同，第三组多1或少1。例：10个物品分为3、3、4。 2. 最少称量次数规律 物品数量与最少次数的对应关系： 2~3个：1次 4~9个：2次 10~27个：3次 28~81个：4次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1。 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 1. 操作流程 步骤1：分组 按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2）78。步骤2：首次称量 将前两组放在天平两端： 若平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组68。步骤3：递归缩小范围 对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品。 2. 实例解析 例1：10瓶钙片中找1瓶次品（较轻） 分组：3、3、4； 第一次称量：若两组3瓶平衡，次品在4瓶中；若不平衡，次品在较轻的3瓶中； 第二次称量：对含次品的组（3或4瓶）再次均分三组，重复称量。 结果：最多需3次找出次品。 模块二 高频易错考点点拨 易错知识点01：分组策略错误 1. 未遵循均分三组原则 错误表现：将物品分成2组（如8个分成4、4），导致称量次数增加。 示例：8个零件应分为3、3、2，而非4、4。若首次称量3 vs 3不平衡，次品范围缩小至3个；若分成4 vs 4，不平衡后仍需处理4个，增加次数1。 应对方法：始终按“尽量均分3组”原则分组，余数1或2时前两组数量相同（如10个分为3、3、4） 2. 忽略递归分组 错误表现：首次称量后未对含次品的组继续均分三组，直接逐个检测。 示例：27个物品首次分成9、9、9，若次品在某一组9个中，应再次分成3、3、3，而非逐一分组。 应对方法：每次称量后对剩余组递归均分三组，直至找到次品68。 易错知识点02：次品方向混淆 1. 未明确次品轻重属性 错误表现：题目未明确次品更轻或更重时，默认单方向判断（如总假设次品更轻）。 示例：若次品可能更重，称量时需观察天平低的一侧，而非惯性认为轻侧为次品。 应对方法：审题时标注次品属性，称量后根据天平倾斜方向对应判断68。 易错知识点03：次数计算误区 1. 混淆最少次数规律 错误表现：认为“物品数=3ⁿ时次数为n”，忽略区间范围（如10~27个需3次，而非仅27个需3次）。 示例：10个物品需3次（因10>9），但学生误用“3²=9”认为仅需2次。 应对方法：熟记区间规律（如2~3→1次，4~9→2次，10~27→3次）。 2. 忽略多因素干扰 错误表现：未考虑实际条件（如砝码不足、多个次品）对次数的影响。 示例：8瓶矿泉水中含2个次品（均更轻），若仍按单次品策略分组，导致次数错误增加。 应对方法：题目若含多条件（如多个次品、砝码限制），需调整策略（如分阶段排除或借助已知质量物体称量）。 易错知识点04：操作步骤遗漏 1. 未标记分组编号 错误表现：称量后未记录分组对应物品，导致后续无法追溯次品位置。 示例：将零件分为A、B、C三组称量后，若未标记各组包含哪些编号，难以确定次品来源。 应对方法：用数字或符号标记每组物品，建立跟踪表。 2. 未动态调整策略 错误表现：机械套用初始分组方案，未根据每次称量结果优化后续步骤。 示例：首次称量后次品范围缩小到4个，仍按原分组方式而非调整为2、1、1。 应对方法：根据剩余物品数实时调整分组，灵活应用均分原则。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题（参考）： 有8瓶矿泉水，其中2瓶较轻（次品），最少需几次称量找出？ 错误解答：分成4、4两组称量，不平衡后需再称2次，共3次。 正确解析： 1. 首次分组：3、3、2； 2. 称量3 vs 3： 若平衡，次品在2瓶中，再称1次即可（共2次）； 若不平衡，次品在较轻的3瓶中，再分成1、1、1称量（共2次）。 核心：多次品问题需结合递归分组和动态调整，避免惯性思维。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：找次品 【精讲题】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【答案】C 【思路点拨】上面的这个天平是平衡的，那么①、③、②、⑥中没有次品。下面的天平不平衡，那么轻的一边含有次品。⑥不是次品，那么⑤是次品。 【规范解答】根据图示判断，次品球的编号是⑤。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·新疆喀什·期末）在27个零件中有一个是次品（稍轻一些），用天平至少称（    ）次就一定能找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路点拨】一般情况是把物品平均分成3份，不能平均分的，使多的与少的一份只差1；每次找出有次品的那份，直到找出次品为止，看一共称了几次。据此解答。 【规范解答】27个分为9，9，9，把两个9放在天平上，平衡，说明剩下的9有次品，不平衡，说明轻的那个有次品； 9分为3，3，3，把两个3放在天平上，平衡，说明剩下的3有次品，不平衡，说明轻的那个有次品； 3分为1，1，1，把两个1放在天平上，平衡，说明剩下的是次品，不平衡，说明轻的那个是次品。 用天平至少称3次就一定能找出这个次品。 故答案为：B 【精练题02】（23-24五年级下·天津河北·期末）有8瓶钙片，其中1瓶少3片，看作次品。如果采用天平称的方法，至少称( )次才能保证找出次品。 【答案】2 【思路点拨】相比另外的7瓶钙片，少3片的这一瓶会比较轻。要达到次数最少，则需要将钙片瓶数尽可能地平均分成3份，每次称重的时候，将数目相等的两份放到天平两端，不断识别，直到找出次品。 【规范解答】第一次：将8瓶钙片分成（3，3，2），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则次品在第三份中； 第二次：①将3瓶钙片分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则次品是第三份； ②将2瓶钙片分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。 所以，如果采用天平称的方法，至少称2次才能保证找出次品。 【精练题03】（23-24五年级下·湖北黄石·期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 【答案】见详解 【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【规范解答】如图所示： 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【规范解答】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·海南海口·期末）下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（    ）个。 A．8 B．15 C．28 【答案】B 【思路点拨】找次品的方法：把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此逐项解答。 【规范解答】A．把8个球分成3、3、2三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成1、1，放在天平上称，下沉的是次品，需称2次。如不平衡，刚把下沉的一组3个球分成1、1、1，任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，下沉的是资料品，需称2次。不符合题意。 B．把15平均分成5、5、5三组，任意称两个5，如果平衡，就从剩下的5个中找，如果不平衡，次品就在下沉的那组5中，就再把5分成2、2、1，称两个2，如果平衡，次品就在1中，如果不平衡，再就在下沉的2中，分1、1，可找出次品。即至少称3次。符合题意。 C．将28个球分成（9、9、10），称（9、9），只考虑最不利的情况，平衡，次品在10个中；将10个分成（3、3、4），称（3、3），平衡，次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2个中；再称一次即可确定次品，共4次。不符合题意。 故答案为：B 3．（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 【答案】A 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将12瓶矿泉水分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4瓶；将4瓶分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在2瓶中；将2瓶分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次才能保证找出次品。 故答案为：A 4．（20-21五年级下·湖南永州·期末）一箱牛奶有12盒，其中有11盒质量相同，另有1盒质量略轻，如果能用天平称，至少称（    ）次可以保证找出这盒牛奶。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】先把12分成（4、4、4）；第一次称量：在天平两边各放4盒，可能出现两种情况：（把轻一些的那盒看做次品）①如果天平平衡，则次品在剩余的那4盒，分成（2、2）； 第二次称量：在左、右盘中分别放2盒，上升者有次品； 第三次称量：在左、右盘中分别放1盒，上升者是次品。 ②如果天平不平衡，次品在托盘上升那边的4盒里； 第二次称量：取托盘上升的4盒，在左、右盘中分别放2盒，上升者有次品； 第三次称量：取托盘上升的2盒，每一盒分别放在天平的左、右盘中，则上升者是次品。 如果用天平称，至少称3次可以保证找出这盒牛奶。 故答案为：B 5．（23-24五年级下·陕西西安·期末）有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称（    ）次就一定能找出这个略轻的健身球。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】把10个健身球分成3、3、4这样的3份，在天平的两端各放3个，会出现两种情况： 一、平衡，次品在第3份中，把第3份的4个健身球分成1、1、2这样的3份，在天平的两端各放1个，（1）平衡，次品在剩下的2个中，将剩下的2个在天平的两端各放 1个，轻的是次品，（2）不平衡，轻的1个是次品； 二、不平衡，轻的3个中含有次品，把这3个健身球平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，（1）平衡，剩下的1个是次品，（2）不平衡，轻的1个是次品。 【规范解答】通过分析可得：有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个略轻的健身球。 故答案为：B 6．（23-24五年级下·四川广元·期末）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称( )次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 【答案】3 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【规范解答】将10盒牛奶片分为三组，分别为3盒、3盒和4盒。 第一次称重：选择两组各3盒的牛奶片进行称重。 情况A：如果两边平衡，则说明其中的6盒牛奶片都是正常的，少了4片的那盒牛奶片一定在未被称重的那组4盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少了4片的那盒牛奶片一定在较轻的那组3盒里。 第二次称重： ①对于情况A，从未称重的4盒牛奶片中分为两组各2盒，然后进行称重。较轻的那组2盒里就有少了4片的那盒牛奶片。 ②对于情况B，从已经确定包含次品的那组3盒牛奶片中取出2盒进行称重。如果两边平衡，说明未被称重的那1盒是少了4片的；如果不平衡，较轻的那1盒就是少了4片的。 第三次称重： ①对于情况A中确定的那组2盒牛奶片，再次将这两盒放在天平的两端，较轻的那一盒就是少了4片的。 因此，至少称3次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 7．（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【答案】4 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【规范解答】把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 8．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【答案】2 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将9瓶口香糖分成（3、3、3），称其中的（3、3），无论平衡不平衡都可确定较轻的在其中3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡都可确定较轻的1瓶，共2次。 至少称2次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 9．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一瓶。 【答案】3 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将20瓶牛奶分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7瓶中；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 用没有砝码的天平至少称3次就一定能找出轻的这一瓶。 10．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【答案】3 【思路点拨】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【规范解答】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 11．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）20个物品中有一个略轻的次品，用天平称，至少称3次能保证找出次品。( ) 【答案】√ 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将20个物品分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7个中；将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3个中；将3分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 12．（23-24五年级下·云南德宏·期末）有5枚硬币，其中一枚轻一些，用天平称，至少称2次能保证找出这枚硬币。( ) 【答案】√ 【思路点拨】把5枚硬币分成3份，即（2，2，1），第一次称，天平两边各放2枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的2枚中；如果天平平衡，次品就是剩个的那一枚；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的2枚硬币分成2份，即（1，1），第二次称，天平两边各放1枚，较轻的就是次品。所以至少称2次能保证找出这枚硬币。 【规范解答】 有5枚硬币，其中一枚轻一些，用天平称，至少称2次能保证找出这枚硬币。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据二分查找的思想，可以将28瓶饮料平均分成两组，比较两组的重量，将重量较轻的一组留下，重量较重的一组淘汰。这样，较轻的饮料只可能存在于重量较轻的一组中。然后，将重量较轻的一组继续分成两组，重复上述步骤，直到最后只剩下一瓶饮料为止。这瓶饮料就是轻的那瓶。 【规范解答】为了找出28瓶饮料中较轻的一瓶，‌我们可以使用天平进行称重。‌首先，‌将28瓶饮料平均分成两份，‌每份14瓶。 ‌第一次称重：‌将两份分别放在天平的两端，‌较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。‌ 第二次称重：‌将第一次称重中较轻的那份14瓶饮料再次平均分成两份，‌每份7瓶，‌分别放在天平两端，‌较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。 ‌第三次称重：‌将第二次称重中较轻的那份7瓶饮料取出6瓶，‌平均分成两份，‌每份3瓶，‌分别放在天平两端。‌如果天平平衡，‌则未称的那瓶是较轻的；‌如果不平衡，‌较轻的那端所对应的3瓶中包含较轻的那瓶饮料。‌ 第四次称重：‌将第三次称重中确定的3瓶饮料取出2瓶，‌分别放在天平两端。‌如果天平平衡，‌则未称的那瓶是较轻的；‌如果不平衡，‌较轻的那端所对应的2瓶中包含较轻的那瓶饮料。‌通过这样的步骤，‌我们至少需要4次称重才能保证找出那瓶较轻的饮料。 故答案为：× 14．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 15．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【规范解答】把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 16．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【思路点拨】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【规范解答】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 17．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【思路点拨】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【规范解答】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 18．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 【答案】（1）有可能 （2）不能 （3）3次；见解析 【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。 【规范解答】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。 （2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。 （3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。 a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。 a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中， 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。 接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。 19．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【答案】两次 【思路点拨】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 【规范解答】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 答：至少称两次能找出次品。 20．（22-23五年级下·安徽安庆·期末）一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） 【答案】三次 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【规范解答】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份， 第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份， 第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。 答：最快三次找出那个球。 $$2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第八单元《数学广角-找次品》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+1个考点讲练+压轴题专练 共24题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点梳理01：问题背景与核心目标 1. 次品定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（已知次品比合格品轻或重），且待测物品中仅有一个次品。 2. 核心目标 通过天平称重，用最少次数找出次品，渗透化归思想（复杂问题简单化）和优化思想（寻找最优策略）。 知识点梳理02：基本操作原理 1. 天平平衡原理 平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中； 不平衡：次品在较轻（或较重）的一侧，具体方向由已知条件确定（如次品更轻）。 2. 关键策略 尽可能均分三组：将物品分成3组，利用天平称量快速缩小次品范围。 例：8个零件分为3、3、2三组，而非4、4分组。 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 1. 分组原则 能均分则均分：如9个物品分为3、3、3； 不能均分时：前两组数量相同，第三组多1或少1。例：10个物品分为3、3、4。 2. 最少称量次数规律 物品数量与最少次数的对应关系： 2~3个：1次 4~9个：2次 10~27个：3次 28~81个：4次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1。 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 1. 操作流程 步骤1：分组 按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2）78。步骤2：首次称量 将前两组放在天平两端： 若平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组68。步骤3：递归缩小范围 对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品。 2. 实例解析 例1：10瓶钙片中找1瓶次品（较轻） 分组：3、3、4； 第一次称量：若两组3瓶平衡，次品在4瓶中；若不平衡，次品在较轻的3瓶中； 第二次称量：对含次品的组（3或4瓶）再次均分三组，重复称量。 结果：最多需3次找出次品。 模块二 高频易错考点点拨 易错知识点01：分组策略错误 1. 未遵循均分三组原则 错误表现：将物品分成2组（如8个分成4、4），导致称量次数增加。 示例：8个零件应分为3、3、2，而非4、4。若首次称量3 vs 3不平衡，次品范围缩小至3个；若分成4 vs 4，不平衡后仍需处理4个，增加次数1。 应对方法：始终按“尽量均分3组”原则分组，余数1或2时前两组数量相同（如10个分为3、3、4） 2. 忽略递归分组 错误表现：首次称量后未对含次品的组继续均分三组，直接逐个检测。 示例：27个物品首次分成9、9、9，若次品在某一组9个中，应再次分成3、3、3，而非逐一分组。 应对方法：每次称量后对剩余组递归均分三组，直至找到次品68。 易错知识点02：次品方向混淆 1. 未明确次品轻重属性 错误表现：题目未明确次品更轻或更重时，默认单方向判断（如总假设次品更轻）。 示例：若次品可能更重，称量时需观察天平低的一侧，而非惯性认为轻侧为次品。 应对方法：审题时标注次品属性，称量后根据天平倾斜方向对应判断68。 易错知识点03：次数计算误区 1. 混淆最少次数规律 错误表现：认为“物品数=3ⁿ时次数为n”，忽略区间范围（如10~27个需3次，而非仅27个需3次）。 示例：10个物品需3次（因10>9），但学生误用“3²=9”认为仅需2次。 应对方法：熟记区间规律（如2~3→1次，4~9→2次，10~27→3次）。 2. 忽略多因素干扰 错误表现：未考虑实际条件（如砝码不足、多个次品）对次数的影响。 示例：8瓶矿泉水中含2个次品（均更轻），若仍按单次品策略分组，导致次数错误增加。 应对方法：题目若含多条件（如多个次品、砝码限制），需调整策略（如分阶段排除或借助已知质量物体称量）。 易错知识点04：操作步骤遗漏 1. 未标记分组编号 错误表现：称量后未记录分组对应物品，导致后续无法追溯次品位置。 示例：将零件分为A、B、C三组称量后，若未标记各组包含哪些编号，难以确定次品来源。 应对方法：用数字或符号标记每组物品，建立跟踪表。 2. 未动态调整策略 错误表现：机械套用初始分组方案，未根据每次称量结果优化后续步骤。 示例：首次称量后次品范围缩小到4个，仍按原分组方式而非调整为2、1、1。 应对方法：根据剩余物品数实时调整分组，灵活应用均分原则。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题（参考）： 有8瓶矿泉水，其中2瓶较轻（次品），最少需几次称量找出？ 错误解答：分成4、4两组称量，不平衡后需再称2次，共3次。 正确解析： 1. 首次分组：3、3、2； 2. 称量3 vs 3： 若平衡，次品在2瓶中，再称1次即可（共2次）； 若不平衡，次品在较轻的3瓶中，再分成1、1、1称量（共2次）。 核心：多次品问题需结合递归分组和动态调整，避免惯性思维。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：找次品 【精讲题】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【精练题01】（23-24五年级下·新疆喀什·期末）在27个零件中有一个是次品（稍轻一些），用天平至少称（    ）次就一定能找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 【精练题02】（23-24五年级下·天津河北·期末）有8瓶钙片，其中1瓶少3片，看作次品。如果采用天平称的方法，至少称( )次才能保证找出次品。 【精练题03】（23-24五年级下·湖北黄石·期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25五年级下·海南海口·期末）下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（    ）个。 A．8 B．15 C．28 3．（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 4．（20-21五年级下·湖南永州·期末）一箱牛奶有12盒，其中有11盒质量相同，另有1盒质量略轻，如果能用天平称，至少称（    ）次可以保证找出这盒牛奶。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24五年级下·陕西西安·期末）有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称（    ）次就一定能找出这个略轻的健身球。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24五年级下·四川广元·期末）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称( )次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 7．（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 8．（23-24五年级下·四川绵阳·期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 9．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称( )次就一定能找出轻的这一瓶。 10．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 11．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）20个物品中有一个略轻的次品，用天平称，至少称3次能保证找出次品。( )（判断对错） 12．（23-24五年级下·云南德宏·期末）有5枚硬币，其中一枚轻一些，用天平称，至少称2次能保证找出这枚硬币。( )（判断对错） 13．（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。( )（判断对错） 14．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 15．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 16．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 17．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 18．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 19．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 20．（22-23五年级下·安徽安庆·期末）一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） $$